{"id":52730,"date":"2015-12-01T23:33:32","date_gmt":"2015-12-02T01:33:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=52730"},"modified":"2023-03-31T00:09:17","modified_gmt":"2023-03-31T03:09:17","slug":"problemao-esferas-em-contato","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-esferas-em-contato\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Esferas em contato"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nConsidere quatro esferas de raio [tex]R[\/tex], tangentes entre si, duas a duas, como ilustra a figura. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" size-medium wp-image-38599 aligncenter\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/quatro-esferas-300x290.jpg\" style=\"border:0px;\" alt=\"quatro esferas\" width=\"300\" height=\"290\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/quatro-esferas-300x290.jpg 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/quatro-esferas.jpg 323w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><strong>Existe uma esfera que seja tangente \u00e0s quatro esferas dadas, simultaneamente?<\/strong><br \/>\nEm caso afirmativo, determine seu raio e, em caso negativo, justifique sua resposta.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nNeste problema, temos duas solu\u00e7\u00f5es poss\u00edveis: <\/p>\n<ul>\n<li>uma esfera interior \u00e0s quatro esferas dadas<\/li>\n<li>outra esfera exterior \u00e0s quatro esferas dadas,<\/li>\n<\/ul>\n<p>como ilustra a figura abaixo. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/solu\u00e7\u00e3o-4-esferas-red.jpg\" style=\"border:0px;\" alt=\"solu\u00e7\u00e3o 4 esferas red\" width=\"296\" height=\"274\" class=\"aligncenter size-full wp-image-52737\" \/><\/p>\n<p> Na representa\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica abaixo, procuramos ilustrar a vista do plano que passa pelo centro [tex]O[\/tex] da &#8220;quinta&#8221;  esfera (interna ou externa, tanto faz, pois \u00e9 o mesmo) e pelos pontos [tex]O_1[\/tex] e [tex]O_2[\/tex], centros de duas das esferas dadas.<br \/>\nAssim, temos o tri\u00e2ngulo [tex]O_1O_2B[\/tex], onde [tex]B[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio da aresta reversa de [tex]O_1O_2[\/tex], no tetraedro cujos v\u00e9rtices s\u00e3o os centros [tex]O_1[\/tex],[tex]O_2[\/tex],[tex]O_3[\/tex],[tex]O_4[\/tex] das esferas dadas. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/12\/solu\u00e7\u00e3o-4-esferas-red-II.jpg\" alt=\"solu\u00e7\u00e3o 4 esferas red II\" width=\"293\" height=\"253\" style=\"border:0px;\" class=\"aligncenter size-full wp-image-52739\" \/><\/p>\n<p>Pela simetria do tetraedro, podemos concluir que [tex]O[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio de [tex]MB[\/tex] (sendo [tex]M[\/tex] o ponto m\u00e9dio de [tex]O_1O_2[\/tex]).<br \/>\nNote que [tex]O_1B=O_2B[\/tex] s\u00e3o ap\u00f3temas do tetraedro de aresta [tex]2R[\/tex] e, portanto, suas medidas s\u00e3o [tex]R\\sqrt{3}[\/tex].<br \/>\nSendo assim, por Pit\u00e1goras, no tri\u00e2ngulo  [tex]O_1BM[\/tex], podemos concluir que [tex]BM=R\\sqrt{2}[\/tex] e, consequentemente, [tex]OM=\\frac{R\\sqrt{2}}{2}[\/tex].<br \/>\nNovamente, por Pit\u00e1goras (agora no tri\u00e2ngulo[tex]O_1OM[\/tex]), temos que [tex]O_1O=\\dfrac{R\\sqrt6}{2}[\/tex].<br \/>\nAssim, os raios procurados podem ser obtidos, respectivamente, pela diferen\u00e7a (para a esfera interna) e soma (para a esfera externa) desta medida com o raio das esferas inicialmente dadas.<br \/>\nFinalmente, para a esfera interior, temos que o seu raio [tex]R_1[\/tex] pode ser obtido por:<br \/>\n[tex]\\qquad R_1=R\\left(\\dfrac{\\sqrt6}2-1\\right)[\/tex]<br \/>\ne para a esfera exterior, temos que o seu raio [tex]R_2[\/tex] pode ser obtido por:<br \/>\n[tex]\\qquad R_2=R\\left(\\dfrac{\\sqrt6}2+1\\right).[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Testando a solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<span style=\"padding-left:30px\"> Para melhor aprecia\u00e7\u00e3o da solu\u00e7\u00e3o,  utilize <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/2073201\" target=\"_blank\"  title=\"Clique aqui para abrir o applet\"><span style=\"color: #1E90FF;\"><strong>este applet<\/strong><\/span><\/a>.<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:30px\">O <em>applet<\/em> ir\u00e1 abrir em outra janela.<\/span><\/p>\n<p class=\"ti2\"> Bons estudos!<\/p>\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Considere quatro esferas de raio [tex]R[\/tex], tangentes entre si, duas a duas, como ilustra a figura. Existe uma esfera que seja tangente \u00e0s quatro esferas dadas, simultaneamente? Em caso afirmativo, determine seu raio e, em caso negativo, justifique sua resposta. Solu\u00e7\u00e3o Neste problema, temos duas &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-esferas-em-contato\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":165,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-52730","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52730","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/165"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=52730"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52730\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185907,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52730\/revisions\/185907"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=52730"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}