Aritm\u00e9tica da paridade – Paridade da soma e do produto<\/p>\n
\n
\n
Para demonstrarmos as duas propriedades iniciais sobre paridade da soma e paridade do produto, precisamos apenas observar que: Propriedades<\/p>\n \n Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> (a1<\/sub>)<\/strong> Suponhamos, inicialmente, que [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] sejam pares. (a2<\/sub>)<\/strong> Suponhamos, agora, que [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] sejam \u00edmpares. (b)<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais de paridade oposta. Assim, um desses n\u00fameros \u00e9 par e o outro \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n Suponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]a[\/tex] seja par e [tex]b[\/tex] seja \u00edmpar. \n \n Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/p>\n (a)<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais \u00edmpares. (b)<\/strong> Suponhamos, agora, que [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] sejam n\u00fameros naturais, com [tex]a[\/tex] par. Aqui n\u00e3o importa se [tex]b[\/tex] \u00e9 par ou \u00edmpar: s\u00f3 precisamos garantir que os dois n\u00e3o s\u00e3o \u00edmpares. \n<\/div>\n
\n●<\/strong><\/span> A soma de n\u00fameros naturais \u00e9 sempre um n\u00famero natural.
\n●<\/strong><\/span> O produto de n\u00fameros naturais \u00e9 sempre um n\u00famero natural.<\/strong>
\nEssas duas afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o referidas como o fechamento de [tex]\\mathbb{N}[\/tex] com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 adi\u00e7\u00e3o e \u00e0 multiplica\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span>.
\n![\"fechamento\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/01\/fechamento.png\")
<\/p>\n
\n
\n
\n
\n(a)<\/strong> A soma de dois n\u00fameros naturais de mesma paridade \u00e9 par.
\n(b)<\/strong> A soma de dois n\u00fameros naturais de paridade oposta \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n
\n(a)<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais de mesma paridade.<\/p>\n
\nAssim, existem n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] tais que [tex]a=2k[\/tex] e [tex]b=2t[\/tex]. Dessa forma:
\n[tex]\\qquad a+b=2k+2t=2(k+t).\\qquad\\qquad(i)[\/tex]
\nSe [tex]m=k+t[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; logo, segue de [tex](i)[\/tex] que
\n[tex]\\qquad a+b=2m[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nEnt\u00e3o, [tex]a+b[\/tex] \u00e9 par.<\/strong><\/p>\n
\nLogo, existem n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] tais que [tex]a=2k+1[\/tex] e [tex]b=2t+1[\/tex]. Assim:
\n[tex]\\qquad a+b=(2k+1)+(2t+1)=2k+2t+2=2(k+t+1).\\qquad\\qquad(ii)[\/tex]
\nSe [tex]m=k+t+1[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; portanto, de [tex](ii)[\/tex], vem que
\n[tex]\\qquad a+b=2m[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nPortanto, [tex]a+b[\/tex] \u00e9, igualmente, par.<\/strong><\/p>\n
\nDessa forma, existem n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] tais que [tex]a=2k[\/tex] e [tex]b=2t+1[\/tex] e, com isso,
\n[tex]\\qquad a+b=2k+(2t+1)=2(k+t)+1.\\qquad\\qquad(iii)[\/tex]
\nSe [tex]m=k+t[\/tex], como [tex]t[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, de [tex](iii)[\/tex], temos que
\n[tex]\\qquad a+b=2m+1[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nPortanto, [tex]a+b[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n
\nO produto de dois n\u00fameros naturais s\u00f3 ser\u00e1 \u00edmpar se os dois n\u00fameros forem \u00edmpares.<\/p>\n
\nAssim, existem n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex] tais que [tex]a=2k+1[\/tex] e [tex]b=2t+1[\/tex]. Ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad a\\cdot b=(2k+1)\\cdot (2t+1)=4(k\\cdot t)+2k+2t+1=2(2(k\\cdot t)+k+t)+1.\\qquad\\qquad(i)[\/tex]
\nSe [tex]m=2(k\\cdot t)+k+t[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; logo, segue de [tex](i)[\/tex] que
\n[tex]\\qquad a\\cdot b=2m+1[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nPortanto, [tex]a\\cdot b[\/tex] \u00e9 \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n
\nComo [tex]a[\/tex] \u00e9 par, existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] tal que [tex]a=2k[\/tex]. Assim,
\n[tex]\\qquad a\\cdot b=(2k)\\cdot b=2(k\\cdot b).\\qquad\\qquad(ii)[\/tex]
\nSe [tex]m=k\\cdot b[\/tex], temos que [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; portanto, de [tex](ii)[\/tex], conclu\u00edmos que
\n[tex]\\qquad a\\cdot b=2m[\/tex], com [tex]m\\in\\mathbb{N}[\/tex].
\nLogo, [tex]a\\cdot b[\/tex] \u00e9 par<\/strong>, independente de [tex]b[\/tex] ser par ou \u00edmpar.<\/p>\n<\/div>\n