{"id":54992,"date":"2016-01-05T21:30:01","date_gmt":"2016-01-05T23:30:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=54992"},"modified":"2020-11-18T23:58:41","modified_gmt":"2020-11-19T01:58:41","slug":"poligonos-problemas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/poligonos-problemas\/","title":{"rendered":".Pol\u00edgonos – Problemas"},"content":{"rendered":"
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Problemas<\/strong><\/p>\n

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Se voc\u00ea gosta de resolver problemas, aqui v\u00e3o alguns…<\/strong><\/span><\/p>\n

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Problema 1:<\/strong>
\nA figura abaixo n\u00e3o \u00e9 um pol\u00edgono. Por qu\u00ea?\"prob1\"<\/span><\/p>\n

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Problema 2:<\/strong>
\nQuantas diagonais tem um pol\u00edgono convexo de 4 lados?
\nE um com 5 lados?
\nE um com 6 lados?
\nE um com 7 lados?
\nE um com 13 lados?
\nE um com 101 lados?
\n<\/span><\/p>\n

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Problema 3:<\/strong>
\nQuantas diagonais tem um pol\u00edgono convexo de n<\/em><\/strong> lados?
\nJustifique.<\/span><\/p>\n

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\nA resposta do Problema 3 \u00e9 um resultado cl\u00e1ssico da Geometria Plana:
\nTodo pol\u00edgono convexo de n lados tem exatamente [tex] \\dfrac{n(n-3)}{2}[\/tex] diagonais.<\/strong>
\nA demonstra\u00e7\u00e3o dessa afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 bem simples: basta contar quantas diagonais saem de cada v\u00e9rtice do pol\u00edgono e observar que algumas dessas diagonais podem ter sido contadas mais de uma vez!\n<\/div>\n

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Problema 4:<\/strong>
\nVerifique a veracidade da seguinte afirma\u00e7\u00e3o:
\nSe uma diagonal de um pol\u00edgono \u00e9 externa a ele, ent\u00e3o o pol\u00edgono n\u00e3o \u00e9 convexo.<\/em><\/strong><\/span><\/p>\n

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Problema 5:<\/strong>
\n Qual \u00e9 a soma, em graus, das medidas dos \u00e2ngulos internos de um pol\u00edgono convexo de n<\/em><\/strong> lados?<\/span><\/p>\n

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\nA resposta do Problema 5 \u00e9 mais um resultado cl\u00e1ssico da Geometria Plana:
\nA soma, em graus, das medidas dos \u00e2ngulos internos de um pol\u00edgono convexo de n<\/em> lados \u00e9 dada por [tex](n-2)\\cdot 180^{\\circ}[\/tex].<\/strong>
\nA demonstra\u00e7\u00e3o dessa afirma\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 complicada: Fixe um dos v\u00e9rtices e trace todas as diagonais do pol\u00edgono definidas por esse v\u00e9rtice. Observe que assim teremos definidos [tex]n-2[\/tex] tri\u00e2ngulos na regi\u00e3o poligonal e lembre-se de que a soma, em graus, da medida dos \u00e2ngulos internos de cada tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex] 180^{\\circ}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Problema 6:<\/strong>
\nQual \u00e9 o pol\u00edgono convexo que possui 65 diagonais?
\nResposta:<\/strong> \u00c9 o pol\u00edgono de 13 lados.<\/span><\/p>\n

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Problema 7:<\/strong>
\nQual o pol\u00edgono convexo cujo n\u00famero de diagonais \u00e9 igual ao qu\u00e1druplo do n\u00famero de lados?
\nResposta:<\/strong> Undec\u00e1gono.<\/span>\n<\/p>\n

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Problema 8:<\/strong>
\nAs mediatrizes de dois lados consecutivos de um pol\u00edgono convexo regular formam entre si um \u00e2ngulo de 24°. Determine o n\u00famero de diagonais desse pol\u00edgono.
\nResposta:<\/strong> 90 diagonais.<\/span>\n<\/p>\n

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Problema 9:<\/strong>
\nProlongando-se os lados AB<\/span> e CD<\/span> de um pol\u00edgono convexo regular, obt\u00e9m-se um \u00e2ngulo de 132°.
\nQue pol\u00edgono \u00e9 esse?
\nResposta:<\/strong> \u00c9 o pol\u00edgono convexo regular de 15 lados (pentadec\u00e1gono).<\/span>\n<\/p>\n

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Problema 10:<\/strong>
\nUm dos \u00e2ngulos internos de um pol\u00edgono regular convexo mede 18°.
\nCalcule o n\u00famero de lados desse pol\u00edgono.<\/span>\n<\/p>\n

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Problema 11:<\/strong>
\nEm um pol\u00edgono regular convexo ABCDE <\/em><\/strong> , o \u00e2ngulo B\u00c2D<\/em><\/strong> mede 18°.
\nQual o n\u00famero de lados desse pol\u00edgono?
\nResposta:<\/strong> 20 lados (icos\u00e1gono).<\/span>\n<\/p>\n

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Um problema e um applet<\/em><\/strong><\/span><\/p>\n

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\nUm pol\u00edgono que tenha todos os seus lados com o mesmo comprimento \u00e9 denominado de pol\u00edgono equil\u00e1tero<\/em><\/strong>. Um pol\u00edgono que tenha todos os seus \u00e2ngulos internos com a mesma medida \u00e9 denominado de pol\u00edgono equi\u00e2ngulo<\/em><\/strong>.
\nAssim, uma pergunta natural seria: Um pol\u00edgono equil\u00e1tero \u00e9 necessariamente equi\u00e2ngulo?<\/strong>
\nDe forma expl\u00edcita, se um pol\u00edgono tem todos seus lados com um mesmo comprimento, ent\u00e3o todos os seus \u00e2ngulos internos tamb\u00e9m ter\u00e3o a mesma medida?
\nO applet<\/em> abaixo ajudar\u00e1 voc\u00ea com a resposta. <\/span><\/p>\n

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\n1) Aguarde o arquivo carregar e aceite a execu\u00e7\u00e3o da aplica\u00e7\u00e3o.
\n2) Neste applet<\/em>, voc\u00ea visualizar\u00e1 dois pent\u00e1gonos regulares cujos lados medem 20 unidades de comprimento.
\na) O pent\u00e1gono da esquerda poder\u00e1 ser deformado. Voc\u00ea n\u00e3o poder\u00e1 modificar o comprimento dos lados, mas poder\u00e1 modificar as medidas dos \u00e2ngulos internos: para isso clique sobre um dos v\u00e9rtices desse pol\u00edgono com o bot\u00e3o esquerdo do mouse, mantenha o bot\u00e3o pressionado e arraste o ponto.
\nb) O pent\u00e1gono da direita n\u00e3o poder\u00e1 ser deformado, mas poder\u00e1 ser deslocado: para isso clique no interior desse pol\u00edgono com o bot\u00e3o esquerdo do mouse, mantenha o bot\u00e3o pressionado e arraste o pol\u00edgono.
\nPara voltar os pent\u00e1gonos para suas posi\u00e7\u00f5es iniciais, basta clicar sobre o \u00edcone que aparece no canto superior direito do applet<\/em>.
\n3) O que voc\u00ea pode concluir, a partir de suas observa\u00e7\u00f5es? <\/span><\/p>\n

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\tPara carregar o applet, clique AQUI<\/strong><\/span><\/a>
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