\nEscreve-se em ordem crescente os m\u00faltiplos positivos de 3 cujos respectivos sucessores imediatos s\u00e3o quadrados perfeitos.
\n
Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\nOs primeiros termos da sequ\u00eancia s\u00e3o [tex]3, \\, 15, \\, 24, \\, 48, \\, 63, \\, 99, \\, 120, \\, \\cdots \\, [\/tex]
\nSeja [tex]n[\/tex] um m\u00faltiplo positivo de [tex]3[\/tex]; assim [tex]n[\/tex] pertence a essa sequ\u00eancia se, e somente se, existir um inteiro positivo [tex]k[\/tex] tal que [tex]n + 1 = k^2[\/tex].
\nSe [tex]n + 1 = k^2[\/tex], ent\u00e3o [tex]n = k^2 -1 = (k – 1) \\cdot (k + 1)[\/tex] e, sendo [tex]n [\/tex] um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex], um dos fatores [tex] (k – 1) [\/tex] ou [tex] (k + 1) [\/tex] deve ser m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex], o que ocorre se, e somente se, [tex]k[\/tex] n\u00e3o for m\u00faltiplo de 3. Logo, [tex]k[\/tex] \u00e9 da forma [tex]3a-1[\/tex] ou [tex]3a+1[\/tex], com [tex]a[\/tex] um inteiro positivo.
\nPelo exposto, podemos concluir que cada m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex] escrito na sequ\u00eancia est\u00e1 associado a um inteiro [tex]k[\/tex], maior ou igual a 2, tal que [tex]k[\/tex] n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex]. E como [tex]n = k^2 -1[\/tex], observamos tamb\u00e9m que quanto maior o inteiro [tex]k[\/tex], maior ser\u00e1 [tex]n[\/tex].
\nVamos, ent\u00e3o, procurar o [tex]k[\/tex] que definir\u00e1 o termo [tex]2006[\/tex] dessa sequ\u00eancia; para isso, acompanhe a discuss\u00e3o que segue.
\nObserve que, se formarmos ternos ordenados de n\u00fameros inteiros consecutivos a partir do [tex]2[\/tex], teremos sempre dois valores que n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] em cada terno, ou seja, valores de [tex]k[\/tex] que definem termos da sequ\u00eancia requerida:
\n
[tex]\\quad \\underbrace{(2;3=3\\times 1; \\, 4)}_{1^o \\, terno \\, ordenado} \\, \\, \\, \\underbrace{( 5; \\, 6=3\\times 2; \\, 7)}_{2^o \\, terno \\, ordenado} \\, \\, \\, \\underbrace{(8; 9=3\\times 3; \\, 10)}_{3^o \\, terno \\, ordenado} \\, \\, \\, \\underbrace{(11; \\, 12=3\\times 4; \\, 13)}_{4^o \\, terno \\, ordenado} \\, \\, \\cdots \\,. [\/tex]<\/span><\/p>\n\n
Note que, se representarmos a sequ\u00eancia em quest\u00e3o por [tex]s_1, \\, s_2, \\, s_3, \\, s_4, \\, \\cdots \\, , \\, s_m, \\, \\cdots \\, [\/tex], ent\u00e3o <\/p>\n
\n- [tex]k=2[\/tex] define [tex]s_1[\/tex] ([tex]s_1=2^2-1=3 [\/tex])<\/li>\n
- [tex]k=4[\/tex] define [tex]s_2[\/tex] ([tex]s_2=4^2-1=15 [\/tex])<\/li>\n
- [tex]k=5[\/tex] define [tex]s_3[\/tex] ([tex]s_3=5^2-1=24 [\/tex])<\/li>\n
- [tex]k=7[\/tex] define [tex]s_4[\/tex] ([tex]s_4=7^2-1=48 [\/tex])<\/li>\n
- [tex]k=8[\/tex] define [tex]s_5[\/tex] ([tex]s_5=8^2-1=63 [\/tex])<\/li>\n
- [tex]k=10[\/tex] define [tex]s_6[\/tex] ([tex]s_6=10^2-1=99 [\/tex])<\/li>\n
- [tex]k=11[\/tex] define [tex]s_7[\/tex] ([tex]s_7=11^2-1=120 [\/tex])<\/li>\n
- [tex]k=13[\/tex] define [tex]s_8[\/tex] ([tex]s_8=13^2-1=168 [\/tex])<\/li>\n
- . . .<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
O [tex]2006^{\\circ}[\/tex] termo dessa sequ\u00eancia est\u00e1 associado ao [tex]2006^{\\circ}[\/tex] inteiro, maior ou igual a 2, que n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex], mas em qual dos ternos ordenados vamos encontrar o valor de [tex]k[\/tex] que corresponde ao [tex]2006^{\\circ}[\/tex] termo da sequ\u00eancia, isto \u00e9, [tex]s_{2006}[\/tex]?
\nUma vez que [tex]2006 = 2 \\times 1003[\/tex] e que h\u00e1 2 poss\u00edveis valores para [tex]k[\/tex] em cada terno, observamos o [tex]1003^{\\circ}[\/tex] terno ordenado:
\n[tex]\\qquad (3\\times 1003-1 \\, , \\, 3\\times 1003 \\, , \\, 3\\times 1003+1)=(3008,3009,3010)[\/tex],
\ne, como o \u00edndice [tex]2006[\/tex] \u00e9 par, o valor de [tex]k[\/tex] que define [tex]s_{2006}[\/tex] \u00e9 o n\u00famero que est\u00e1 \u00e0 direita no respectivo terno ordenado: [tex]k=3010[\/tex].
\nPortanto, o [tex]2006^{\\circ}[\/tex] termo da sequ\u00eancia ser\u00e1 [tex]\\boxed{3010^2 \u2013 1=9060099}[\/tex].<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n
\nSegunda Gincana de 2015 – Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP
\nN\u00edvel C – Quest\u00e3o Dif\u00edcil<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema Escreve-se em ordem crescente os m\u00faltiplos positivos de 3 cujos respectivos sucessores imediatos s\u00e3o quadrados perfeitos. Qual \u00e9 o [tex]2006^{\\circ}[\/tex] termo dessa sequ\u00eancia? Solu\u00e7\u00e3o Os primeiros termos da sequ\u00eancia s\u00e3o [tex]3, \\, 15, \\, 24, \\, 48, \\, 63, \\, 99, \\, 120, \\, \\cdots \\, [\/tex] Seja [tex]n[\/tex] um m\u00faltiplo positivo de [tex]3[\/tex]; … <\/p>\n
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