{"id":56783,"date":"2016-02-10T18:28:36","date_gmt":"2016-02-10T20:28:36","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=56783"},"modified":"2023-03-31T20:20:42","modified_gmt":"2023-03-31T23:20:42","slug":"problema-de-gincana-provas-para-uma-gincana","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-provas-para-uma-gincana\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana:  Provas para uma gincana"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nA Equipe respons\u00e1vel pela Gincana dos Clubes elaborou tr\u00eas provas, cada uma delas composta por 10 atividades diferentes.<br \/>\nSe cada prova deve conter  exatamente  sete atividades que n\u00e3o aparecem em nenhuma das outras duas provas, qual o n\u00famero m\u00e1ximo de atividades distintas que poderiam ter sido utilizadas na Gincana?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nComo cada prova deve conter <strong>exatamente <\/strong> [tex]7[\/tex] atividades que n\u00e3o aparecem em nenhuma das outras, ent\u00e3o foram utilizadas [tex]7\\times3=21[\/tex] atividades \u00fanicas.<br \/>\nPara completar as 30 atividades, foram necess\u00e1rias 9 atividades. Cada uma destas foi utilizada, pelo menos, em duas provas, uma vez que as atividades \u00fanicas j\u00e1 foram contadas.<br \/>\nSe para a primeira prova foram utilizadas [tex]3[\/tex] atividades adicionais, [tex]E_1, \\, E_2, \\, E_3[\/tex], ent\u00e3o essa prova ficou com a seguinte configura\u00e7\u00e3o:<br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 1:<\/strong> [tex]A_1 \\,  \\,  \\, A_2 \\,  \\,  \\, A_3 \\,  \\,  \\, A_4 \\,  \\,  \\, A_5 \\,  \\,  \\, A_6 \\,  \\,  \\, A_7 \\,  \\,  \\,  E_1 \\,  \\,  \\, E_2 \\,  \\,  \\, E_3[\/tex].<\/span><br \/>\nAs atividades  [tex]E_1, \\, E_2, \\, E_3[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o \u00fanicas e, portanto, devem ser utilizadas em, pelo menos,  mais uma prova prova. Como queremos prever o n\u00famero m\u00e1ximo de atividades que poderiam ter sido utilizadas na Gincana, vamos supor, sem perda de generalidade, que a prova 2 cont\u00e9m E1 e E2 e uma quarta atividade adicional: E4. Com isso, passar\u00edamos a ter a seguinte situa\u00e7\u00e3o:<br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 1:<\/strong> [tex]E_1 \\,  \\,  \\, E_2 \\,  \\,  \\, E_3[\/tex];<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 2:<\/strong> [tex]E_1 \\,  \\,  \\, E_2 \\,  \\,  \\, E_4[\/tex].<\/span><br \/>\nMas [tex]E_3[\/tex] e [tex]E_4[\/tex] n\u00e3o poderiam ser utilizadas apenas uma vez; logo, necessariamente, essas atividades deveriam ser utilizadas na terceira prova e, assim,  passar\u00edamos a ter a seguinte situa\u00e7\u00e3o com rela\u00e7\u00e3o \u00e0s nove atividades adicionais:<br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 1:<\/strong> [tex]E_1 \\,  \\,  \\, E_2 \\,  \\,  \\, E_3[\/tex];<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 2:<\/strong> [tex]E_1 \\,  \\,  \\, E_2 \\,  \\,  \\, E_4[\/tex];<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 3:<\/strong> [tex]E_3 \\,  \\,  \\, E_4 \\,  \\,  \\, ?[\/tex].<\/span><br \/>\nPoder\u00edamos ter uma quinta atividade adicional?<br \/>\nA resposta \u00e9 n\u00e3o, pois se tiv\u00e9ssemos uma quinta atividade, digamos [tex]E_5[\/tex], ent\u00e3o [tex]E_5[\/tex] deveria ser utilizada em mais uma prova. Mas isso \u00e9 imposs\u00edvel j\u00e1 que as adicionais  [tex]E_1, \\, E_2, \\, E_3, \\, E_4[\/tex] n\u00e3o podem ser substitu\u00eddas por [tex]E_5[\/tex] sob pena de serem utilizadas uma \u00fanica vez.<br \/>\nAssim, deve haver no m\u00e1ximo 4 atividades adicionais para a composi\u00e7\u00e3o das tr\u00eas provas e, portanto, a terceira quest\u00e3o adicional da prova 3 poder\u00e1 ser ou [tex]E_1[\/tex] ou [tex]E_2[\/tex].<br \/>\nDessa forma, poder\u00e3o ser utilizadas, no m\u00e1ximo, [tex]21+4=25[\/tex] atividades na Gincana.<br \/>\nVejamos uma poss\u00edvel distribui\u00e7\u00e3o dessas [tex]25[\/tex] atividades:<br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 1:<\/strong> [tex]A_1 \\,  \\,  \\, A_2 \\,  \\,  \\, A_3 \\,  \\,  \\, A_4 \\,  \\,  \\, A_5 \\,  \\,  \\, A_6 \\,  \\,  \\, A_7 \\,  \\,  \\,  E_1 \\,  \\,  \\, E_2 \\,  \\,  \\, E_3[\/tex];<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 2:<\/strong> [tex]B_1 \\,  \\,  \\, B_2 \\,  \\,  \\, B_3 \\,  \\,  \\, B_4 \\,  \\,  \\, B_5 \\,  \\,  \\, B_6 \\,  \\,  \\, B_7 \\,  \\,  \\,  E_1 \\,  \\,  \\, E_2 \\,  \\,  \\, E_4[\/tex];<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;\"><strong>PROVA 3:<\/strong> [tex]C_1 \\,  \\,  \\, C_2 \\,  \\,  \\, C_3 \\,  \\,  \\, C_4 \\,  \\,  \\, C_5 \\,  \\,  \\, C_6 \\,  \\,  \\, C_7 \\,  \\,  \\,  E_1 \\,  \\,  \\, E_3 \\,  \\,  \\, E_4[\/tex].<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nSegunda Gincana de 2015 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel C &#8211; Quest\u00e3o M\u00e9dia<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema A Equipe respons\u00e1vel pela Gincana dos Clubes elaborou tr\u00eas provas, cada uma delas composta por 10 atividades diferentes. 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