Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Todos pela Matem\u00e1tica<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Um matem\u00e1gico pede a um participante da plateia que pense em uma pe\u00e7a qualquer de um jogo de domin\u00f3. Em seguida, orienta o participante para que ele multiplique, ent\u00e3o, um dos n\u00fameros da pe\u00e7a por 5, depois some 5, multiplique o resultado por 2 e, … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nUm matem\u00e1gico pede a um participante da plateia que pense em uma pe\u00e7a qualquer de um jogo de domin\u00f3.
\nEm seguida, orienta o participante para que ele multiplique, ent\u00e3o, um dos n\u00fameros da pe\u00e7a por 5, depois some 5, multiplique o resultado por 2 e, finalmente, some o outro n\u00famero do domin\u00f3.
\nAo final, pergunta ao participante qual o n\u00famero resultante, ao que ele lhe responde 74. O matem\u00e1gico rapidamente diz qual foi a pe\u00e7a escolhida.
\nResponda voc\u00ea qual foi a pe\u00e7a escolhida e explique como o matem\u00e1gico fez para descobrir t\u00e3o r\u00e1pido.
\n![\"cartola](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/09\/cartola-e-domin\u00f3.jpg\")
<\/p>\n
\nConsideremos uma pe\u00e7a com os n\u00fameros [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] , estes podendo ser [tex]0, 1, 2, 3, 4, 5[\/tex] ou [tex]6[\/tex].
\nAssim, temos:
\n[tex]\\qquad\\qquad 2(5x + 5) + y = 74[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad 10x + 10 = 74 \u2013 y[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad 10(x + 1) = 74 \u2013 y[\/tex],
\nonde [tex]74-y[\/tex] deve ser um n\u00famero m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex], portanto o \u00fanico valor poss\u00edvel que atende a essa condi\u00e7\u00e3o \u00e9 o [tex]4[\/tex], logo [tex]y = 4[\/tex].
\n[tex]\\qquad\\qquad 10(x+1) = 74 \u2013 4[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad 10(x+1) = 70[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad x+1 = 7[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad x = 6[\/tex]
\nAssim, os valores pensados pelo participante s\u00e3o o [tex]4[\/tex] e o [tex]6[\/tex].
\nPara outros valores procedemos da seguinte forma:
\n[tex]\\qquad\\qquad 2(5x+5)+y = m[\/tex]
\nOnde [tex]m[\/tex] \u00e9 o valor da resposta do participante
\n[tex]\\qquad\\qquad 10x+10 = m-y[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad 10(x+1) = m-y[\/tex]
\nObservamos que [tex]m-y[\/tex] deve ser um m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex]. Sendo assim, [tex]y[\/tex] corresponde ao valor da unidade mais pr\u00f3xima do m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex].
\nO valor de [tex]x[\/tex] ser\u00e1 obtido da seguinte forma:
\n[tex]\\qquad\\qquad x+1=\\dfrac{m-y}{10}[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad x=\\dfrac{m-y}{10}-1[\/tex].<\/p>\n
\n
\nA pe\u00e7a escolhida foi a pe\u00e7a constitu\u00edda de [tex]6[\/tex] em um lado e [tex]4[\/tex] no outro.
\nConsideremos que os n\u00fameros da pe\u00e7a sejam [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] (note que cada um deles \u00e9 menor, ou igual a 6). Ent\u00e3o, as express\u00f5es que representam as opera\u00e7\u00f5es orientadas pelo matem\u00e1gico s\u00e3o:
\n [tex]\\qquad 2(5p+5)+q=74 \\implies 10p+10+q=74 \\implies 10(p+1)+q =74\\,.[\/tex]
\nIsso significa que [tex]q[\/tex] \u00e9 o algarismo das unidades, enquanto o algarismo das centenas \u00e9 dado por [tex]p+1[\/tex].<\/p>\n
\n