{"id":52537,"date":"2015-11-29T21:06:52","date_gmt":"2015-11-29T23:06:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=52537"},"modified":"2023-01-20T01:14:43","modified_gmt":"2023-01-20T04:14:43","slug":"um-pouco-sobre-divisibilidade-divisibilidade-nos-naturais-problemas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2\/um-pouco-sobre-divisibilidade-divisibilidade-nos-naturais-problemas\/","title":{"rendered":"Um pouco sobre divisibilidade &#8211; Divisibilidade nos naturais:  Problemas"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"grie cb22\">\n<p class=\"ti1 c2\"style=\"margin:10px;line-height:20px\"><em> Divisibilidade nos naturais<\/em><\/p>\n<p class=\"ti2 c2\"style=\"margin:10px;line-height:20px\"><em> Problemas<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<div class=\"gree cb24\" >\n<strong>Problema 1:<\/strong> Existem n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] tais que [tex]a \\mid  bc[\/tex], mas [tex]a \\nmid  b[\/tex] e [tex]a \\nmid  c[\/tex] ? Justificar a resposta.\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\">\n<strong>Problema 2:<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]c\\ne0[\/tex]. Mostrar que [tex]a \\mid  b[\/tex] se, e somente se,  [tex]ac \\mid  bc[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\">\n<strong>Problema 3:<\/strong> Determinar todos os n\u00fameros naturais m\u00faltiplos de [tex]5[\/tex] de tr\u00eas algarismos cuja soma \u00e9 [tex]19[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\">\n<strong>Problema 4:<\/strong> Determinar um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] de quatro algarismos que somado \u00e0 soma de seus algarismos  resulte [tex]2603[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" >\n<strong>Problema 5:<\/strong> Quantos m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex], com quatro algarismos distintos, podem ser formados com [tex]2, \\, 3, \\, 4, \\, 6 \\, [\/tex] e [tex] \\, 9[\/tex] ?\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\">\n<strong>Problema 6:<\/strong> (Olimp\u00edada de Maio &#8211; 2006) Encontre todos os naturais m e n tais que [tex]m\\mid n + 1[\/tex] e [tex]n\\mid m + 1[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 7:<\/strong> Um n\u00famero com cem algarismos iguais a [tex]0[\/tex], cem algarismos iguais a [tex]1[\/tex] e cem algarismos iguais a [tex]2[\/tex] pode ser um quadrado perfeito?\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 8:<\/strong> Um n\u00famero com trinta algarismos iguais a [tex]0[\/tex], trinta algarismos iguais a [tex]1[\/tex] e trinta algarismos iguais a [tex]2[\/tex] pode ser um quadrado perfeito?\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 9:<\/strong> Encontre todos os n\u00fameros naturais [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] tais que [tex]x^2-y^2=37[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 10:<\/strong> Suponha [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais. Mostre que se [tex]3 \\mid a + 7b[\/tex] ent\u00e3o [tex]3 \\mid  a + b[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 11:<\/strong> (OBM 2000) \u00c9 poss\u00edvel encontrar duas pot\u00eancias de [tex]2[\/tex], distintas e com o mesmo n\u00famero de algarismos, tais que uma possa ser obtida da outra por meio de uma reordena\u00e7\u00e3o dos d\u00edgitos?<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 12:<\/strong> O n\u00famero de seis d\u00edgitos [tex]X = abcdef [\/tex] satisfaz a propriedade de que [tex] abc \u2212 def [\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex].<br \/>\nProve que [tex]X[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex].<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 13: <\/strong>Dado um n\u00famero de dois algarismos [tex]n=ab[\/tex], mostrar que [tex]ab + ba[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de 11.<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 14: <\/strong>Determine o algarismo das unidades do n\u00famero [tex]1\\times 3\\times 5\\times 7\\times \\, \\cdots  \\, \\times 2013[\/tex].<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 15: <\/strong>Qual o valor de [tex]\\alpha[\/tex] para que o n\u00famero de cinco algarismos [tex]50\\alpha 2\\alpha[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]66[\/tex]?<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" >\n<p><strong>Problema 16: <\/strong>Seja o n\u00famero [tex]m = 488a9b[\/tex], sendo que &#8220;[tex]b[\/tex]&#8221; \u00e9 o algarismo das unidades e &#8220;[tex]a[\/tex]&#8221; o algarismo das centenas.<br \/>\nSabendo-se que [tex]m[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]45[\/tex], ent\u00e3o [tex]a + b[\/tex] \u00e9 igual a<br \/>\na) [tex]1 \\qquad\\qquad[\/tex] b) [tex]7 \\qquad\\qquad[\/tex] c) [tex]9 \\qquad\\qquad[\/tex] d) [tex]16 \\qquad\\qquad[\/tex]<\/div>\n<p style=\"margin:20px 35px 20px  35px;\">As respostas dos problemas 14, 15 e 16 ser\u00e3o apresentados em um v\u00eddeo do <em><strong>Portal da Matem\u00e1tica<\/strong><\/em>: \u00e9 s\u00f3 clicar no pr\u00f3ximo bot\u00e3o. Terminado o v\u00eddeo, n\u00e3o se esque\u00e7a de fechar a janelinha que se abriu.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/xcVAd0oWmuQ?rel=0&amp;\" title=\"Clique aqui para conferir!\"  onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=854,height=480,left=0,top=0'); return false\"><span class=\"buts2 c2 cb23 bgf1\"> Tr\u00eas respostas<\/span><\/a><\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gree cb24\" >\n<p><strong>Problema 17: <\/strong>Sendo o n\u00famero [tex]N=\\underbrace{a3ba3b \\, \\cdots \\, a3b}_{51 d\u00edgitos} \\, [\/tex] um m\u00faltiplo de  [tex]36[\/tex], calcule a soma  [tex]\\boxed{a+b}[\/tex], sabendo que  [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar.<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/gm1ncE7YY9Q?rel=0&amp;\" title=\"Clique aqui para conferir!\"  onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=854,height=480,left=0,top=0'); return false\"><span class=\"buts2 c2 cb23 bgf1\"> Resposta<\/span><\/a><\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" >\n<p><strong>Problema 18:<\/strong> Os crit\u00e9rios de divisibilidade por [tex]4[\/tex], [tex]8[\/tex] e [tex]16[\/tex] admitem uma generaliza\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<p style=\"margin:10px 80px 10px  150px;\"><strong>Um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]2^r[\/tex] se, e somente se, &#8230;<\/strong><\/p>\n<p> Que generaliza\u00e7\u00e3o \u00e9 essa? Justifique sua resposta.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  class=\"buts2 c2 cb23 bgf1\" value=\"Dica\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Dica';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\" style=\"text-align:left\">\n<ul>\n<li>As pot\u00eancias de [tex]10[\/tex], a partir do [tex]100=10^2[\/tex], s\u00e3o todas divis\u00edveis por [tex]4[\/tex]; mas [tex]10[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]4[\/tex]: analisamos os dois \u00faltimos algarismos.<\/li>\n<li>As pot\u00eancias de [tex]10[\/tex], a partir do [tex]1000=10^3[\/tex], s\u00e3o todas divis\u00edveis por [tex]8[\/tex]; mas [tex]10[\/tex] e [tex]100[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o divis\u00edveis por [tex]8[\/tex]: analisamos os tr\u00eas \u00faltimos algarismos.<\/li>\n<li>As pot\u00eancias de [tex]10[\/tex], a partir do [tex]10000=10^4[\/tex], s\u00e3o todas divis\u00edveis por [tex]16[\/tex]; mas [tex]10[\/tex], [tex]100[\/tex] e [tex]1000[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o divis\u00edveis por [tex]16[\/tex]: analisamos os quatro \u00faltimos algarismos.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" >\n<p><strong>Problema 19:<\/strong> Encontre todos os n\u00famero naturais n\u00e3o nulos [tex]x \\, [\/tex] e [tex] \\, y[\/tex] tais que [tex] \\, \\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{y}=\\dfrac{1}{6}[\/tex].<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  class=\"buts2 c2 cb23 bgf1\" value=\"Resposta\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Resposta';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\" style=\"text-align:center; width:80%;\">\nPares [tex](x \\, , \\, y)[\/tex] dados por [tex] (7, 42)   \\, ; \\,  (8, 24)  \\, ; \\,  (9, 18)   \\, ; \\,  (10, 15)  \\, ; \\,  (12, 12)    \\, ; \\,  (15, 10)  \\, ; \\,  (18, 9)  \\, ; \\,  (24, 8)  \\, ; \\,  (42, 7) [\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" ><strong>Problema 20:<\/strong> Mostre que o \u00fanico n\u00famero natural que divide simultaneamente [tex]2^{16} + 1 \\, [\/tex] e [tex] \\, 2^{32} + 1 \\, [\/tex]  \u00e9 o [tex] \\, 1[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\" >\n<p><strong>Problema 21:<\/strong> Os crit\u00e9rios de divisibilidade por [tex]6[\/tex], [tex]12[\/tex], [tex]14[\/tex] e [tex]15[\/tex], tamb\u00e9m, admitem uma generaliza\u00e7\u00e3o.<br \/>\nQue generaliza\u00e7\u00e3o \u00e9 essa? Justifique sua resposta.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  class=\"buts2 c2 cb23 bgf1\" value=\"Dica\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Dica';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\" style=\"text-align:left; width:50%;\">\n<ul>\n<li>[tex]6=2\\times 3[\/tex]; [tex]\\qquad 12=3\\times 4[\/tex]; [tex]\\qquad 14=2\\times 7[\/tex]; [tex]\\qquad 15=3\\times 5[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 40px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 8px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #4178a1; font-size: 20px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p class=\"fim\"><a title=\"Voltar.\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=51902\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #6495ED;\"><strong>Voltar para Sala Principal<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Divisibilidade nos naturais Problemas Problema 1: Existem n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] tais que [tex]a \\mid bc[\/tex], mas [tex]a \\nmid b[\/tex] e [tex]a \\nmid c[\/tex] ? Justificar a resposta. Problema 2: Sejam [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]c\\ne0[\/tex]. Mostrar que [tex]a \\mid b[\/tex] se, e somente se, [tex]ac \\mid bc[\/tex]. Problema 3: &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2\/um-pouco-sobre-divisibilidade-divisibilidade-nos-naturais-problemas\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2970,"parent":51902,"menu_order":4,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-52537","page","type-page","status-publish","has-post-thumbnail","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52537","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=52537"}],"version-history":[{"count":28,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52537\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":183152,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/52537\/revisions\/183152"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/51902"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2970"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=52537"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}