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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Dois n\u00fameros naturais n\u00e3o primos entre si, mas um deles sendo primo, s\u00e3o tais que a soma do quadrado do [tex]mdc[\/tex] com o quadrado do [tex]mmc[\/tex] entre eles \u00e9 [tex]4394[\/tex]. Determine estes n\u00fameros. Solu\u00e7\u00e3o Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] os n\u00fameros procurados, supondo que [tex]a[\/tex] seja … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nDois n\u00fameros naturais n\u00e3o primos entre si, mas um deles sendo primo, s\u00e3o tais que a soma do quadrado do [tex]mdc[\/tex] com o quadrado do [tex]mmc[\/tex] entre eles \u00e9 [tex]4394[\/tex].
\nDetermine estes n\u00fameros.<\/p>\n
\nSejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] os n\u00fameros procurados, supondo que [tex]a[\/tex] seja o primo.
\nComo [tex]b[\/tex] n\u00e3o \u00e9 primo com [tex]a[\/tex], ent\u00e3o [tex]mdc (a,b) \\ne 1[\/tex], ou seja, [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] t\u00eam um divisor comum diferente de [tex]1[\/tex].
\nMas [tex]a[\/tex]\u00e9 primo e portanto [tex]1[\/tex]e [tex]a[\/tex] s\u00e3o os seus \u00fanicos divisores, assim a \u00fanica possibilidade para que [tex]mdc (a,b) \\ne 1[\/tex]\u00e9 \u00e9 que [tex]mdc (a,b)=a[\/tex].
\nNeste caso, [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]b[\/tex], ou seja[tex]b=aq[\/tex], para algum n\u00famero natural [tex]q[\/tex].
\nMas se [tex]mdc (a,b) = a[\/tex], ent\u00e3o [tex]mmc (a,b) = b[\/tex] e a\u00ed a soma dos quadrados do [tex]mdc[\/tex] e do [tex]mmc[\/tex] fica representada por [tex]a^2 + b^2 = 4394[\/tex].
\nAssim, temos que
\n[tex]\\qquad 4394=a^2 + b^2 = a^2 + a^2 \\cdot q^2= a^2 (1+q^2)[\/tex]
\ne como [tex]4394=13^3 \\cdot 2[\/tex], ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad a^2 + a^2 \\cdot q^2= a^2 (1+q^2)=4394=13^2 \\cdot 26 = 13^2\\cdot (1+5^2)[\/tex].
\nLogo, os n\u00fameros s\u00e3o [tex]a=13[\/tex] e [tex]b=13 \\cdot 5 = 65.[\/tex]<\/p>\n
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