{"id":52852,"date":"2015-12-06T18:31:13","date_gmt":"2015-12-06T20:31:13","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=52852"},"modified":"2025-06-26T02:12:15","modified_gmt":"2025-06-26T05:12:15","slug":"um-pouco-sobre-divisibilidade-numero-de-divisores","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2\/um-pouco-sobre-divisibilidade-numero-de-divisores\/","title":{"rendered":"Um pouco sobre divisibilidade &#8211; Contagem de divisores"},"content":{"rendered":"<div style=\" float:right;  width: 600px;  height:auto;\">\n<table class=\"bf\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:350px;\"> U\u00e9 . . .<br \/>\nAqui n\u00e3o \u00e9 a sala para discuss\u00e3o do problema envolvendo o n\u00famero [tex]\\,981663141888[\/tex] ?<\/p>\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/Probleminha2.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"Probleminha2\" width=\"150\" height=\"145\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2992\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<div style=\"clear: both;\"><\/div>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"grie cb22\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">  Contagem de divisores<\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 30px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Se voc\u00ea chegou at\u00e9 aqui procurando pela solu\u00e7\u00e3o do problema que pede para determinar quantos divisores o n\u00famero [tex]981663141888[\/tex] tem, fique tranquilo, voc\u00ea est\u00e1 na Sala certa!<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Nesta Sala, vamos obter uma propriedade que permitir\u00e1 resolver n\u00e3o s\u00f3 o problema do n\u00famero [tex]981663141888[\/tex], mas tamb\u00e9m muitos outros problemas interessantes. Essa propriedade \u00e9 uma consequ\u00eancia dos t\u00f3picos estudados na Sala sobre Divisibilidade nos N\u00fameros Naturais; assim, antes mais nada, vamos relembrar um resultado que ter\u00e1 um papel central na nossa discuss\u00e3o: o <strong><em>Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica<\/em><\/strong>.<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">O TFA pode ser enunciado a partir de produtos de n\u00fameros primos:<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p class=\"gr2 cb22 bg22\" style=\"width:85%;\"> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, [tex]n\\gt 1[\/tex], ent\u00e3o existem n\u00fameros primos [tex]p_1, \\, p_2, \\, p_3, \\, \\cdots \\, , \\, p_r[\/tex], com [tex]r\\ge 1[\/tex], tais que<br \/>\n[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, n=p_1 \\, p_2 \\, p_3 \\, \\cdots \\, p_r[\/tex].<br \/>\nA menos da ordem dos fatores primos, essa representa\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fanica.<\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p>ou a partir de produto de pot\u00eancias de n\u00fameros primos:<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr2 cb22 bg22\" style=\"width:85%;\">\n<p>Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural, [tex]n\\gt 1[\/tex].<br \/>\nEnt\u00e3o existem n\u00fameros primos [tex]p_1\\lt p_2\\lt p_3\\lt  \\, \\cdots \\, \\lt p_r[\/tex] e, tamb\u00e9m, n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex]n_1, \\, n_2, \\, n_3, \\, \\cdots \\, , \\, n_r[\/tex],  com [tex]r\\ge 1[\/tex], tais que<\/p>\n<p style=\"margin:15px;\">[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}[\/tex].<\/p>\n<p>Al\u00e9m disso, essa decomposi\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fanica.<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Utilizando essa segunda forma do <strong>TFA<\/strong>, vamos estabelecer uma rela\u00e7\u00e3o entre a decomposi\u00e7\u00e3o de um n\u00famero natural  e as decomposi\u00e7\u00f5es de seus poss\u00edveis divisores. Vamos l\u00e1.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr1 cb26\">\n<p>Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural, com  [tex]n\\gt 1[\/tex], cuja decomposi\u00e7\u00e3o como produto de pot\u00eancias de primos \u00e9 <\/p>\n<p style=\"margin:15px;\">[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}. \\, \\qquad\\qquad (i)[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Se [tex]d[\/tex] \u00e9 um divisor de  [tex]n[\/tex], com  [tex]d\\gt 1[\/tex], o que podemos afirmar sobre os divisores primos de [tex]d[\/tex]?<br \/>\nComo [tex]d\\gt 1[\/tex], o <strong>TFA <\/strong>garante que [tex]d[\/tex] pode ser escrito como produto de n\u00fameros primos; tome, ent\u00e3o, um primo [tex]q[\/tex] tal que [tex]q\\mid d[\/tex]. Assim temos que [tex]q\\mid d[\/tex] e [tex]d\\mid n[\/tex]; portanto, pela <strong>Propriedade 2<\/strong> de divisibilidade, [tex]q\\mid n[\/tex]. Mas lembramos que a decomposi\u00e7\u00e3o [tex](i)[\/tex] apresentada para [tex]n[\/tex] \u00e9 \u00fanica, logo [tex]q[\/tex] \u00e9 um dos primos [tex]p_i[\/tex] que aparecem nessa decomposi\u00e7\u00e3o.<br \/>\n<strong>Portanto a unicidade do <strong>TFA <\/strong> obriga a que n\u00e3o existam fatores primos de  [tex]d[\/tex] que n\u00e3o sejam aqueles que aparecem na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex].<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Considerando essa an\u00e1lise, a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex] como produto de pot\u00eancias de primos \u00e9 da forma:<\/p>\n<p style=\"margin:15px;\">[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, d=p_1^{d_1} \\, p_2^{d_2} \\, p_3^{d_3} \\, \\cdots \\, p_r^{d_r}.[\/tex]<\/p>\n<p>Os primos que comparecem na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex] como produto de pot\u00eancias de primos n\u00f3s j\u00e1 conhecemos, ent\u00e3o, para que essa decomposi\u00e7\u00e3o seja completamente definida, temos que analisar os expoentes [tex]d_1,\\ d_2,\\ \\cdots,\\ d_r[\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li> Observamos, por exemplo, que [tex]10=2\\cdot 5[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]140=2^2\\cdot 5\\cdot 7[\/tex], assim, nem todos os primos que comparecem na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex] precisam, necessariamente, estar  na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex]; portanto [tex]d_i \\ge 0[\/tex], para cada natural [tex]i[\/tex], [tex]i=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ r[\/tex]. Se [tex]d_i = 0[\/tex], significa que o primo [tex]p_i[\/tex] n\u00e3o comparece efetivamente na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelo at\u00e9 agora exposto, a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex] como produto de pot\u00eancias de primos \u00e9:<\/p>\n<p style=\"margin:15px;\">[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, d=p_1^{d_1} \\, p_2^{d_2} \\, p_3^{d_3} \\, \\cdots \\, p_r^{d_r} \\, [\/tex], com [tex] \\, d_1 \\ge 0,\\ d_2 \\ge 0,\\ \\cdots,\\ d_r \\ge 0,[\/tex]<\/p>\n<p>mas a decomposi\u00e7\u00e3o ainda n\u00e3o est\u00e1 completamente definida.<\/p>\n<ul>\n<li> Finalmente, observamos que, por hip\u00f3tese, [tex]d[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]n[\/tex], logo [tex]n=kd[\/tex], para algum n\u00famero natural [tex]k[\/tex]. Portanto nenhum fator primo [tex]p_i[\/tex] pode comparecer na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]d[\/tex] num n\u00famero maior de vezes do que comparece na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex]. Assim, para cada [tex]i[\/tex], [tex]i=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ r[\/tex], temos que [tex]d_i \\le n_i[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>A nossa discuss\u00e3o garante, ent\u00e3o, que:<\/p>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<div class=\"gr3 cb24\">Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, com [tex]n\\gt 1[\/tex], cuja decomposi\u00e7\u00e3o como produto de pot\u00eancias de primos \u00e9<br \/>\n[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}[\/tex]<br \/>\ne se  [tex]d[\/tex] \u00e9 um divisor de [tex]n[\/tex], com [tex]d\\gt 1[\/tex], ent\u00e3o<br \/>\n[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, d=p_1^{d_1} \\, p_2^{d_2} \\, p_3^{d_3} \\, \\cdots \\, p_r^{d_r}[\/tex], com [tex]0\\le d_i \\le n_i [\/tex], para [tex]i=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ r[\/tex].<\/div>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<p>Por outro lado, todo n\u00famero decomposto como:<br \/>\n[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, m=p_1^{m_1} \\, p_2^{m_2} \\, p_3^{m_3} \\, \\cdots \\, p_r^{m_r}[\/tex], com [tex]0\\le m_i \\le n_i [\/tex], para [tex]i=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ r[\/tex]<br \/>\nevidentemente divide [tex]n[\/tex].<br \/>\nAssim, mais do que uma implica\u00e7\u00e3o, temos uma equival\u00eancia, ou seja:<\/p>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<div class=\"gr3 cb24 bg2\"><strong>Lema:<\/strong> Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural, com  [tex]n\\gt 1[\/tex], cuja decomposi\u00e7\u00e3o como produto de pot\u00eancias de primos \u00e9 [tex] \\, n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}[\/tex].<br \/>\nEnt\u00e3o, um n\u00famero natural  [tex]d[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]n[\/tex] se, e somente se, [tex]d=p_1^{d_1} \\, p_2^{d_2} \\, p_3^{d_3} \\, \\cdots \\, p_r^{d_r}[\/tex], com [tex]0\\le d_i \\le n_i [\/tex], para [tex]i=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ r[\/tex].<\/div>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<p>Os extremos da varia\u00e7\u00e3o [tex]0\\le d_i \\le n_i [\/tex], para cada [tex]i=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ r[\/tex], nos fornecem os &#8220;divisores extremos&#8221; de [tex]n[\/tex]:<br \/>\n&#8226; se cada [tex]d_i [\/tex] for [tex]0[\/tex], obtemos o menor divisor: [tex]d=1[\/tex];<br \/>\n&#8226; se cada [tex]d_i [\/tex] for o respectivo [tex]n_i [\/tex], obtemos o maior divisor: [tex]d=n[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Com esse Lema, estamos aptos a determinar a quantidade de divisores de qualquer n\u00famero natural n\u00e3o nulo. A partir desse resultado, particularmente, obteremos o n\u00famero de divisores do n\u00famero [tex]981663141888[\/tex]. <\/span><\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gree cb25\" style=\"width:95%;\">\n<p class=\"ti2 c2\" >F\u00f3rmula do n\u00famero de divisores (*)<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo ([tex]n\\in \\mathbb{N}^*[\/tex]), \u00e9 usual representarmos o n\u00famero de divisores naturais de [tex]n[\/tex] por [tex]\\tau (n)[\/tex] ([tex]\\tau[\/tex]: letra grega <em>tau<\/em>) ou [tex]tau (n)[\/tex]. Por exemplo:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\tau (1)=1[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]\\tau (2)=2[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]\\tau (3)=2[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]\\tau (4)=3[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]\\tau (10)=4[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]\\tau (12)=6[\/tex];<\/li>\n<li>se [tex]p[\/tex] \u00e9 primo, ent\u00e3o [tex]\\tau (p)=2[\/tex], j\u00e1 que os \u00fanicos divisores naturais de um n\u00famero primo s\u00e3o o [tex]1[\/tex]  e o pr\u00f3prio [tex]p[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Sabendo-se que a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex] como produto de pot\u00eancias de primos \u00e9<br \/>\n[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}[\/tex],<br \/>\nvamos determinar [tex]\\tau (n)[\/tex].<br \/>\nPelo <strong>Lema <\/strong> obtido, sabemos que se [tex]d[\/tex] \u00e9 um divisor de [tex]n[\/tex] se, e somente se, [tex]d[\/tex] \u00e9 da forma:<br \/>\n[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, d=p_1^{d_1} \\, p_2^{d_2} \\, p_3^{d_3} \\, \\cdots \\, p_r^{d_r}[\/tex], com [tex]0\\le d_i \\le n_i \\qquad\\qquad (ii)[\/tex],<br \/>\nlogo, para obtermos [tex]\\tau (n)[\/tex], basta contarmos quantos n\u00fameros naturais t\u00eam essa forma e para isso vamos utilizar uma ferramenta da An\u00e1lise Combinat\u00f3ria.<br \/>\nPelo <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=22578\" target=\"_blank\" title=\"Visite esta Sala e aprenda um pouco mais!\" ><span style=\"color: #6495ED;\"><em><strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem <\/strong><\/em><\/span><\/a> ou <strong><em>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/em><\/strong>, a quantidade de n\u00fameros [tex]d[\/tex], conforme especificados em [tex](ii)[\/tex], \u00e9 dada pelo produto das  possibilidades de escolhermos, simultaneamente, um valor para cada [tex] d_i [\/tex], [tex] \\, i=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ r[\/tex]. Mas, para cada [tex]i[\/tex], [tex]i=1,\\ 2,\\ \\cdots,\\ r[\/tex], a pr\u00f3pria defini\u00e7\u00e3o de [tex]d_i[\/tex] ([tex]0\\le d_i \\le n_i[\/tex]) nos mostra as possibilidades de escolha: entre [tex]0[\/tex] e [tex]n_i[\/tex], temos [tex]n_i+1[\/tex] n\u00fameros. Assim:<\/p>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<p>[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, \\fcolorbox{#4178a1}{#b8c7d9}{$ \\, \\tau (n)=(n_1+1)\\cdot(n_2+1)\\cdot(n_3+1)\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot(n_r+1)$}[\/tex] .<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p style=\"text-align:right; font-size:x-14px;\" ><strong>(*)<\/strong> Esta discuss\u00e3o aprofunda a abordagem do tema que foi feita no texto <a title=\"Que tal ler este texto e comparar as abordagens?\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=9568\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #6495ED;\"><strong>Contagem de Divisores<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Com essa f\u00f3rmula, podemos determinar, finalmente,  quantos divisores naturais  tem o n\u00famero [tex]981663141888[\/tex]. Para isso devemos decompor  esse n\u00famero como produto de pot\u00eancias de n\u00fameros primos, ou seja, escrev\u00ea-lo conforme indicado em [tex](i)[\/tex]. Para tanto, vamos utilizar o <strong>Dispositivo Pr\u00e1tico 1<\/strong> apresentado na Sala do <strong>TFA<\/strong>. Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=52955\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=780,height=800,left=0,top=0'); return false\"><span style=\"color: #6495ED;\"><strong>AQUI<\/strong><\/span><\/a>.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gree cb25\" style=\"width:97%;\">\n<div class=\"ti2 c2\" style=\"line-height:10px;margin:20px;\" >A solu\u00e7\u00e3o <\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p style=\"padding-left: 20px;\">\n[tex]\\begin{array}{r|l}\\,981663141888&#038;2\\\\ \\,490831570944&#038;2\\\\ \\,245415785472&#038;2\\\\ \\,122707892736&#038;2 \\\\ \\,61353946368&#038;2\\\\  \\,30676973184&#038;2 \\\\ \\,15338486592&#038;2 \\\\  \\,7669243296&#038;2 \\\\  \\,3834621648&#038; 2 \\\\  \\,1917310824&#038;2 \\\\  \\,958655412&#038; 2\\\\  \\,479327706&#038;2\\\\  \\,239663853&#038;3\\\\ \\,79887951&#038;3\\\\ \\,26629317&#038;3\\\\ \\,8876439&#038;3\\\\ 2958813&#038;3 \\\\ 986271&#038;3\\\\ 328757&#038;11\\\\ 29887&#038;11 \\\\2717&#038;11 \\\\ 247&#038;13\\\\ 19&#038;19 \\\\1&#038;\\boxed{2^{12}\\cdot 3^6\\cdot 11^3 \\cdot 13 \\cdot 19}.\\end{array}[\/tex]<br \/>\nAssim:<br \/>\n[tex]\\qquad\\qquad\\fcolorbox{#4178a1}{#b8c7d9}{$\\,\\begin{align*}\\tau\\left(981663141888\\right)&#038;=(12+1)\\cdot\\left(6+1\\right)\\cdot\\left(3+1\\right)\\cdot\\left(1+1\\right)\\cdot\\left(1+1\\right)\\\\&#038;=13\\times\\,7\\times\\,4\\times\\,2\\times\\,2\\\\&#038;=1456.\\end{align*}$}[\/tex] <\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"> Com [tex]23[\/tex] divis\u00f5es simples, conseguimos determinar que [tex]981663141888[\/tex] tem [tex]1456[\/tex] divisores!<\/span><\/p>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/09\/carinha_legal.jpg\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"carinha_legal\" width=\"122\" height=\"100\" class=\"aligncenter size-full wp-image-22758\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Como [tex]981663141888[\/tex] tem [tex]1456[\/tex] divisores, talvez ningu\u00e9m tenha se perguntado se existe uma maneira pr\u00e1tica de obtermos esses  divisores. Mas se tiv\u00e9ssemos calculado o n\u00famero de divisores de [tex]180=2^2\\cdot 3^2\\cdot 5[\/tex], que \u00e9 [tex]3\\cdot 3\\cdot 2=18[\/tex], ou, at\u00e9 mesmo, o n\u00famero de divisores  de [tex]1980=2^2\\cdot 3^2\\cdot 5\\cdot 11[\/tex], que \u00e9 [tex]3\\cdot 3\\cdot 2 \\cdot 2=36[\/tex], a pergunta de como se obter os [tex]18[\/tex] ou os [tex]36[\/tex] divisores seria natural.  <\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Teoricamente, a resposta para esse tipo de pergunta \u00e9 simples; vejamos. <\/span><\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gree cb25\" style=\"width:99%;\">\n<p class=\"ti2 c2\" >Quais s\u00e3o os divisores de um n\u00famero natural?<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Se  [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo cuja decomposi\u00e7\u00e3o em produto de pot\u00eancias de primos \u00e9<br \/>\n[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}[\/tex],<br \/>\nj\u00e1 sabemos que a decomposi\u00e7\u00e3o em produto de pot\u00eancias de primos de um divisor [tex]d[\/tex] de [tex]n[\/tex] \u00e9<br \/>\n[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, d=p_1^{d_1} \\, p_2^{d_2} \\, p_3^{d_3} \\, \\cdots \\, p_r^{d_r}[\/tex], com [tex]0\\le d_i \\le n_i \\qquad\\qquad (ii)[\/tex].<br \/>\nCom essa informa\u00e7\u00e3o, para obtermos todos os n\u00fameros naturais que t\u00eam essa forma, basta fazermos as combina\u00e7\u00f5es dos poss\u00edveis valores de [tex]d_i[\/tex], [tex]i=1, \\, 2, \\, \\cdots, \\, r[\/tex].<br \/>\nPor exemplo, os divisores de [tex]180[\/tex] s\u00e3o da forma [tex]2^x\\cdot 3^y\\cdot 5^z[\/tex], com [tex]0\\le x \\le 2 [\/tex]; [tex]0\\le y \\le 2  \\, [\/tex] e [tex] \\, 0\\le z \\le 1 [\/tex]. Calculando:<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<table class=\"bf\" style=\"width:80%; margin-left:20px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n[tex]d_1=2^0\\cdot 3^0\\cdot 5^0=1[\/tex];<br \/>\n[tex]d_2=2^1\\cdot 3^0\\cdot 5^0=2[\/tex];<br \/>\n[tex]d_3=2^2\\cdot 3^0\\cdot 5^0=4[\/tex];<br \/>\n[tex]d_4=2^0\\cdot 3^1\\cdot 5^0=3[\/tex];<br \/>\n[tex]d_5=2^1\\cdot 3^1\\cdot 5^0=6[\/tex];<br \/>\n[tex]d_6=2^2\\cdot 3^1\\cdot 5^0=12[\/tex];\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n[tex]d_7=2^0\\cdot 3^2\\cdot 5^0=9[\/tex];<br \/>\n[tex]d_8=2^1\\cdot 3^2\\cdot 5^0=18[\/tex];<br \/>\n[tex]d_9=2^2\\cdot 3^2\\cdot 5^0=36[\/tex];<br \/>\n[tex]d_{10}=2^0\\cdot 3^0\\cdot 5^1=5[\/tex];<br \/>\n[tex]d_{11}=2^1\\cdot 3^0\\cdot 5^1=10[\/tex];<br \/>\n[tex]d_{12}=2^2\\cdot 3^0\\cdot 5^1=20[\/tex];\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n[tex]d_{13}=2^0\\cdot 3^1\\cdot 5^1=15[\/tex];<br \/>\n[tex]d_{14}=2^1\\cdot 3^1\\cdot 5^1=30[\/tex];<br \/>\n[tex]d_{15}=2^2\\cdot 3^1\\cdot 5^1=60[\/tex];<br \/>\n[tex]d_{16}=2^0\\cdot 3^2\\cdot 5^1=45[\/tex];<br \/>\n[tex]d_{17}=2^1\\cdot 3^2\\cdot 5^1=90[\/tex];<br \/>\n[tex]d_{18}=2^2\\cdot 3^2\\cdot 5^1=180[\/tex].\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p>Assim, se indicarmos o conjunto dos divisores de [tex]180[\/tex] por [tex]D(180)[\/tex], ent\u00e3o:<br \/>\n[tex] \\quad D(180)=\\{1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 5,\\ 6,\\ 9,\\ 10,\\ 12,\\ 15,\\ 18,\\ 20,\\ 30,\\ 36,\\ 45,\\ 60,\\ 90,\\ 180\\}.[\/tex]<br \/>\nUtilizamos essa maneira de combinar os expoentes de [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex] e [tex]5[\/tex], pois ela pode ser facilmente obtida a partir do dispositivo pr\u00e1tico da decomposi\u00e7\u00e3o de 180 em fatores primos.<br \/>\nObserve que<br \/>\n[tex]\\quad \\begin{array}{r|l} 180 &#038; 2 \\\\90 &#038; 2 \\\\45 &#038; 3 \\\\15 &#038; 3 \\\\ 5 &#038; 5 \\\\1 \\end{array}[\/tex]<br \/>\nlogo:<br \/>\n[tex]\\quad~~~~~~\\begin{array}{c} \\hspace{1.5 cm} \\end{array}   \\begin{array}{l} \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \\,  \\\\  \\hline \\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r|l} 180 &#038; 2 &#038; \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\\\90 &#038; 2 &#038; \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{4}\\\\45 &#038; 3 &#038; \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{3}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{6}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{12}\\\\15 &#038; 3 &#038; \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{9}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{18}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{36}\\\\5 &#038; 5 &#038; \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{5}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{10}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{20}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{15}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{30}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{60}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{45}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{90}\\quad \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{180}\\\\ 1 \\end{array}[\/tex] <\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Analisando esse exemplo, percebemos que \u00e9 poss\u00edvel obter todos os divisores de um n\u00famero natural [tex]n\\gt 1[\/tex] de um modo sistem\u00e1tico, assim definiremos um segundo dispositivo pr\u00e1tico para isso.<br \/>\n<a id=\"O2\"><\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><\/a><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Dispositivo pr\u00e1tico 2\" style=\"width:250px;\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Dispositivo pr\u00e1tico 2';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb23\">\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p>Os divisores de n\u00famero natural [tex]n[\/tex], [tex]n\\gt 1[\/tex], podem ser assim obtidos:<\/p>\n<ul>\n<li>Fazemos a decomposi\u00e7\u00e3o do n\u00famero [tex]n[\/tex] em fatores primos, utilizando o <strong>Dispositivo Pr\u00e1tico 1<\/strong>.<\/li>\n<li>Feita a decomposi\u00e7\u00e3o, fazemos um segundo tra\u00e7o vertical, \u00e0 direita dos fatores primos, obtendo, assim, uma terceira coluna na qual iremos escrever os divisores de [tex]n[\/tex].<\/li>\n<li>Nessa terceira coluna, na linha acima da linha que cont\u00e9m o menor n\u00famero primo encontrado ([tex]p_1[\/tex]), escrevemos o  n\u00famero [tex]1[\/tex], pois ele \u00e9 divisor de qualquer n\u00famero.<\/li>\n<li>Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores j\u00e1 obtidos e escrevemos esses produtos na terceira coluna, ao lado do respectivo fator primo utilizado, eliminando-se as eventuais duplicidades (divisores que j\u00e1 foram encontrados anteriormente). <\/li>\n<li>Prosseguimos com esse procedimento at\u00e9 esgotarmos os fatores primos do n\u00famero [tex]n[\/tex]. O \u00faltimo produto obtido ser\u00e1 o pr\u00f3prio [tex]n[\/tex], que \u00e9 o maior divisor poss\u00edvel.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">[tex]\\quad \\begin{array}{c} \\hspace{1.5 cm} \\end{array}   \\begin{array}{l} \\, 1 \\\\  \\hline \\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex] \\begin{array}{r|l} n &#038; p_1 &#038; d_1=p_1\\cdot 1\\\\a_1 &#038; p_2 &#038; d_2=p_2\\cdot 1; \\, d_3=p_2\\cdot d_1 \\\\a_2 &#038; p_3 &#038; d_4=p_3\\cdot 1; \\, d_5=p_3\\cdot d_1; \\, d_6=p_3\\cdot d_2; \\, d_7=p_3\\cdot d_3<br \/>\n\\\\a_3 &#038; p_4 &#038; d_8=p_4\\cdot 1; \\, d_9=p_4\\cdot d_1; \\, d_{10}=p_4\\cdot d_2; \\, d_{11}=p_4\\cdot d_3; \\, d_{12}=p_4\\cdot d_4;<br \/>\n\\\\ &#038;  &#038; d_{13}=p_4\\cdot d_5; \\, d_{14}=p_4\\cdot d_6; \\, d_{15}=p_4\\cdot d_7<br \/>\n\\\\ \\vdots &#038; \\vdots &#038; \\vdots \\\\ p_j &#038; p_j &#038; p_j\\cdot 1; \\, \\quad \\cdots \\, \\quad ; \\, n \\\\ 1  \\,  &#038;  \\,  &#038; \\end{array}[\/tex] <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:50px;\">\n<p class=\"ti2 c2\"> Precisam de problemas para praticar?<\/p>\n<p class=\"ti2 c2\">Aqui v\u00e3o alguns!<\/p>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=53015\"  class=\"buts2 bbg2\" title=\"Visite a p\u00e1gina, clicando aqui.\"  target=\"_blank\"><span class=\"c7\"> Problemas <\/span><\/a>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #4178a1; font-size: 18px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p class=\"fim\"><a title=\"Voltar.\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=51902\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #6495ED;\"><strong>Voltar para Sala Principal<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>U\u00e9 . . . Aqui n\u00e3o \u00e9 a sala para discuss\u00e3o do problema envolvendo o n\u00famero [tex]\\,981663141888[\/tex] ? Contagem de divisores Se voc\u00ea chegou at\u00e9 aqui procurando pela solu\u00e7\u00e3o do problema que pede para determinar quantos divisores o n\u00famero [tex]981663141888[\/tex] tem, fique tranquilo, voc\u00ea est\u00e1 na Sala certa! Nesta Sala, vamos obter uma propriedade que &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2\/um-pouco-sobre-divisibilidade-numero-de-divisores\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2970,"parent":51902,"menu_order":5,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-52852","page","type-page","status-publish","has-post-thumbnail","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52852","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=52852"}],"version-history":[{"count":192,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52852\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":226061,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52852\/revisions\/226061"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/51902"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2970"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=52852"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}