Problemas envolvendo paridade<\/em><\/p>\n \n Para resolver os pr\u00f3ximos problemas, voc\u00ea precisar\u00e1 saber \n►<\/span> Para ajudar, vamos explicitar algumas consequ\u00eancias da aritm\u00e9tica da paridade.<\/p>\n (1) Todo n\u00famero natural ou \u00e9 par ou \u00e9 \u00edmpar. \n(3) A soma de qualquer quantidade de n\u00fameros naturais pares \u00e9 par. Lembramos que essas propriedades podem ser naturalmente estendidas para o conjunto dos n\u00fameros inteiros. Nesse caso podemos reescrev\u00ea-las, conforme faremos a seguir.<\/p>\n (1) Todo n\u00famero inteiro ou \u00e9 par ou \u00e9 \u00edmpar. \n(3) A soma de qualquer quantidade de n\u00fameros inteiros pares \u00e9 par. \n►<\/span> Particularmente, em alguns problemas, voc\u00ea poder\u00e1 recorrer \u00e0 seguinte estrat\u00e9gia para provar que uma determinada situa\u00e7\u00e3o n\u00e3o ocorre:<\/p>\n associar ao problema em quest\u00e3o um certo conjunto que, ao contarmos os seus elementos de maneiras distintas, encontramos paridades diferentes no final da contagem; o que, obviamente, n\u00e3o pode ocorrer, j\u00e1 que a quantidade de elementos de qualquer conjunto \u00e9 um n\u00famero natural e, portanto, tem uma e somente uma paridade: ou \u00e9 par ou \u00e9 \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n Parece complicado, mas, com um pouco de pr\u00e1tica, podemos resolver v\u00e1rios problemas utilizando essa t\u00e9cnica!<\/p>\n \n►<\/span> Para problemas nos quais \u00e9 apresentada uma condi\u00e7\u00e3o inicial que dever\u00e1 ser modificada, voc\u00ea poder\u00e1 tentar encontrar dados do problema em quest\u00e3o que n\u00e3o se alteram, independentemente da modifica\u00e7\u00e3o proposta.<\/p>\n Preparados? Problemas<\/p>\n \n Fixemos um dos soldados: soldado S<\/strong>. Em cada noite em que trabalha, esse soldado ter\u00e1 a companhia de dois companheiros; como [tex] 99 = 2 \\times 49 + 1[\/tex], os demais [tex] 99 [\/tex] soldados do quartel poder\u00e3o formar [tex] 49[\/tex] grupos de dois soldados, e sobrar\u00e1 [tex] 1[\/tex]. Assim, em 49 noites, o soldado S<\/strong> poder\u00e1 ficar de sentinela com dois companheiros sempre diferentes, mas, na noite n\u00famero [tex]50[\/tex], o \u00fanico soldado que sobrou vai ter que se juntar a outro que j\u00e1 fez sentinela com o soldado S<\/strong>.<\/p>\n De uma outra forma, para cada noite em que trabalhe, o soldado S<\/strong> dever\u00e1 ter a companhia de dois soldados diferentes. Assim, ser\u00e1 necess\u00e1rio agruparmos os demais soldados de [tex]2[\/tex] em [tex]2[\/tex] para definirmos as escalas do soldado S<\/strong>, ou seja, necessitaremos de um n\u00famero par de soldados. Mas, al\u00e9m do soldado S<\/strong>, h\u00e1 um n\u00famero \u00edmpar de soldados no quartel: 99. \n<\/div>\n \n Antes de cada um deles, coloque sinais \u201c+<\/strong>\u201d (positivo) ou \u201c\u2013<\/strong>\u201d (negativo) de forma que a soma de todos seja zero. <\/p>\n \n Para que a soma fosse zero, dever\u00edamos escolher os sinais de modo que a soma final ficasse reduzida a uma soma parcial da forma [tex]a+(-a)[\/tex], j\u00e1 que [tex]a+(-a)=0[\/tex]. Para isso seria necess\u00e1rio separar os n\u00fameros em quest\u00e3o em dois grupos que tivessem a mesma soma e, ent\u00e3o, colocar sinais \u201c+<\/strong>\u201d na frente dos n\u00fameros de um grupo e sinais \u201c\u2013<\/strong>\u201d na frente dos n\u00fameros do outro grupo. De uma forma mais r\u00e1pida, no entanto mais sutil, podemos utilizar a propriedade (6) e observar que, escolhidos os sinais, a paridade da soma final dos n\u00fameros \u00e9 a paridade da quantidade de parcelas \u00edmpares que ser\u00e3o somadas. Como a paridade independe do sinal que foi colocado na frente dos n\u00fameros, a paridade da soma \u00e9 \u00edmpar, pois temos cinco \u00edmpares: 1, 3, 5, 7, 9. \n<\/div>\n \n Inicialmente todos os bot\u00f5es est\u00e3o verdes. \u00c9 poss\u00edvel, apertando sucessivamente alguns bot\u00f5es, torn\u00e1-los todos vermelhos? \n Dessa forma, cada vez que apertamos um bot\u00e3o trocam de cor um n\u00famero par de bot\u00f5es. Como existem nove bot\u00f5es, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel que todos troquem de cor.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n \n<\/div>\n \n Devido a essa \u00faltima afirma\u00e7\u00e3o, a soma em quest\u00e3o n\u00e3o pode ser 1990.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n \n Problema 5:<\/strong> Existem n\u00fameros inteiros [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] que satisfazem a igualdade [tex] \\, \\, a \\cdot b \\cdot (a \u2212 b) = 8507[\/tex] ?<\/p>\n Sugest\u00e3o 2: <\/strong> O produto de alguns inteiros s\u00f3 \u00e9 \u00edmpar se todos estes inteiros forem \u00edmpares.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n \n 1\u00ba)Os quatro n\u00fameros s\u00e3o todos pares ou todos \u00edmpares.<\/strong> Para outras solu\u00e7\u00f5es do problema, visite esta p\u00e1gina<\/strong><\/a>.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n \n \n \n \n \n \n Problema 12:<\/strong> Um quadrado m\u00e1gico<\/strong> \u00e9 uma tabela [tex]n\\times n[\/tex] contendo um n\u00famero em cada c\u00e9lula de modo que as somas dos n\u00fameros ao longo de qualquer linha, coluna ou diagonal s\u00e3o iguais. \n \n \n [tex]\\qquad\\qquad \\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}+\\dfrac{1}{c}+\\dfrac{1}{d}+\\dfrac{1}{e}+\\dfrac{1}{f}=1[\/tex].\n<\/p><\/div>\n \n Figura extra\u00edda de: \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n Problema 26:<\/strong> Mostre que, se [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o inteiros \u00edmpares, ent\u00e3o [tex]a^2-b^2[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]8[\/tex].<\/p>\n \n deste modo, teremos [tex]10\\times45=450[\/tex] possibilidades (consulte a Sala sobre o PFC<\/strong><\/span><\/a>). \n \n Ver a solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div>\n<\/p>\n<\/div>\n \n Problema 29:<\/strong> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero inteiro qualquer, qual dos n\u00fameros abaixo \u00e9 \u00edmpar? \n<\/div>\n \n
\n
\n apenas fatos b\u00e1sicos sobre paridade. <\/p>\n
\n(2) Paridade da soma e do produto em [tex]\\mathbb{N}[\/tex]:<\/strong><\/p>\n![\"aritmetica\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/01\/aritmetica.png\")
<\/p>\n
\n(4) A soma de uma quantidade par de n\u00fameros naturais todos \u00edmpares \u00e9 par.
\n(5) A soma de uma quantidade \u00edmpar de n\u00fameros naturais todos \u00edmpares \u00e9 um inteiro \u00edmpar.
\n(6) A soma de uma mistura de n\u00fameros naturais pares e \u00edmpares tem a mesma paridade que a quantidade de parcelas \u00edmpares que foram somadas.<\/strong><\/p>\n
\n(2) Paridade da soma e do produto em [tex]\\mathbb{Z}[\/tex]:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n
\n(4) A soma de uma quantidade par de n\u00fameros inteiros todos \u00edmpares \u00e9 par.
\n(5) A soma de uma quantidade \u00edmpar de n\u00fameros inteiros todos \u00edmpares \u00e9 um inteiro \u00edmpar.
\n(6) A soma de uma mistura de n\u00fameros inteiros pares e \u00edmpares tem a mesma paridade que a quantidade de parcelas \u00edmpares que foram somadas.<\/strong><\/p>\n
\nEnt\u00e3o, vamos l\u00e1…<\/p>\n
\n
\n
\n
\n\u00c9 poss\u00edvel que, ap\u00f3s certo tempo, um dos soldados tenha trabalhado com cada um dos outros exatamente uma vez?<\/p>\n
\nPortanto, n\u00e3o podemos formar pares de soldados diferentes para trabalhar com o soldado S<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nNo entanto isso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, pois [tex]1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10=55[\/tex] e 55 \u00e9 impar.<\/p>\n
\nAssim, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel obter zero como resultado, j\u00e1 que zero \u00e9 par!<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n![\"botoes\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/01\/botoes.png\")
<\/p>\n\n
\n![\"botoes2\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/01\/botoes2.png\")
<\/p>\n
\nObserve que:<\/p>\n\n
\nVitor arrancou aleatoriamente 25 folhas do caderno e somou todos os 50 n\u00fameros escritos nestas folhas. \u00c9 poss\u00edvel que essa soma seja 1990? <\/p>\n
\nCom efeito, como as p\u00e1ginas foram numeradas em ordem crescente, ent\u00e3o as p\u00e1ginas de uma folha qualquer do caderno foram numeradas com n\u00fameros naturais consecutivos. Mas:<\/p>\n\n
\nSugest\u00e3o 1:<\/strong> Analisar as quatro possibilidades de paridade para [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex]:<\/p>\n\n
\nSe os quatro n\u00fameros s\u00e3o inteiros, ent\u00e3o um dentre estes quatro casos deve, necessariamente, ocorrer:<\/p>\n
\nNeste caso, as diferen\u00e7as seriam todas pares. Assim, n\u00e3o poderia aparecer 3 como diferen\u00e7a.
\n2\u00ba) Tr\u00eas n\u00fameros s\u00e3o pares e um n\u00famero \u00e9 \u00edmpar.<\/strong>
\nAqui iriam aparecer tr\u00eas diferen\u00e7as \u00edmpares, o que n\u00e3o \u00e9 o caso.
\n3\u00ba) Dois n\u00fameros s\u00e3o pares, e dois \u00edmpares.<\/strong>
\nAgora deveriam aparecer quatro diferen\u00e7as \u00edmpares, o que tamb\u00e9m n\u00e3o ocorre.
\n4\u00ba) Tr\u00eas n\u00fameros s\u00e3o \u00edmpares e um par.<\/strong>
\n Mais uma vez iriam aparecer tr\u00eas diferen\u00e7as \u00edmpares, o que n\u00e3o ocorre. <\/p>\n
\nObservando, em (2)<\/strong>, a tabelinha da paridade da soma, podemos afirmar que [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] t\u00eam paridade oposta, j\u00e1 que [tex]103[\/tex] \u00e9 \u00edmpar. Mas o \u00fanico natural primo que \u00e9 par \u00e9 o n\u00famero [tex]2[\/tex], assim ou [tex]a \\, [\/tex] ou [tex] \\, b[\/tex] \u00e9 [tex]2[\/tex].
\nSuponha, sem perda de generalidade, que [tex]a=2[\/tex]; assim [tex]b=103-2=101[\/tex].
\nAo consultar uma tabela que contenha os primeiros primos naturais, comprovamos que [tex]101[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo (consulte, por exemplo, esta tabela<\/span><\/a>).
\nPortanto, a menos da ordem das parcelas, existe uma \u00fanica maneira de se escrever [tex]103[\/tex] como soma de dois primos naturais: [tex]103=2+101[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nMostre que um deles mentiu.\n<\/div>\n
\nTodas as engrenagens podem rodar simultaneamente?
\n![\"engrenagem\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/engrenagem.png\")
\n<\/div>\n
\nMostre que a soma desses 22 n\u00fameros n\u00e3o pode ser igual a zero.\n<\/div>\n
\nParticularmente, \u00e9 poss\u00edvel construir um quadrado m\u00e1gico<\/strong> [tex]6\\times 6[\/tex] com os 36 primeiros n\u00fameros naturais primos?<\/p>\n![\"quadrado](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/quadrado-magico.png\")
<\/div>\n
\nA) 1\/9
\nB) 2\/9
\nC) 1\/3
\nD) 4\/9
\nE) 5\/9<\/p>\n
\nPara que o n\u00famero seja par, esta bola deve possuir um n\u00famero par. Como h\u00e1 4 n\u00fameros pares entre os 9 poss\u00edveis n\u00fameros, a probabilidade pedida \u00e9 4\/9<\/strong>.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nQual a cor do marciano sobrevivente?<\/p>\n
\n![\"marciano\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/02\/marciano.jpg\")
\nS\u00f3 falta justificar…<\/p>\n
\n http:\/\/sandesmeiodesligado.blogspot.com.br\/2010\/10\/alo-alo-marciano.html<\/a> <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nCaso isso seja poss\u00edvel, determine como. Caso seja imposs\u00edvel, explique o motivo.<\/p>\n
\nLogo, \u00e9 imposs\u00edvel que sejam abatidos 30 porcos nestas condi\u00e7\u00f5es, j\u00e1 que 30 \u00e9 um n\u00famero par.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nQuantos s\u00e3o os n\u00fameros super-\u00edmpares<\/em><\/strong> com tr\u00eas algarismos?
\nE com 5000 algarismos?<\/p>\n
\nSe um \u00edmpar divide um par, ent\u00e3o o \u00edmpar tamb\u00e9m divide a metade do par.<\/strong><\/span><\/div>\n
\nSabe-se que o n\u00famero de f\u00edsicos mentirosos e qu\u00edmicos mentirosos \u00e9 o mesmo.
\nQuando foi perguntado ao grupo:
\n– Qual \u00e9 a profiss\u00e3o de seu vizinho da direita?<\/em>
\ntodos responderam
\n– Qu\u00edmico<\/em>.
\nMostre que [tex]k[\/tex] \u00e9 par.\n<\/div>\n
\nPegue um dos peda\u00e7os e corte-o em cinco peda\u00e7os. Ap\u00f3s ter feito isso v\u00e1rias vezes, \u00e9 poss\u00edvel obter exatamente 1000 peda\u00e7os de papel?
\nE 1001?\n<\/div>\n
\nCada uma dessas r\u00e3s pode dar um salto e pular para qualquer outro degrau; mas, quando fizer isso, ao mesmo tempo, uma outra r\u00e3 pular\u00e1 a mesma quantidade de degraus em sentido contr\u00e1rio. Assim, uma sobe e outra desce.
\nEm algum momento, conseguir\u00e3o as r\u00e3s colocarem-se todas juntas em um mesmo degrau?<\/p>\n
\nMostre que essa soma tem, pelo menos, um d\u00edgito par.<\/div>\n
\n[tex]\\qquad a^2-b^2=(2k+1)^2-(2t+1)^2=4k^2+4k-4t^2-4t\\\\
\n\\qquad a^2-b^2=4[k^2+k-(t^2+t)]. \\qquad\\qquad(i)[\/tex]
\nPelo Problema 1<\/strong> desta p\u00e1gina<\/strong><\/span><\/a>, [tex]k^2[\/tex] e [tex]k[\/tex] t\u00eam a mesma paridade, donde [tex]k^2+k[\/tex] \u00e9 par. Como o mesmo ocorre com [tex]t^2+t[\/tex], podemos, ent\u00e3o, afirmar que [tex]k^2+k-(t^2+t)[\/tex] \u00e9 a diferen\u00e7a de dois pares, sendo tamb\u00e9m par, e com isso:
\n [tex]\\qquad k^2+k-(t^2+t)=2m[\/tex] para algum inteiro [tex]m.\\qquad\\qquad (ii)[\/tex]
\nPor [tex](i)[\/tex] e [tex](ii)[\/tex], [tex]a^2-b^2=4\\cdot 2m=8m[\/tex], o que significa que [tex]a^2-b^2[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]8[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nA) 100
\nB) 360
\nC) 570
\nD) 720
\nE) 1140<\/p>\n\n
\nAssim, h\u00e1 [tex]120+450=570[\/tex] maneiras de se escolher os n\u00fameros de forma que a soma seja \u00edmpar.
\n<\/strong>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n– Amanh\u00e3 todos voc\u00eas passar\u00e3o por um teste. Todos voc\u00eas ficar\u00e3o em fila indiana e ser\u00e3o colocados chap\u00e9us nas cabe\u00e7as de cada um de voc\u00eas. Cada um poder\u00e1 ver os chap\u00e9us dos que estar\u00e3o a sua frente, por\u00e9m n\u00e3o poder\u00e3o ver os chap\u00e9us dos que est\u00e3o atr\u00e1s, nem o seu pr\u00f3prio chap\u00e9u. Os chap\u00e9us ser\u00e3o pretos ou brancos. Feito isso, ser\u00e1 perguntado a cada um de voc\u00eas, do \u00faltimo para o primeiro, em ordem, qual a cor do seu chap\u00e9u. Se a pessoa errar a cor do seu chap\u00e9u, ser\u00e1 morta.<\/em>
\nSer\u00e1 que os prisioneiros podem montar uma estrat\u00e9gia para salvar pelo menos 9 deles?<\/p>\n
\n(a) [tex]n^2-n+2[\/tex]
\n(b) [tex]n^2+n+2[\/tex]
\n(c) [tex]n^2+n+5[\/tex]
\n(d) [tex]n^2+5[\/tex]
\n(e) [tex]n^3+5[\/tex]<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n