{"id":55512,"date":"2016-01-21T17:46:41","date_gmt":"2016-01-21T19:46:41","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=55512"},"modified":"2020-09-22T22:56:14","modified_gmt":"2020-09-23T01:56:14","slug":"numeros-especiais-pares-e-impares-aritmetica-da-paridade","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/numeros-especiais-pares-e-impares\/numeros-especiais-pares-e-impares-aritmetica-da-paridade\/","title":{"rendered":"N\u00fameros especiais – pares e \u00edmpares: Aritm\u00e9tica da paridade"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Aritm\u00e9tica da paridade<\/p>\n

\n

Em v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es \u00e9 poss\u00edvel determinarmos a paridade de express\u00f5es envolvendo n\u00fameros naturais, a partir da paridade desses n\u00fameros, sem sequer calcular as express\u00f5es.
\nNesta sala, vamos apresentar alguns problemas com essa caracter\u00edstica e, praticamente, necessitaremos apenas das propriedades da paridade da soma<\/strong> e da paridade do produto<\/strong>. Essas propriedades j\u00e1 foram apresentadas, mas reapresentaremos cada uma delas acompanhada de sua respectiva demonstra\u00e7\u00e3o. <\/p>\n

\nPropriedade 1 (Paridade da soma):<\/strong>
\n(a)<\/strong> A soma de dois n\u00fameros naturais de mesma paridade \u00e9 par.
\n(b)<\/strong> A soma de dois n\u00fameros naturais de paridade oposta \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
\nDemonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\n(a)<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais de mesma paridade.<\/p>\n

(a1<\/sub>)<\/strong> Suponhamos, inicialmente, que [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] sejam pares.
\nAssim, existem n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] tais que [tex]a=2k[\/tex] e [tex]b=2t[\/tex]. Dessa forma:
\n[tex]\\qquad a+b=2k+2t=2(k+t).\\qquad\\qquad(i)[\/tex]
\nSe [tex]m=k+t[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; logo, segue de [tex](i)[\/tex] que
\n[tex]\\qquad a+b=2m[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nEnt\u00e3o, [tex]a+b[\/tex] \u00e9 par.<\/strong><\/p>\n

(a2<\/sub>)<\/strong> Suponhamos, agora, que [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] sejam \u00edmpares.
\nLogo, existem n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] tais que [tex]a=2k+1[\/tex] e [tex]b=2t+1[\/tex]. Assim:
\n[tex]\\qquad a+b=(2k+1)+(2t+1)=2k+2t+2=2(k+t+1).\\qquad\\qquad(ii)[\/tex]
\nSe [tex]m=k+t+1[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; portanto, de [tex](ii)[\/tex], vem que
\n[tex]\\qquad a+b=2m[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nPortanto, [tex]a+b[\/tex] \u00e9, igualmente, par.<\/strong><\/p>\n

(b)<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais de paridade oposta. Assim, um desses n\u00fameros \u00e9 par e o outro \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n

Suponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]a[\/tex] seja par e [tex]b[\/tex] seja \u00edmpar.
\nDessa forma, existem n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] tais que [tex]a=2k[\/tex] e [tex]b=2t+1[\/tex] e, com isso,
\n[tex]\\qquad a+b=2k+(2t+1)=2(k+t)+1.\\qquad\\qquad(iii)[\/tex]
\nSe [tex]m=k+t[\/tex], como [tex]t[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, de [tex](iii)[\/tex], temos que
\n[tex]\\qquad a+b=2m+1[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nPortanto, [tex]a+b[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\nPropriedade 2 (Paridade do produto):<\/strong>
\nO produto de dois n\u00fameros naturais s\u00f3 ser\u00e1 \u00edmpar se os dois n\u00fameros forem \u00edmpares.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
\nDemonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/p>\n

(a)<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais \u00edmpares.
\nAssim, existem n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] tais que [tex]a=2k+1[\/tex] e [tex]b=2t+1[\/tex]. Ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad a\\cdot b=(2k+1)\\cdot (2t+1)=4(k\\cdot t)+2k+2t+1=2(2(k\\cdot t)+k+t)+1.\\qquad\\qquad(i)[\/tex]
\nSe [tex]m=2(k\\cdot t)+k+t[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; logo, segue de [tex](i)[\/tex] que
\n[tex]\\qquad a\\cdot b=2m+1[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nPortanto, [tex]a\\cdot b[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n

(b)<\/strong> Suponhamos, agora, que [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] sejam n\u00fameros naturais, com [tex]a[\/tex] par. Aqui n\u00e3o importa se [tex]b[\/tex] \u00e9 par ou \u00edmpar: s\u00f3 precisamos garantir que os dois n\u00e3o s\u00e3o \u00edmpares.
\nComo [tex]a[\/tex] \u00e9 par, existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] tal que [tex]a=2k[\/tex]. Assim,
\n[tex]\\qquad a\\cdot b=(2k)\\cdot b=2(k\\cdot b).\\qquad\\qquad(ii)[\/tex]
\nSe [tex]m=k\\cdot b[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; portanto, de [tex](ii)[\/tex], conclu\u00edmos que
\n[tex]\\qquad a\\cdot b=2m[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nLogo, [tex]a\\cdot b[\/tex] \u00e9 par, <\/strong>independente de [tex]b[\/tex] ser par ou \u00edmpar.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n\"aritmetica\"<\/p>\n

\n
\n
\n

Problemas<\/p>\n

\n

\nProblema 1:<\/strong> Prove que todo n\u00famero natural e seu quadrado t\u00eam a mesma paridade.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nEste resultado \u00e9 uma consequ\u00eancia da propriedade 2, mas vamos fazer uma demonstra\u00e7\u00e3o independente.<\/p>\n

(a)<\/strong> Seja [tex]a[\/tex] um n\u00famero natural \u00edmpar.
\nEnt\u00e3o existe um [tex]k[\/tex] natural tal que [tex]a=2k+1[\/tex]. Assim
\n[tex]\\qquad a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1.\\qquad\\qquad(i)[\/tex]
\nSe [tex]m=2k^2+2k[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; logo, segue de [tex](i)[\/tex] que
\n[tex]\\qquad a^2=2m+1[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nPortanto, assim como [tex]a[\/tex], [tex]a^2[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n

(b)<\/strong> Suponhamos, agora, que [tex]a[\/tex] seja um n\u00famero natural par.
\nLogo existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] tal que [tex]a=2k[\/tex] e, ent\u00e3o,
\n[tex]\\qquad a^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2).\\qquad\\qquad(ii)[\/tex]
\nSe [tex]m=2k^2[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural e, portanto, de [tex](ii)[\/tex], conclu\u00edmos que
\n[tex]\\qquad a^2=2m[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nLogo, assim como [tex]a[\/tex], [tex]a^2[\/tex] \u00e9 par.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\nProblema 2:<\/strong> Prove que um n\u00famero natural e seu cubo t\u00eam a mesma paridade.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/p>\n

(a)<\/strong> Seja [tex]a[\/tex] um n\u00famero natural par.
\nPelo problema 1<\/strong>, [tex]a^2[\/tex] \u00e9 par, logo, como o produto de dois pares \u00e9 um par, ent\u00e3o [tex]a^3[\/tex] \u00e9 par.<\/p>\n

[tex]a^3=\\underbrace{\\underbrace{a^2}_{par}\\cdot \\underbrace{a}_{par}}_{par}[\/tex]<\/p>\n

(b)<\/strong> Seja [tex]a[\/tex] um n\u00famero natural \u00edmpar.
\nPelo problema 1<\/strong>, [tex]a^2[\/tex] \u00e9 \u00edmpar, logo, como o produto de dois \u00edmpares \u00e9 um \u00edmpar, ent\u00e3o [tex]a^3[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n

[tex]a^3=\\underbrace{\\underbrace{a^2}_{\u00edmpar}\\cdot \\underbrace{a}_{\u00edmpar}}_{\u00edmpar}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 3:<\/strong> Prove que, para quaisquer n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], se [tex]a[\/tex] for \u00edmpar ent\u00e3o [tex]b[\/tex] e [tex]a\\cdot b[\/tex] t\u00eam a mesma paridade.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nTome dois n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], com [tex]a[\/tex] \u00edmpar; assim [tex]a=2k+1[\/tex], com [tex]k\\in \\mathbb{N}[\/tex].<\/p>\n

(a)<\/strong> Suponha, inicialmente, [tex]b[\/tex] par. Assim, pela propriedade 2<\/strong>, [tex]a\\cdot b[\/tex] \u00e9 par, que \u00e9 a paridade de [tex]b[\/tex].<\/p>\n

[tex]\\underbrace{\\underbrace{a}_{\u00edmpar}\\cdot \\underbrace{b}_{par}}_{par}[\/tex]<\/p>\n

(b)<\/strong> Suponha, agora, [tex]b[\/tex] \u00edmpar. Assim, pela propriedade 2<\/strong>, [tex]a\\cdot b[\/tex] \u00e9 \u00edmpar, que \u00e9 a paridade de [tex]b[\/tex].<\/p>\n

[tex]\\underbrace{\\underbrace{a}_{\u00edmpar}\\cdot \\underbrace{b}_{\u00edmpar}}_{\u00edmpar}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 4:<\/strong> Sejam [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex]n\\ge 0[\/tex] e [tex]m\\ge 1[\/tex]. Mostre que [tex]n^m[\/tex] e [tex]n[\/tex] t\u00eam a mesma paridade.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
Lembre que
\n[tex]\\qquad n^1=n[\/tex]
\n[tex]\\qquad n^m=\\underbrace{n\\cdot \\ldots \\cdot n}_{m-vezes}[\/tex], se [tex]m\\gt 1[\/tex],
\ne utilize a propriedade 2<\/strong>.<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 5:<\/strong> Mostre que se um n\u00famero natural \u00e9 par, seu sucessor \u00e9 \u00edmpar, e vice-versa, ou seja, n\u00fameros naturais consecutivos t\u00eam paridade oposta.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nSeja [tex]a[\/tex] um n\u00famero natural e considere o seu sucessor, [tex]a+1[\/tex].<\/p>\n

(a)<\/strong> Suponha, inicialmente, [tex]a[\/tex] par. Assim, existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] de modo que [tex]a=2k[\/tex].
\nCom isso, temos que [tex]a+1=2k+1[\/tex], ou seja, [tex]a+1[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n

(b)<\/strong> Suponha, agora, [tex]a[\/tex] \u00edmpar. Ent\u00e3o, existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] de modo que [tex]a=2k+1[\/tex].
\nDessa forma, [tex]a+1=2k+2=2(k+1)[\/tex]. Se fizermos [tex]m=k+1[\/tex], ent\u00e3o teremos que [tex]\\,a+1=2m[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex], ou seja, [tex]a+1[\/tex] \u00e9 par.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 6:<\/strong> Mostre que a soma de qualquer quantidade de n\u00fameros naturais pares \u00e9 um natural par.\n<\/div>\n

\n

\nProblema 7:<\/strong> Mostre que a soma de uma quantidade par de naturais todos \u00edmpares \u00e9 um natural par.\n<\/div>\n

\n

\nProblema 8:<\/strong> Mostre que a soma de uma quantidade \u00edmpar de naturais todos \u00edmpares \u00e9 um natural \u00edmpar.\n<\/div>\n

\n

\nProblema 9:<\/strong> Mostre que somando n\u00fameros naturais pares e \u00edmpares obtemos um n\u00famero natural que tem a mesma paridade que a quantidade de parcelas \u00edmpares que foram somadas.\n<\/div>\n

\n

\nProblema 10:<\/strong> Mostre que todo n\u00famero natural \u00edmpar pode ser escrito como diferen\u00e7a de dois quadrados naturais.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
Observe que:
\n[tex]\\qquad (k+1)^2-k^2=2k+1[\/tex] <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 11:<\/strong> Mostre que todo n\u00famero natural m\u00faltiplo de [tex]4[\/tex] pode ser escrito como diferen\u00e7a de dois quadrados naturais.<\/p>\n

\n

<\/p>\n
\n
Observe que:
\n[tex]\\qquad (k+1)^2-(k-1)^2=4k[\/tex] <\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 12:<\/strong> Mostre que se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural \u00edmpar, ent\u00e3o [tex]n^2[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]8[\/tex] acrescido de [tex]1[\/tex], ou seja, [tex]n^2=8t+1[\/tex], para algum natural [tex]t[\/tex].\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 13:<\/strong> Mostre que se os n\u00fameros naturais [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] t\u00eam a mesma paridade, ent\u00e3o o n\u00famero [tex]x=\\dfrac{m+n}{2}[\/tex] \u00e9 natural.\n<\/div>\n

\n

\nProblema 14:<\/strong> Mostre que se os n\u00fameros naturais [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] s\u00e3o \u00edmpares, ent\u00e3o o n\u00famero [tex]x=\\dfrac{m^2+n^2}{2}[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.\n<\/div>\n
\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

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Aritm\u00e9tica da paridade Em v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es \u00e9 poss\u00edvel determinarmos a paridade de express\u00f5es envolvendo n\u00fameros naturais, a partir da paridade desses n\u00fameros, sem sequer calcular as express\u00f5es. Nesta sala, vamos apresentar alguns problemas com essa caracter\u00edstica e, praticamente, necessitaremos apenas das propriedades da paridade da soma e da paridade do produto. Essas propriedades j\u00e1 foram … <\/p>\n

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