{"id":53685,"date":"2015-12-16T16:45:24","date_gmt":"2015-12-16T18:45:24","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=53685"},"modified":"2023-03-31T00:23:53","modified_gmt":"2023-03-31T03:23:53","slug":"problema-contagem-de-divisores","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-contagem-de-divisores\/","title":{"rendered":".Problema: Contagem de divisores"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nQual o menor n\u00famero natural \u00edmpar que possui exatamente 15 divisores positivos?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeja [tex]N[\/tex] um n\u00famero natural cuja decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos \u00e9 mostrada a seguir:<br \/>\n[tex]\\qquad\\qquad N = {p_1}^{n_1} \\cdot {p_2}^{n_2} \\cdot \\ldots \\cdot {p_k}^{n_k}[\/tex].<br \/>\nObserve dois fatos:<\/p>\n<ul>\n<li>Todo divisor [tex]d[\/tex] de [tex]N[\/tex] \u00e9 da forma [tex]d = {p_1}^{a_1} \\cdot {p_2}^{a_2} \\cdot \\ldots \\cdot {p_k}^{a_k}[\/tex], na qual [tex]a_i \\in \\{0,\\, 1,\\, 2,\\, \\ldots\\, , n_i\\}[\/tex] para todo [tex]i[\/tex] inteiro de [tex]1[\/tex] a [tex]k[\/tex]. <\/li>\n<li>Pelo princ\u00edpio multiplicativo, h\u00e1 [tex](n_1 + 1)\\, \\cdot\\,(n_2 + 1)\\, \\cdot \\,\\ldots \\, \\cdot (n_k + 1)[\/tex] divisores positivos de [tex]N[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>No problema espec\u00edfico temos que todos os fatores primos de [tex]N[\/tex] s\u00e3o diferentes de [tex]2[\/tex], j\u00e1 que [tex]N[\/tex] \u00e9 \u00edmpar. S\u00f3 h\u00e1 dois modos de obtermos 15 como um produto de naturais: [tex]1 \\cdot 15[\/tex] e [tex]3 \\cdot 5[\/tex] (a menos de acr\u00e9scimos de fatores [tex]1[\/tex]). <\/p>\n<ul>\n<li>No primeiro caso, teremos apenas um primo na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]N[\/tex], ou seja, [tex]N = {p_1}^{14}[\/tex]. Para minimizar este n\u00famero, basta tomar [tex]p_1 = 3[\/tex]. Assim, ter\u00edamos [tex]N = 3^{14}[\/tex].<\/li>\n<li>No segundo caso, teremos dois fatores primos distintos na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]N[\/tex], ou seja, [tex]N = {p_1}^{2} \\cdot {p_2}^{4}[\/tex]. Para minimizar este n\u00famero basta, tomar [tex]p_1 = 5[\/tex] e [tex]p_2 = 3[\/tex]. Assim, ter\u00edamos [tex]N = 5^2 \\cdot 3^4 = 2025[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como [tex]2025\\lt 3^{14}[\/tex], temos, portanto, que  [tex]2025[\/tex] \u00e9 o menor n\u00famero natural \u00edmpar que possui exatamente [tex]15[\/tex] divisores positivos.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Qual o menor n\u00famero natural \u00edmpar que possui exatamente 15 divisores positivos? Solu\u00e7\u00e3o Seja [tex]N[\/tex] um n\u00famero natural cuja decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos \u00e9 mostrada a seguir: [tex]\\qquad\\qquad N = {p_1}^{n_1} \\cdot {p_2}^{n_2} \\cdot \\ldots \\cdot {p_k}^{n_k}[\/tex]. 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