{"id":53917,"date":"2015-12-23T11:57:14","date_gmt":"2015-12-23T13:57:14","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=53917"},"modified":"2023-03-31T00:18:20","modified_gmt":"2023-03-31T03:18:20","slug":"probleminha-so-vale-usar-inteiros-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-so-vale-usar-inteiros-2\/","title":{"rendered":".Problema: Quadrado e ret\u00e2ngulo equivalentes"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nDado um quadrado qualquer, construa um ret\u00e2ngulo de \u00e1rea equivalente cujos lados estejam na propor\u00e7\u00e3o [tex]2:1[\/tex].<br \/>\nJustifique sua resposta.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeja um quadrado qualquer de lado [tex]l[\/tex]. Nesse caso, sua \u00e1rea \u00e9 dada por [tex]l^2[\/tex].<br \/>\nComo queremos um ret\u00e2ngulo de igual \u00e1rea, cujos lados estejam na propor\u00e7\u00e3o [tex]2:1[\/tex], consideremos seus lados como sendo [tex]x[\/tex] e [tex]2x[\/tex].<br \/>\nPara sabermos o valor de [tex]x[\/tex], em fun\u00e7\u00e3o de [tex]l[\/tex], basta resolvermos a equa\u00e7\u00e3o<br \/>\n [tex]\\qquad\\qquad l^2=2x^2[\/tex],<br \/>\no que resulta (lembre que [tex]x[\/tex] deve ser positivo) em<br \/>\n[tex]\\qquad\\qquad x=\\dfrac{l\\sqrt{2}}{2}[\/tex].<br \/>\nLogo, o outro lado do ret\u00e2ngulo deve ser [tex]2x=l\\sqrt{2}[\/tex].<br \/>\n<strong>Passemos, ent\u00e3o, \u00e0 constru\u00e7\u00e3o.<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Considere o quadrado [tex]ABCD[\/tex]. Seja [tex]a[\/tex] a semirreta com origem em A e passando por B. <\/li>\n<li>Com centro em A, definimos a circunfer\u00eancia [tex]c[\/tex] de raio [tex]AC[\/tex]. <\/li>\n<li>Seja [tex]M[\/tex] o ponto m\u00e9dio de [tex]AC[\/tex]. <\/li>\n<li>Com o centro em A novamente, definimos a circunfer\u00eancia [tex]d[\/tex] de raio AM. Seja [tex]P[\/tex] o ponto de intersec\u00e7\u00e3o de [tex]c[\/tex] com [tex]a[\/tex] e [tex]R[\/tex], o ponto de intersec\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex] com o lado AD do quadrado. <\/li>\n<li>Por [tex]P[\/tex], trace uma perpendicular ([tex]e[\/tex]) \u00e0 semirreta [tex]a[\/tex] e, por [tex]R[\/tex], trace uma perpendicular ([tex]f[\/tex]) ao lado [tex]AB[\/tex] do quadrado. <\/li>\n<li>Seja [tex]Q[\/tex] a intersec\u00e7\u00e3o de [tex]e[\/tex] com [tex]f[\/tex]. <\/li>\n<li>O quadril\u00e1tero [tex]APQR[\/tex] \u00e9, ent\u00e3o, o ret\u00e2ngulo desejado. <\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Conven\u00e7a-se da raz\u00e3o pela qual esta constru\u00e7\u00e3o \u00e9 v\u00e1lida, independente do lado inicial do quadrado<br \/>\n<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Testando a solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n Voc\u00ea pode utilizar o <em>applet <\/em>abaixo para acompanhar a constru\u00e7\u00e3o, quantas vezes voc\u00ea quiser!<br \/>\nBasta seguir as instru\u00e7\u00f5es.<\/strong><\/p>\n<hr\/>\n<hr\/>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gr1 cb31\" style=\"width:90%;\"><strong>Instru\u00e7\u00f5es:<\/strong><br \/>\n1) Para acompanhar automaticamente a constru\u00e7\u00e3o selecione o tempo entre os passos e clique na setinha, na parte inferior do <em>applet<\/em>.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/D4.png\" alt=\"D4\" width=\"153\" height=\"37\" class=\"aligncenter size-full wp-image-53924\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/D4.png 153w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/D4-150x37.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 153px) 100vw, 153px\" \/><br \/>\n2) Para acompanhar manualmente a constru\u00e7\u00e3o, utilize as setinhas adequadas, na parte inferior do <em>applet<\/em>.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/D3.png\" alt=\"D3\" width=\"218\" height=\"43\" class=\"aligncenter size-full wp-image-53928\" \/><br \/>\n3) Para voltar para a configura\u00e7\u00e3o inicial, \u00e9 s\u00f3 clicar nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do <em>applet<\/em>.\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p style=\"text-align:center\"><iframe loading=\"lazy\"  src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/1493457\/width\/674\/height\/487\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/true\/ld\/false\/sri\/true\/at\/auto\" width=\"674\" height=\"487\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><span style=\"font-size: 14px;\"><br \/>\nOBMEP_ dl, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\">GeoGebra<\/a><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Dado um quadrado qualquer, construa um ret\u00e2ngulo de \u00e1rea equivalente cujos lados estejam na propor\u00e7\u00e3o [tex]2:1[\/tex]. Justifique sua resposta. Solu\u00e7\u00e3o Seja um quadrado qualquer de lado [tex]l[\/tex]. Nesse caso, sua \u00e1rea \u00e9 dada por [tex]l^2[\/tex]. 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