{"id":53015,"date":"2015-12-07T01:44:30","date_gmt":"2015-12-07T03:44:30","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=53015"},"modified":"2025-06-26T02:45:01","modified_gmt":"2025-06-26T05:45:01","slug":"um-pouco-sobre-divisibilidade-contagem-de-divisores-problemas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2\/um-pouco-sobre-divisibilidade-contagem-de-divisores-problemas\/","title":{"rendered":"Um pouco sobre divisibilidade: Contagem de divisores &#8211; problemas"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"grie cb22\">\n<div class=\"ti1 c2\"  style=\"margin:10px;line-height:20px\"><em> Contagem de divisores<\/em><\/div>\n<div class=\"ti2 c2\"><em> Problemas<\/em><\/div>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:50px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 1<\/strong> <\/p>\n<p>Qual o n\u00famero de divisores naturais de [tex]7![\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div>\n<input class=\"bo2 c2 cb23\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Observe que [tex]7!=5040 = 2^4 \\cdot  3^2 \\cdot  5^1 \\cdot 7^1 [\/tex]; assim, os divisores naturais de [tex]5040[\/tex] s\u00e3o da forma [tex]d= 2^a \\cdot  3^b \\cdot  5^c \\cdot 7^d [\/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<li>expoente do [tex]2[\/tex]: temos cinco possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex] ou [tex]3[\/tex] ou [tex]4[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]3[\/tex]: temos tr\u00eas possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]5[\/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]7[\/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex])<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, o n\u00famero de  divisores naturais de [tex]7![\/tex] \u00e9 dado pelo produto  [tex]5 \\times 3 \\times 2 \\times 2 = 60[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 2<\/strong><\/p>\n<p>Qual o  n\u00famero de divisores naturais \u00edmpares de [tex]210 [\/tex] ?<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div>\n<input class=\"bo2 c2 cb23\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Observe que [tex]210= 2^1 \\cdot  3^1 \\cdot  5^1 \\cdot 7^1 [\/tex]; assim, os divisores naturais de [tex]210[\/tex] s\u00e3o da forma [tex]d= 2^a \\cdot  3^b \\cdot  5^c \\cdot 7^d [\/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<li>expoente do [tex]3[\/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]5[\/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]7[\/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]2[\/tex]: <strong>temos apenas uma possibilidade ([tex]0[\/tex]), j\u00e1 que o divisor deve ser \u00edmpar<\/strong>. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, o n\u00famero de  divisores naturais \u00edmpares de [tex]210[\/tex] \u00e9 dado pelo produto [tex]2 \\times 2 \\times 2 \\times 1 = 8[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 3<\/strong> <\/p>\n<p>(ITA-adaptado) Qual o  n\u00famero de divisores naturais de [tex]17640[\/tex] que, por sua vez, s\u00e3o divis\u00edveis por  [tex]3[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div>\n<input class=\"bo2 c2 cb23\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Observe que [tex]17640 = 2^3 \\cdot  3^2 \\cdot  5^1 \\cdot 7^2 [\/tex], assim os divisores naturais de [tex]17640[\/tex] s\u00e3o da forma [tex]d= 2^a \\cdot  3^b \\cdot  5^c \\cdot 7^d [\/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<li>expoente do [tex]2[\/tex]: temos quatro possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex] ou [tex]3[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]5[\/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]7[\/tex]: temos tr\u00eas possibilidades ([tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex])<\/li>\n<li>expoente do [tex]3[\/tex]: <strong>temos apenas duas possibilidades, j\u00e1 que o divisor deve ser divis\u00edvel por<\/strong> [tex]3[\/tex] ([tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex] )<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, o n\u00famero de  divisores naturais de [tex]17640[\/tex] que s\u00e3o divis\u00edveis por [tex]3[\/tex] \u00e9 dado pelo produto   [tex]4 \\times 2 \\times 3 \\times 2 = 48[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 4<\/strong> <\/p>\n<p>(FUVEST &#8211; adaptado) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores naturais de  [tex]60[\/tex], qual a probabilidade de que ele seja primo? <\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div>\n<input class=\"bo2 c2 cb23\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<ul>\n<li>A decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos de [tex]60[\/tex] \u00e9 [tex]60= 2^2 \\cdot  3^1 \\cdot  5^1[\/tex]; assim, o n\u00famero de divisores \u00e9 dado pelo produto [tex](2+1)\\cdot (1+1)\\cdot (1+1) = 12[\/tex]. <\/li>\n<li>Por outro lado, os \u00fanicos divisores primos de [tex]60[\/tex] s\u00e3o [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex] e [tex]5[\/tex], ou seja, tr\u00eas divisores. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto,a probabilidade solicitada ser\u00e1:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{3}{12}=\\dfrac{1}{4}=25\\%[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 5<\/strong> <\/p>\n<p>Os n\u00fameros naturais [tex]p = 2^{31}\u2013 1[\/tex] e [tex]q = 2^{61}\u2013 1[\/tex] s\u00e3o primos. Ent\u00e3o, quantos divisores naturais tem o n\u00famero [tex]n=2^{93}-2^{32}-2^{62}+2[\/tex]? <\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div>\n<input class=\"bo2 c2 cb23\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Note que [tex]n=2^{93}-2^{32}-2^{62}+2=2\\cdot (2^{92}-2^{31}-2^{61}+1)=2\\cdot (2^{31}\u2013 1)\\cdot (2^{61}\u2013 1)[\/tex], ou seja, [tex]n=2pq[\/tex].<br \/>\nComo [tex]p[\/tex], [tex]q[\/tex] e [tex]2[\/tex] s\u00e3o primos, o n\u00famero de divisores de [tex]n[\/tex] \u00e9 dado pelo produto [tex](1+1)\\cdot (1+1)\\cdot (1+1) = 8[\/tex]. <\/li>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 6<\/strong> <\/p>\n<p>(ENEM de 2014 &#8211; adaptado) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a t\u00e9cnica de decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos. Um n\u00famero [tex]N[\/tex] \u00e9 dado pela decomposi\u00e7\u00e3o [tex]2^x\\cdot 5^y\\cdot 7^z[\/tex], na qual [tex]x, y[\/tex] e [tex]z[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais. Sabe-se que [tex]N[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex] e n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex].<br \/>\nDeterminar o n\u00famero de divisores naturais de [tex]N[\/tex], diferentes de [tex]N[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div>\n<input class=\"bo2 c2 cb23\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\nO enunciado fornece a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]N[\/tex] em fatores primos, [tex]N=2^x\\cdot 5^y\\cdot 7^z[\/tex], e duas informa\u00e7\u00f5es irrelevantes para resolvermos o problema: <\/p>\n<li><strong>[tex]N[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex]:<\/strong>  isso significa, simplesmente, que [tex]x\\gt 0[\/tex] e [tex]y\\gt 0[\/tex];<\/li>\n<li><strong>[tex]N[\/tex]  n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex]:<\/strong> isso  significa que na fatora\u00e7\u00e3o de [tex]N[\/tex]  n\u00e3o h\u00e1 fatores [tex]7[\/tex], isto \u00e9, [tex]z=0[\/tex].<\/li>\n<p>As poss\u00edveis escolhas para os expoentes da decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]N[\/tex] s\u00e3o: <\/p>\n<ul>\n<li>possibilidades para o expoente do fator [tex]2[\/tex]: [tex]x + 1[\/tex]<\/li>\n<li>possibilidades para o expoente do fator [tex]5[\/tex]: [tex]y + 1[\/tex]<\/li>\n<li>possibilidades para o expoente do fator [tex]7[\/tex]: [tex]z + 1[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, o <strong>n\u00famero total<\/strong> de divisores naturais de [tex]N[\/tex] \u00e9 o produto de todas as possibilidades dos expoentes, ou seja, [tex](x + 1)\\cdot (y+1)\\cdot (z+1)[\/tex].<br \/>\nEntretanto, temos uma restri\u00e7\u00e3o imposta pelo enunciado: os divisores a serem contados s\u00e3o diferentes de [tex]N[\/tex], portanto a resposta desta quest\u00e3o, para efeito do ENEM, \u00e9 [tex](x + 1)\\cdot (y+1)\\cdot (z+1)-1[\/tex].<br \/>\nMas poder\u00edamos, ainda, levar em considera\u00e7\u00e3o que [tex]z=0[\/tex] e, neste caso, poder\u00edamos ter como resposta [tex](x + 1)\\cdot (y+1)-1[\/tex], ou ainda [tex]xy+x+y[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p class=\"ti2 c2\"style=\"margin:30px 100px 30px 100px;\"><strong> Os pr\u00f3ximos problemas s\u00e3o para voc\u00eas tentarem fazer.<\/strong><\/p>\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 7:<\/strong> Qual \u00e9 o menor n\u00famero natural que possui exatamente [tex]20[\/tex] divisores naturais?\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 8:<\/strong> (OBM 2014 \u2013 F1N3 &#8211; adaptado) Qual \u00e9 o menor inteiro positivo com [tex]2014 [\/tex] divisores positivos?<br \/>\n(Resposta:  [tex] 2^{52} \\cdot 3^{18} \\cdot 5[\/tex] )\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 9:<\/strong> (FGV-SP) O n\u00famero [tex]24  \\cdot 3^a  \\cdot 53[\/tex] tem [tex]120[\/tex] divisores. Qual \u00e9 o valor de [tex]a[\/tex]?<br \/>\n(Resposta: [tex]a=13[\/tex])\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 10:<\/strong> (OBM 2011 \u2013 F1N3) Quantos n\u00fameros menores do que [tex]30[\/tex] t\u00eam exatamente quatro divisores naturais?<br \/>\n(Resposta: [tex]9[\/tex])\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 11:<\/strong> Qual o n\u00famero de divisores positivos do n\u00famero [tex]N = 91^5 + 5\\cdot 91^4 + 10\\cdot 91^ 3 + 10\\cdot 91^2 + 5\\cdot 91 + 1[\/tex]?<br \/>\n(Resposta: [tex]66[\/tex])\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 12:<\/strong> (XXVII Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica da Unicamp)<br \/>\n(a) Determine quantos divisores tem o n\u00famero natural [tex]m = 1260[\/tex].<br \/>\n(b) Determine o menor n\u00famero natural que tem exatamente [tex]14[\/tex] divisores.\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 13:<\/strong> Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural que n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por nenhum quadrado perfeito. Se [tex]r[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de fatores primos de [tex]n[\/tex], mostre que [tex]\\tau(n)=2^r[\/tex].<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 14:<\/strong> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, costuma-se indicar por [tex]\\sigma(n)[\/tex] a soma de todos os divisores naturais de [tex]n[\/tex].<br \/>\nPor exemplo, [tex]\\sigma(4)=1+2+4=7[\/tex]; [tex]\\sigma(10)=1+2+5+10=18[\/tex]; [tex]\\sigma(12)=1+2+3+4+6+12=28[\/tex].<br \/>\na) Sendo [tex]p[\/tex] um natural primo, determine [tex]\\sigma(p)[\/tex].<br \/>\nb) Sendo [tex]p[\/tex] um natural primo e [tex]m[\/tex] um n\u00famero natural qualquer, determine [tex]\\sigma(p^m)[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1;   margin-top: 6px; margin-bottom: 6px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1;   margin-top: 6px; margin-bottom: 6px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #4178a1; font-size: 18px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p class=\"fim\"><a title=\"Voltar.\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=52852\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #6495ED;\"><strong>Ir para a Sala &#8220;Um pouco sobre divisibilidade &#8211; Contagem de divisores&#8221;<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Contagem de divisores Problemas Problema 1 Qual o n\u00famero de divisores naturais de [tex]7![\/tex]? Observe que [tex]7!=5040 = 2^4 \\cdot 3^2 \\cdot 5^1 \\cdot 7^1 [\/tex]; assim, os divisores naturais de [tex]5040[\/tex] s\u00e3o da forma [tex]d= 2^a \\cdot 3^b \\cdot 5^c \\cdot 7^d [\/tex]. 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