{"id":53667,"date":"2015-12-18T02:42:42","date_gmt":"2015-12-18T04:42:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=53667"},"modified":"2023-05-04T23:45:42","modified_gmt":"2023-05-05T02:45:42","slug":"problemao-viajando-pelo-triangulo-de-pascal","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-viajando-pelo-triangulo-de-pascal\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Viajando pelo Tri\u00e2ngulo de Pascal"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nProve que [tex]\\left( \\array{ n \\\\ 0} \\right)^2 + \\left( \\array{ n \\\\ 1} \\right)^2 + \\ldots + \\left( \\array{ n \\\\ n} \\right)^2 = \\left( \\array{ 2n \\\\ n} \\right)[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/pascal.png\" style=\"border: 1px dotted #800000;\" alt=\"pascal\" width=\"188\" height=\"113\" class=\"alignright size-full wp-image-53711\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/pascal.png 376w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/pascal-300x180.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 188px) 100vw, 188px\" \/>Considere o tri\u00e2ngulo de Pascal em que podemos percorrer os n\u00fameros binomiais do seguinte modo: <\/p>\n<ul>\n<li>estando no binomial [tex]\\left(\\array{a \\\\ b}\\right)[\/tex] podemos nos mover apenas para os binomiais [tex]\\left(\\array{a+1 \\\\ b}\\right)[\/tex] e [tex]\\left(\\array{a+1 \\\\ b+1}\\right)[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Denominaremos o primeiro movimento de E e o segundo de D<\/strong>.<\/p>\n<p>Se [tex]k[\/tex] \u00e9 um inteiro tal que [tex]0\\lt k\\le n[\/tex], para sairmos do binomial [tex]\\left(\\array{0 \\\\ 0}\\right)[\/tex] e irmos at\u00e9 o [tex]\\left(\\array{n \\\\ k}\\right)[\/tex], cada trajeto ser\u00e1 representado por uma sequ\u00eancia de [tex]k[\/tex] movimentos D e [tex]n-k[\/tex] movimentos E, havendo assim [tex]\\left(\\array{n \\\\ k}\\right)[\/tex] trajetos. <\/p>\n<p>Deste modo, h\u00e1 [tex]\\left(\\array{2n \\\\ n}\\right)[\/tex] trajetos para saindo do [tex]\\left(\\array{0 \\\\ 0}\\right)[\/tex] chegarmos ao [tex]\\left(\\array{2n \\\\ n}\\right)[\/tex], e cada um desses trajetos passa exatamente por um binomial da linha [tex]n[\/tex]. Podemos separar esses trajetos em grupos: os que passam pelo [tex]\\left(\\array{n \\\\ 0}\\right)[\/tex], os que passam pelo [tex]\\left(\\array{n \\\\ 1}\\right)[\/tex], &#8230; , os que passam por [tex]\\left(\\array{n \\\\ n}\\right)[\/tex]. <\/p>\n<p>A quantidade de trajetos que passam por [tex]\\left(\\array{n \\\\ k}\\right)[\/tex] pode ser calculada pelo princ\u00edpio multiplicativo, quando dividimos esse trajeto em dois trechos: de [tex]\\left(\\array{0 \\\\ 0}\\right)[\/tex] a [tex]\\left(\\array{n \\\\ k}\\right)[\/tex] e de [tex]\\left(\\array{n \\\\ k}\\right)[\/tex] a [tex]\\left(\\array{2n \\\\ n}\\right)[\/tex].<\/p>\n<p>Como j\u00e1 calculamos a quantidade de modos de escolhermos o primeiro trecho, passemos a quantidade de modos de escolhermos o segundo trecho. Qualquer que seja o binomial [tex]\\left(\\array{n \\\\ k}\\right)[\/tex], podemos recortar um subtri\u00e2ngulo de Pascal em que ele \u00e9 o topo e [tex]\\left(\\array{2n \\\\ n}\\right)[\/tex] aparece na linha [tex]n[\/tex] como o elemento [tex]n-k[\/tex]. Desse modo, h\u00e1 [tex]\\left(\\array{n \\\\ n-k}\\right)[\/tex] modos de escolher o segundo trecho.<\/p>\n<p>Assim, o n\u00famero de trajetos saindo de [tex]\\left(\\array{0 \\\\ 0}\\right)[\/tex], passando por [tex]\\left(\\array{n \\\\ k}\\right)[\/tex] e chegando em [tex]\\left(\\array{2n \\\\ n}\\right)[\/tex] \u00e9<\/p>\n<ul>\n<li>[tex] \\left(\\array{n \\\\ k}\\right) \\cdot \\left(\\array{n \\\\ n-k}\\right) = \\left(\\array{n \\\\ k}\\right) \\cdot \\left(\\array{n \\\\ k}\\right) = \\left(\\array{n \\\\ k}\\right)^2[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p>A soma das quantidades de trajetos de cada grupo \u00e9 <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\left(\\array{2n \\\\ n}\\right)[\/tex], <\/li>\n<\/ul>\n<p>logo<br \/>\n[tex] \\qquad \\boxed{\\left( \\array{ n \\\\ 0} \\right)^2 + \\left( \\array{ n \\\\ 1} \\right)^2 + \\ldots + \\left( \\array{ n \\\\ n} \\right)^2 = \\left( \\array{ 2n \\\\ n} \\right)}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Prove que [tex]\\left( \\array{ n \\\\ 0} \\right)^2 + \\left( \\array{ n \\\\ 1} \\right)^2 + \\ldots + \\left( \\array{ n \\\\ n} \\right)^2 = \\left( \\array{ 2n \\\\ n} \\right)[\/tex]. 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