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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Discutindo a afirma\u00e7\u00e3o (*)<\/strong><\/span> <\/p>\n \n A afirma\u00e7\u00e3o (*)<\/strong><\/span> \u00e9 consequ\u00eancia da seguinte proposi\u00e7\u00e3o: Perceba que isto equivale a mostrar que se [tex]n+1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo \u00edmpar, ent\u00e3o \u00e9 imposs\u00edvel termos [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}[\/tex] inteiro<\/strong>. Bem, se [tex]n+1=2[\/tex], temos [tex]n-1=0[\/tex] e [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}=\\frac{2\\cdot 0!}{2}=0!=1[\/tex] (inteiro). b) [tex]n+1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 da forma [tex]p^2[\/tex], com [tex]p[\/tex] primo. Portanto, temos que para [tex]n[\/tex] inteiro positivo, [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}[\/tex] \u00e9 inteiro somente se<\/strong> [tex]n+1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero primo \u00edmpar e<\/strong> [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}[\/tex] \u00e9 inteiro se <\/strong>[tex]n+1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero primo \u00edmpar. \n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero inteiro positivo menor ou igual a [tex]24[\/tex]. Para quantos valores de [tex]n[\/tex] a divis\u00e3o de [tex]n ![\/tex] por [tex]1 + 2 + \\ldots + n[\/tex] resulta em um n\u00famero inteiro? Solu\u00e7\u00e3o Como [tex]1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n+1)}{2}[\/tex], … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nSeja [tex]n[\/tex] um n\u00famero inteiro positivo menor ou igual a [tex]24[\/tex].
\nPara quantos valores de [tex]n[\/tex] a divis\u00e3o de [tex]n ![\/tex] por [tex]1 + 2 + \\ldots + n[\/tex] resulta em um n\u00famero inteiro?<\/p>\n
\nComo [tex]1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n+1)}{2}[\/tex], o problema equivale a determinar para quais n\u00fameros inteiros positivos \u00edmpares o valor de [tex]\\dfrac{n!}{\\frac{n(n+1)}{2}}[\/tex] \u00e9 inteiro.
\nMas
\n[tex]\\qquad\\qquad\\dfrac{n!}{\\dfrac{n(n+1)}{2}}= \\dfrac{2 n!}{n(n+1)}=\\frac{2 n(n-1)!}{n(n+1)}=\\dfrac{2 (n-1)!}{n+1}[\/tex]
\nassim, basta termos para [tex]1 \\le n \\le 24[\/tex] um valor inteiro para [tex]\\dfrac{2(n-1)!}{n+1}[\/tex].
\n(*)<\/span> Essa fra\u00e7\u00e3o \u00e9 um n\u00famero inteiro, exceto quando [tex]n+1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo \u00edmpar<\/strong>.
\nTemos oito n\u00fameros primos \u00edmpares menores ou iguais a [tex]25[\/tex], portanto h\u00e1 [tex]24 – 8 = 16[\/tex] n\u00fameros menores ou iguais a [tex]24[\/tex] que satisfazem a condi\u00e7\u00e3o inicial do problema.<\/p>\n
\n
\nProposi\u00e7\u00e3o: Para [tex]n[\/tex] inteiro positivo, [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}[\/tex] \u00e9 inteiro se, e somente se, [tex]n+1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero primo \u00edmpar.<\/strong>
\nDemonstra\u00e7\u00e3o da proposi\u00e7\u00e3o:<\/strong> Para provarmos esta proposi\u00e7\u00e3o, podemos dividir a demonstra\u00e7\u00e3o em duas partes. Antes de come\u00e7armos, perceba que [tex]n[\/tex] inteiro positivo indica que [tex]n\\ge 1[\/tex] e, assim, [tex]n+1\\ge 2[\/tex], o que garante que [tex]n+1\\ne 1[\/tex] e, portanto, ou \u00e9 primo ou \u00e9 composto.<\/p>\n\n
\n
\nDe fato, se [tex]n+1[\/tex] \u00e9 primo \u00edmpar, o denominador da fra\u00e7\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel apenas por [tex]1[\/tex] e por [tex]n+1[\/tex]. Entretanto, o numerador n\u00e3o possui o fator primo \u00edmpar [tex]n+1[\/tex] em sua decomposi\u00e7\u00e3o, ou seja, a fra\u00e7\u00e3o n\u00e3o representa um n\u00famero inteiro.
\nRealmente, \u00e9 poss\u00edvel provar (foge dos objetivos desta demonstra\u00e7\u00e3o faz\u00ea-lo, mas podemos utilizar o resultado) que, se [tex]p[\/tex] \u00e9 um primo e se uma multiplica\u00e7\u00e3o de inteiros \u00e9 divis\u00edvel por [tex]p[\/tex], ent\u00e3o pelo menos um daqueles inteiros \u00e9 divis\u00edvel por [tex]p[\/tex]. Como [tex]n+1[\/tex] \u00e9 um primo \u00edmpar, dizer que [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}[\/tex] \u00e9 inteiro equivale a dizer que ao menos um dos inteiros [tex]1,2,\\cdots,(n-1)[\/tex], que formam o produto [tex]2(n-1)![\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]n+1[\/tex], o que n\u00e3o procede.
\nSendo assim: Para [tex]n[\/tex] inteiro positivo, [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}[\/tex] \u00e9 inteiro somente se<\/strong> [tex]n+1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero primo \u00edmpar.<\/ul>\n\n
\nAgora, se [tex]n+1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero composto, podemos considerar dois casos distintos:
\na) [tex]n+1[\/tex] \u00e9 da forma [tex]p^2[\/tex], com [tex]p[\/tex] primo; <\/p>\n
\nNo caso b), [tex]n+1[\/tex] possui mais de [tex]1[\/tex] divisor positivo diferentes de [tex]1[\/tex] e de [tex]n+1[\/tex], o que significa que podemos escrever [tex]n+1[\/tex] como a multiplica\u00e7\u00e3o de dois fatores inteiros positivos distintos menores que [tex]n[\/tex], j\u00e1 que [tex]n[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divisor de [tex]n+1[\/tex] (do contr\u00e1rio existiria [tex]k[\/tex] inteiro positivo tal que [tex]n+1=kn[\/tex], ou seja, [tex]n(1-k)=-1[\/tex], donde ter\u00edamos [tex]1-k=-1[\/tex] e [tex]n=1[\/tex], j\u00e1 que [tex]1\\cdot(-1)[\/tex] \u00e9 a \u00fanica forma de representar [tex]-1[\/tex] como produto de dois n\u00fameros inteiros – conven\u00e7a-se disso. Mas consideramos [tex]n+1>2\\iff n>1[\/tex] nesta parte da demonstra\u00e7\u00e3o, logo [tex]n\\not=1[\/tex] e [tex]n[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divisor de [tex]n+1[\/tex]).
\nVeja que [tex](n-1)![\/tex] cont\u00e9m esses dois fatores, de onde conclu\u00edmos que [tex]n+1\\mid(n-1)![\/tex], digo, que [tex](n-1)!=(n+1)q[\/tex] para algum [tex]q\\in\\mathbb{Z}[\/tex] e, assim, [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}=2q[\/tex] (inteiro).
\nPara o caso a), observe que [tex]n+1=p^2=p\\cdot (p-1)+p[\/tex] e, como [tex]p\\ge2[\/tex] (pois [tex]p[\/tex] \u00e9 primo!), [tex]n+1-p=p\\cdot (p-1)\\le n-1[\/tex], ou seja, [tex]n-1\\ge p\\cdot (p-1)[\/tex]. Assim, o produto representado por [tex](n-1)![\/tex] cont\u00e9m pelo menos [tex]p-1[\/tex] m\u00faltiplos positivos de [tex]p[\/tex], donde [tex](n-1)![\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]p^{p-1}[\/tex].
\nSe [tex]p>2[\/tex], [tex]p-1\\ge2[\/tex] e [tex](n-1)![\/tex] ser divis\u00edvel por [tex]p^{p-1}[\/tex] implica que [tex](n-1)![\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]p^2=n+1[\/tex], donde [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}\\in\\mathbb{Z}[\/tex]. De fato, busque entender que se um inteiro [tex]b[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por uma pot\u00eancia de um inteiro [tex]a[\/tex], [tex]a^x[\/tex], ent\u00e3o [tex]b[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por todo [tex]a^y[\/tex], com [tex]0\\le y\\le x[\/tex], [tex]x,y\\in\\mathbb{N}[\/tex], e busque compreender como aplicamos isso acima.
\nPor fim, se [tex]p=2[\/tex], [tex]n+1=2^2=4[\/tex] e [tex]n-1=2[\/tex], donde [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}=\\frac{2\\cdot 2!}{4}=1[\/tex] (inteiro), completando a demonstra\u00e7\u00e3o.<\/ul>\n
\nLogo, a proposi\u00e7\u00e3o que fizemos \u00e9 verdadeira: Para [tex]n[\/tex] inteiro positivo, [tex]\\frac{2(n-1)!}{n+1}[\/tex] \u00e9 inteiro se, e somente se, [tex]n+1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero primo \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n