{"id":57207,"date":"2016-02-21T16:25:21","date_gmt":"2016-02-21T19:25:21","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=57207"},"modified":"2023-03-31T20:31:06","modified_gmt":"2023-03-31T23:31:06","slug":"problema-de-gincana-um-anel-geometrico","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-um-anel-geometrico\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana: Um anel geom\u00e9trico"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUm anel \u00e9 a regi\u00e3o compreendida por dois c\u00edrculos conc\u00eantricos.<br \/>\nOs c\u00edrculos conc\u00eantricos da figura abaixo t\u00eam raios com comprimentos [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex], com [tex]b\\gt c[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/olimpico013.png\" alt=\"olimpico013\" width=\"332\" height=\"349\" style=\"border:0px;\" class=\"aligncenter size-full wp-image-56647\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/olimpico013.png 332w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/olimpico013-285x300.png 285w\" sizes=\"auto, (max-width: 332px) 100vw, 332px\" \/><\/p>\n<p>Na figura, [tex]\\overline{OX}[\/tex] \u00e9 um dos segmentos que determinam o raio do c\u00edrculo maior, [tex]\\overline{XZ}[\/tex] \u00e9 um segmento tangente ao menor c\u00edrculo em [tex]Z[\/tex] e [tex]\\overline{OZ}[\/tex] \u00e9 um dos segmentos que determinam o raio do c\u00edrculo menor.<br \/>\nTamb\u00e9m temos que [tex] \\, a \\, [\/tex] \u00e9 o comprimento de [tex]\\overline{XZ}[\/tex],  [tex] \\, d \\, [\/tex] \u00e9 o comprimento de [tex]\\overline{YZ}[\/tex], [tex] \\, e \\, [\/tex] \u00e9 o comprimento de [tex]\\overline{XY}[\/tex].<br \/>\n<strong>Ent\u00e3o, qual \u00e9 a \u00e1rea desse anel?<br \/>\nEscreva essa \u00e1rea utilizando a menor express\u00e3o poss\u00edvel, ou seja, expresse a \u00e1rea em fun\u00e7\u00e3o de um s\u00f3 comprimento!<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve que:<\/p>\n<ul>\n<li>a \u00e1rea do c\u00edrculo maior \u00e9 [tex]\\pi b^2[\/tex];<\/li>\n<li>a \u00e1rea do c\u00edrculo menor \u00e9 [tex]\\pi c^2[\/tex];<\/li>\n<\/ul>\n<p>portanto, a \u00e1rea da regi\u00e3o sombreada \u00e9 [tex]\\pi(b^2-c^2)[\/tex].<br \/>\nPara melhorar a resposta e escrever a \u00e1rea em fun\u00e7\u00e3o de apenas um dos comprimentos de segmentos apresentados, observe que o tri\u00e2ngulo [tex]OXZ[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo, j\u00e1 que [tex]\\overline{XZ}[\/tex] \u00e9 tangente ao menor c\u00edrculo em [tex]Z[\/tex], logo [tex]a^2 + c^2 = b^2[\/tex], ou seja, [tex]b^2-c^2=a^2[\/tex].<br \/>\nAssim, a \u00e1rea do anel \u00e9, tamb\u00e9m, dada por [tex]\\pi a^2[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nQuarta Gincana de 2015 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel B &#8211; Quest\u00e3o M\u00e9dia<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema Um anel \u00e9 a regi\u00e3o compreendida por dois c\u00edrculos conc\u00eantricos. 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