{"id":55747,"date":"2016-01-24T22:36:34","date_gmt":"2016-01-25T00:36:34","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=55747"},"modified":"2024-11-26T23:17:58","modified_gmt":"2024-11-27T02:17:58","slug":"numeros-especiais-pares-e-impares","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/numeros-especiais-pares-e-impares\/","title":{"rendered":".N\u00fameros especiais – pares e \u00edmpares"},"content":{"rendered":"

\n

\n

N\u00fameros especiais<\/strong><\/p>\n

Pares e \u00edmpares<\/p>\n

\n
\n
<\/div>\n

\n

\n

Onde tudo come\u00e7a…<\/p>\n

\n

\n

O conjunto dos m\u00faltiplos naturais de [tex] \\, 2 \\, [\/tex], [tex]\\{0, \\, 2, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex], define uma categoria importante e muito antiga de n\u00fameros naturais: os n\u00fameros naturais pares<\/em>. Um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] \u00e9 dito par se [tex]n[\/tex] for um m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex]; assim temos formalmente a seguinte defini\u00e7\u00e3o:<\/span><\/p>\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] \u00e9 dito par <\/em><\/strong>se existir um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] de modo que [tex]n=2k[\/tex].
\nUm n\u00famero natural que n\u00e3o seja par chama-se \u00edmpar<\/em><\/strong>.<\/p>\n

\n

Se denotarmos o conjunto dos n\u00fameros naturais pares por [tex]\\mathbb{P}[\/tex] e o conjunto dos n\u00fameros naturais \u00edmpares por [tex]\\mathbb{I}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\mathbb{I}[\/tex] ser\u00e1 constitu\u00eddo pelos n\u00fameros naturais que n\u00e3o s\u00e3o pares e, assim, [tex]\\mathbb{P}=\\{0, \\, 2, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, \\cdots \\, \\} \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, \\mathbb{I}=\\{ \\, 1, \\, 3, \\, 5, \\, 7, \\, 9, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex].<\/span>
\n\"separado\"
\nPerde-se no tempo a classifica\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros naturais em pares e \u00edmpares. Na Gr\u00e9cia Antiga, essa classifica\u00e7\u00e3o j\u00e1 aparece na Escola Pitag\u00f3rica, por volta de 500 anos a.C., e com uma interpreta\u00e7\u00e3o muito pr\u00f3xima da que utilizaremos como defini\u00e7\u00e3o. De acordo com a concep\u00e7\u00e3o pitag\u00f3rica:<\/span><\/p>\n

par \u00e9 o n\u00famero que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio; e \u00edmpar \u00e9 aquele que n\u00e3o pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre h\u00e1 uma unidade no meio<\/strong>.<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n\n\n
\n

T\u00e1, os pares s\u00e3o os m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] e os \u00edmpares s\u00e3o m\u00faltiplos do qu\u00ea?<\/p>\n<\/td>\n

\"Probleminha2\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Os n\u00fameros naturais \u00edmpares n\u00e3o v\u00e3o ser caracterizados como m\u00faltiplos de um n\u00famero natural espec\u00edfico, pois esse n\u00famero n\u00e3o existe. A caracteriza\u00e7\u00e3o dos \u00edmpares \u00e9 feita de uma forma diferente. Observe a pr\u00f3xima discuss\u00e3o.<\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

Caracteriza\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros naturais \u00edmpares<\/p>\n

\n

\n

Inicialmente, vamos mostrar que n\u00e3o podemos caracterizar os naturais \u00edmpares como m\u00faltiplos de um determinado n\u00famero natural, pois tal n\u00famero n\u00e3o existe. <\/span><\/p>\n

Justificativa:<\/strong> Claramente [tex]1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 par ( [tex]2\\times 0=0\\lt 1\\lt 2=2\\times1\\lt 4=2\\times 2\\lt\\cdots)[\/tex], logo \u00e9 \u00edmpar. Por outro lado, o \u00fanico n\u00famero natural do qual [tex]1[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo \u00e9 o pr\u00f3prio [tex]1[\/tex]. Assim, se todos os \u00edmpares fossem m\u00faltiplos de um determinado n\u00famero natural, esse n\u00famero deveria ser [tex]1[\/tex]. Mas notem que todos os pares tamb\u00e9m s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]1[\/tex]; logo ser m\u00faltiplo de [tex]1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 uma caracter\u00edstica exclusiva dos \u00edmpares e, portanto, n\u00e3o podemos dizer que os \u00edmpares s\u00e3o aqueles n\u00fameros naturais que s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]1[\/tex], pois os pares igualmente o s\u00e3o.<\/p>\n

Tentemos, ent\u00e3o, outra caracteriza\u00e7\u00e3o. <\/span><\/p>\n

\n

Sabemos que, ao dividir um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] qualquer por [tex]2[\/tex], obtemos um quociente [tex]q[\/tex] e um resto [tex]r[\/tex], \u00fanicos, satisfazendo duas condi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n
[tex]n[\/tex] <\/td>\n [tex] \\, \\, 2[\/tex] <\/td>\n[tex]\\qquad \\qquad (1) \\, \\, 0 \\le r \\lt 2\\qquad \\qquad [\/tex] <\/span><\/td>\n<\/tr>\n
[tex]r [\/tex]<\/td>\n [tex] \\, \\, q\\qquad [\/tex] <\/td>\n [tex]\\qquad (2) \\, \\, n=q \\times 2+r[\/tex].<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Como, por [tex](1)[\/tex], [tex]0 \\le r \\lt 2 [\/tex], temos apenas duas op\u00e7\u00f5es para [tex]r[\/tex]: [tex]r=0[\/tex] ou [tex]r=1[\/tex]. Logo, se [tex]n[\/tex] for um n\u00famero natural, de acordo com [tex](2)[\/tex], [tex]n[\/tex] pode ter duas formas:
\n[tex]\\qquad n=q \\times 2\\qquad [\/tex] ou [tex]\\qquad n=q \\times 2+1[\/tex].
\nSe [tex] \\, n=q \\times 2[\/tex], ent\u00e3o [tex]n[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex]; portanto par. Bom, isso j\u00e1 sab\u00edamos; afinal, a forma de um par n\u00e3o \u00e9 [tex]2k[\/tex]?
\nSe [tex] \\, n=q \\times 2+1[\/tex], ent\u00e3o [tex]n[\/tex] n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex]; ou seja, \u00e9 \u00edmpar. Essa \u00e9 a novidade: a forma de um \u00edmpar \u00e9 [tex]2k+1[\/tex].<\/p>\n

\n

Resumindo a discuss\u00e3o:<\/p>\n

●<\/strong><\/span> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] \u00e9 escrito em uma e somente uma das formas
\n[tex]n=2k[\/tex] ou [tex]n=2k+1[\/tex], sendo [tex]k[\/tex] um n\u00famero natural.<\/span>
\n●<\/strong><\/span> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural par, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] \u00e9 da forma [tex]n=2k[\/tex], com [tex]k[\/tex] um n\u00famero natural.
\n●<\/strong><\/span> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural \u00edmpar, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] \u00e9 da forma [tex]n=2k+1[\/tex], com [tex]k[\/tex] um n\u00famero natural.
\n●<\/strong><\/span> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 da forma [tex]n=2k[\/tex], com [tex]k[\/tex] um n\u00famero natural, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural par.
\n●<\/strong><\/span> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 da forma [tex]n=2k+1[\/tex], com [tex]k[\/tex] um n\u00famero natural, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural \u00edmpar.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Percebam que as formas [tex]n=2k \\, [\/tex] e [tex] \\, n=2k+1[\/tex] mostram claramente as ideias pitag\u00f3ricas de que <\/span>“par \u00e9 o n\u00famero que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio<\/strong>“<\/span>, e “\u00edmpar \u00e9 o n\u00famero que n\u00e3o pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre h\u00e1 uma unidade no meio<\/strong>“<\/span>.
\n\"par+impar\"\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Os n\u00fameros pares e \u00edmpares t\u00eam um comportamento bastante peculiar com rela\u00e7\u00e3o \u00e0s opera\u00e7\u00f5es definidas no conjunto dos n\u00fameros naturais: adi\u00e7\u00e3o <\/strong> e multiplica\u00e7\u00e3o<\/strong>.
\nAcompanhem a pr\u00f3xima discuss\u00e3o.<\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

Paridade em [tex]\\mathbb{N}[\/tex] e sua aritm\u00e9tica<\/p>\n

\n

\n

Observem que, no box anterior, mais do que mostrar que <\/span><\/p>\n

●<\/strong><\/span> [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural par se, e somente se, [tex]n=2k[\/tex], para algum n\u00famero natural [tex]k[\/tex];
\n●<\/strong><\/span> [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural \u00edmpar se, e somente se, [tex]n=2k+1[\/tex], para algum n\u00famero natural [tex]k[\/tex];<\/p>\n

mostramos que todo n\u00famero natural assume uma e apenas uma destas formas: [tex]n=2k[\/tex] ; [tex]n=2k+1[\/tex], com [tex]k\\in\\mathbb{N}[\/tex]. Dessa maneira, temos que:<\/p>\n

[tex]\\qquad\\qquad\\boxed{\\mathbb{N}= \\mathbb{P} \\cup \\mathbb{I}}[\/tex], com [tex]\\boxed{\\mathbb{P} \\cap \\mathbb{I}=\\emptyset}[\/tex].<\/p>\n

Devido a essas duas caracter\u00edsticas, podemos utilizar linguagem matem\u00e1tica espec\u00edfica da Teoria de Conjuntos<\/strong> e dizer que [tex]\\{\\mathbb{P} \\, ; \\, \\mathbb{I} \\}[\/tex] \u00e9 uma parti\u00e7\u00e3o<\/u> <\/strong><\/span><\/a> de [tex]\\mathbb{N}[\/tex]. Na pr\u00e1tica isso significa que, dado um n\u00famero natural [tex]x[\/tex], [tex]x[\/tex] \u00e9 par ou [tex]x[\/tex] \u00e9 \u00edmpar e somente uma dessas duas op\u00e7\u00f5es. <\/span>
\nAssim, faz sentido a discuss\u00e3o que apresentaremos a seguir.<\/span><\/p>\n

\n

\n

Paridade<\/p>\n

\n

\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\n●<\/strong> Dizemos que um n\u00famero natural par tem paridade par.
\n●<\/strong> Dizemos que um n\u00famero natural \u00edmpar tem paridade \u00edmpar .
\n●<\/strong> Dizemos que dois n\u00fameros naturais t\u00eam a mesma paridade se ambos forem pares ou ambos forem \u00edmpares.
\n●<\/strong> Dizemos que dois n\u00fameros naturais t\u00eam paridade oposta se um for par e o outro for \u00edmpar.<\/p>\n

\n

A defini\u00e7\u00e3o de paridade deixa evidente que, antes de determinarmos se dois n\u00fameros naturais t\u00eam ou n\u00e3o a mesma paridade, \u00e9 necess\u00e1rio saber se cada um dos n\u00fameros \u00e9 par ou \u00edmpar. Para isso, podemos utilizar uma propriedade bastante conhecida que nos permite determinar se um n\u00famero natural qualquer \u00e9 par ou \u00edmpar, sem que fa\u00e7amos a divis\u00e3o desse n\u00famero por [tex]2[\/tex]: o crit\u00e9rio de divisibilidade por [tex]2[\/tex]<\/strong>. <\/span><\/p>\n

\n

\n

Decidindo a paridade de um n\u00famero natural<\/p>\n

\n

Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural.
\n\u2022 [tex]n[\/tex] \u00e9 par quando a sua representa\u00e7\u00e3o decimal terminar em [tex]0, \\, 2, \\, 4, \\, 6 \\, [\/tex] ou [tex] \\, 8[\/tex];
\n\u2022 [tex]n[\/tex] \u00e9 \u00edmpar quando a sua representa\u00e7\u00e3o decimal terminar em [tex]1, \\, 3, \\, 5, \\, 7 \\, [\/tex] ou [tex] \\, 9[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

\n

Agora ficou f\u00e1cil, n\u00e3o \u00e9? <\/strong><\/span>
\nPor maiores que sejam os n\u00fameros naturais [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex], para sabermos se esses n\u00fameros t\u00eam ou n\u00e3o a mesma paridade, basta observarmos os algarismos da unidade de suas respectivas representa\u00e7\u00f5es decimais e aplicarmos o crit\u00e9rio acima. Assim, por exemplo, <\/span><\/p>\n

●<\/strong><\/span> [tex]a=12987523[\/tex] e [tex]b=89635745[\/tex] t\u00eam a mesma paridade, j\u00e1 que ambos s\u00e3o \u00edmpares ([tex]a[\/tex] termina em [tex]3[\/tex] e [tex]b[\/tex] termina em [tex]5[\/tex]);
\n●<\/strong><\/span> [tex]a=89635871264596321786320[\/tex] e [tex]b=2598745369362531162223654[\/tex] t\u00eam a mesma paridade, j\u00e1 que ambos s\u00e3o pares ([tex]a[\/tex] termina em [tex]0[\/tex] e [tex]b[\/tex] termina em [tex]4[\/tex]);
\n●<\/strong><\/span> [tex]a=98636689878885021002547[\/tex] e [tex]b=5983265936669854478963243958[\/tex] t\u00eam paridade oposta, j\u00e1 que [tex]a[\/tex] \u00e9 \u00edmpar e [tex]b[\/tex] \u00e9 par ([tex]a[\/tex] termina em [tex]7[\/tex] e [tex]b[\/tex] termina em [tex]8[\/tex]).\n<\/div>\n

\n

A partir da paridade de dois n\u00fameros naturais, podemos determinar a paridade da soma e do produto desses n\u00fameros, sem sequer conhec\u00ea-los. Essas s\u00e3o caracter\u00edsticas que ajudam na solu\u00e7\u00e3o de v\u00e1rios problemas, ent\u00e3o vale a pena conhec\u00ea-las.<\/span><\/p>\n

\n

\n

Aritm\u00e9tica da paridade<\/p>\n

\n

\n\n\n\n
\nPropriedade 1 (Paridade da soma):<\/strong>
\n(a) A soma de dois n\u00fameros naturais de mesma paridade \u00e9 par.
\n(b) A soma de dois n\u00fameros naturais de paridade oposta \u00e9 \u00edmpar.<\/td>\n		\n

Propriedade 2 (Paridade do produto):<\/strong>
\nO produto de dois n\u00fameros naturais s\u00f3 ser\u00e1 \u00edmpar se os dois n\u00fameros forem \u00edmpares.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

\n
<\/p>\n
\n
\n● par<\/em> + par<\/em> = par <\/em>
\n● \u00edmpar <\/em>+ \u00edmpar <\/em>= par<\/em>
\n● par <\/em>+ \u00edmpar <\/em>= \u00edmpar<\/em>
\n● \u00edmpar <\/em>+ par <\/em>= \u00edmpar<\/em>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n
\n
<\/p>\n
\n
\n● par<\/em> x par<\/em> = par <\/em>
\n● par <\/em>x \u00edmpar <\/em>= par <\/em>
\n● \u00edmpar <\/em>x par <\/em>= par <\/em>
\n● \u00edmpar <\/em>x \u00edmpar <\/em>= \u00edmpar<\/em>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

<\/div>\n

\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Podemos utilizar essas duas propriedades para obter outras igualmente interessantes e importantes. Se voc\u00ea quiser resolver problemas sobre a aritm\u00e9tica da paridade, \u00e9 s\u00f3 clicar [tex] \\, \\fcolorbox{#77ae52}{#77ae52}{AQUI} \\, [\/tex]<\/span><\/a>.<\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

As duas formas obtidas, [tex]n=2k[\/tex] e [tex]n=2k+1[\/tex], produzem n\u00fameros inteiros, se [tex]k[\/tex] for um n\u00famero inteiro. Ent\u00e3o vamos utiliz\u00e1-las na generaliza\u00e7\u00e3o dos conceitos de par e \u00edmpar no conjunto dos n\u00fameros inteiros.<\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

Estendendo o conceito de paridade <\/p>\n

\n

\n

Se tomarmos o conjunto dos naturais pares e acrescentarmos para cada n\u00famero par o seu respectivo oposto obteremos o seguinte subconjunto dos inteiros:<\/span>
\n[tex]\\qquad\\qquad \\{0, \\, 2, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, \\cdots \\, \\}\\longrightarrow \\{0, \\, 2,-2, \\, 4,-4, \\, 6,-6, \\, 8,-8, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex]
\nque tradicionalmente \u00e9 escrito como
\n[tex]\\qquad\\qquad \\{ \\, \\cdots ,-8,-6,-4,-2, \\, 0, \\, 2, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex]
\ne cujos elementos podem ser escritos na forma [tex] \\, n=2k[\/tex], com [tex]k\\in\\mathbb{Z}[\/tex].
\nDe modo an\u00e1logo, se ao conjunto dos naturais \u00edmpares acrescentarmos para cada n\u00famero o seu respectivo oposto obteremos o seguinte subconjunto de [tex]\\mathbb{Z}[\/tex]:<\/span>
\n[tex]\\qquad\\qquad \\{1, \\, 3, \\, 5, \\, 7, \\, \\cdots \\, \\}\\longrightarrow \\{1,-1, \\, 3,-3, \\, 5,-5, \\, 7,-7, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex]
\nque tradicionalmente \u00e9 escrito como
\n[tex]\\qquad\\qquad \\{ \\, \\cdots ,-7,-5,-3,-1, \\, 1, \\, 3, \\, 5, \\, 7, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex]
\ne cujos elementos podem ser escritos na forma [tex] \\, n=2k+1[\/tex], com [tex]k\\in\\mathbb{Z}[\/tex].
\nOs dois conjuntos obtidos ser\u00e3o denominados conjunto dos inteiros pares e conjunto dos inteiros \u00edmpares, respectivamente.<\/span>
\n Nesta derradeira discuss\u00e3o, vamos utilizar as seguintes nota\u00e7\u00f5es para os quatro conjuntos de pares e \u00edmpares:<\/span>
\n[tex]\\quad \\mathbb{P}=\\{ \\, \\cdots ,-8,-6,-4,-2, \\, 0, \\, 2, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex] (inteiros pares);
\n[tex]\\quad \\mathbb{P_\\mathbb{N}}=\\{0, \\, 2, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex] (naturais pares);
\n[tex]\\quad \\mathbb{I}=\\{ \\, \\cdots ,-7,-5,-3,-1, \\, 1, \\, 3, \\, 5, \\, 7, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex] (inteiros \u00edmpares);
\n[tex]\\quad \\mathbb{I_\\mathbb{N}}=\\{1, \\, 3, \\, 5, \\, 7, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex] (naturais \u00edmpares).<\/p>\n

\n

Como:<\/span><\/p>\n

(1) [tex] \\mathbb{P}\\subset\\mathbb{Z}[\/tex];
\n(2) [tex] \\mathbb{I}\\subset\\mathbb{Z}[\/tex];
\n(3) [tex] \\mathbb{P}\\cap\\mathbb{I}=\\emptyset[\/tex];
\n(4) [tex] \\mathbb{P}\\cup\\mathbb{I}=\\mathbb{Z}[\/tex];<\/p>\n

ent\u00e3o [tex]\\{\\mathbb{P} \\, ; \\, \\mathbb{I}\\}[\/tex] \u00e9 uma (bi)parti\u00e7\u00e3o de [tex] \\mathbb{Z}[\/tex].
\nCom base no at\u00e9 aqui exposto, em nossas discuss\u00f5es, podemos estender o conceito de paridade e adotar as seguintes defini\u00e7\u00f5es:<\/span><\/p>\n

\n

Defini\u00e7\u00f5es:<\/strong>
\n●<\/strong> Um n\u00famero inteiro [tex]m[\/tex] \u00e9 dito par <\/em><\/strong>se existir um n\u00famero inteiro [tex]t[\/tex] de modo que [tex]m=2t[\/tex].
\n●<\/strong> Um n\u00famero inteiro [tex]m[\/tex] \u00e9 dito \u00edmpar <\/em><\/strong>se existir um n\u00famero inteiro [tex]t[\/tex] de modo que [tex]m=2t+1[\/tex].
\n●<\/strong> Diremos que os n\u00fameros inteiros (ou naturais) [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] t\u00eam a mesma paridade se forem ambos pares ou ambos \u00edmpares. Caso contr\u00e1rio, dizemos que [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] t\u00eam paridade oposta.<\/p>\n

\n

A paridade da soma e a paridade do produto podem, tamb\u00e9m, ser estendidas para o conjunto dos n\u00fameros inteiros. <\/span>
\n\"aritmetica\"<\/p>\n

\n

As demonstra\u00e7\u00f5es dessas propriedades s\u00e3o id\u00eanticas \u00e0s demonstra\u00e7\u00f5es feitas nesta p\u00e1gina<\/u> <\/strong><\/span><\/a>, bastando, apenas, observar que:<\/span>
\n●<\/strong><\/span> A soma de n\u00fameros inteiros \u00e9 sempre um n\u00famero inteiro.
\n●<\/strong><\/span> O produto de n\u00fameros inteiros \u00e9 sempre um n\u00famero inteiro.<\/strong>
\nou seja, o conjunto dos n\u00fameros inteiros \u00e9 tamb\u00e9m fechado com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 adi\u00e7\u00e3o e \u00e0 multiplica\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span>.
\n\"fechamento2\"
\nMais do que isso, como em [tex]\\mathbb{Z}[\/tex] podemos definir diferen\u00e7as sem restri\u00e7\u00f5es e toda diferen\u00e7a de n\u00fameros inteiros pode ser vista como uma soma: [tex]a-b=a+(-b)[\/tex], ent\u00e3o a diferen\u00e7a em [tex]\\mathbb{Z}[\/tex] herda as propriedades da paridade da soma dos inteiros.<\/span><\/p>\n

\n

\n

\n\n\n
\"fechamento3\"<\/p>\n

<\/td>\n

\"aritmetica2\"\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Que tal voc\u00eas tentarem demonstrar a paridade da soma, da diferen\u00e7a e do produto de inteiros, fazendo as devidas adapta\u00e7\u00f5es nas demonstra\u00e7\u00f5es feitas nesta p\u00e1gina<\/u><\/strong><\/span><\/a>?
\n\u00c9 um bom exerc\u00edcio!<\/strong> <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

\u00c9 surpreendente como, utilizando apenas o conceito e propriedades simples
\nde paridade, podemos resolver problemas interessantes e n\u00e3o rotineiros.
\nVejam alguns deles clicando no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

\n

<\/div>\n
\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Fevereiro de 2016.<\/p>\n

\n

\n
\nRefer\u00eancias:<\/strong>
\n✓<\/strong><\/span> BOYER, C. B., Hist\u00f3ria da Matem\u00e1tica<\/strong>. S\u00e3o Paulo: Edgard Bl\u00fccher, 1974.
\n✓<\/span> DOMINGUES, H. H., Fundamentos de Aritm\u00e9tica<\/strong>. S\u00e3o Paulo: Atual Editora, 1991.
\n✓<\/strong><\/span> FOMIN, D; GENKIN, S.; ITENBERG, I., C\u00edrculos Matem\u00e1ticos<\/strong>. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
\n✓<\/span> PATERLINI, R. R., Aritm\u00e9tica dos n\u00fameros inteiros<\/strong><\/span>.<\/a> (\u00daltimo acesso em 20\/06\/20).
\n✓<\/span> SAMPAIO, J.C.V.; CAETANO, P.A.S., Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 Teoria dos N\u00fameros – Um curso breve<\/strong>. S\u00e3o Carlos: EDUFScar, 2008.\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

N\u00fameros especiais Pares e \u00edmpares Onde tudo come\u00e7a… O conjunto dos m\u00faltiplos naturais de [tex] \\, 2 \\, [\/tex], [tex]\\{0, \\, 2, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, \\cdots \\, \\}[\/tex], define uma categoria importante e muito antiga de n\u00fameros naturais: os n\u00fameros naturais pares. Um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] \u00e9 dito par se [tex]n[\/tex] … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-55747","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/55747","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=55747"}],"version-history":[{"count":45,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/55747\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":223553,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/55747\/revisions\/223553"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=55747"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}