{"id":52359,"date":"2015-11-27T20:38:00","date_gmt":"2015-11-27T22:38:00","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=52359"},"modified":"2023-01-20T01:14:22","modified_gmt":"2023-01-20T04:14:22","slug":"um-pouco-sobre-divisibilidade-tfa","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2\/um-pouco-sobre-divisibilidade-tfa\/","title":{"rendered":"Um pouco sobre divisibilidade – TFA"},"content":{"rendered":"

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TFA<\/p>\n

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Sabemos que toda mat\u00e9ria \u00e9 formada por pequenas part\u00edculas: os \u00e1tomos. Os gregos antigos foram os primeiros a saber que a mat\u00e9ria \u00e9 formada por tais part\u00edculas e o fil\u00f3sofo grego Dem\u00f3crito <\/em>(que viveu entre 546 e 460 a.C.) foi quem denominou essas part\u00edculas de \u00e1tomos (do grego – a<\/em>: n\u00e3o; tomo: divis\u00e3o<\/em>), pois acreditava que, de fato, elas eram indivis\u00edveis. Hoje se sabe que os \u00e1tomos podem ser divididos em part\u00edculas menores, mas a ideia de que a mat\u00e9ria existe em “unidades m\u00ednimas” segue vigente…<\/span>
\nNa aritm\u00e9tica, essa ideia de “unidades m\u00ednimas” tamb\u00e9m existe e tamb\u00e9m veio l\u00e1 da Gr\u00e9cia antiga. S\u00f3 que o papel dos \u00e1tomos, neste caso, \u00e9 exercido pelos chamados n\u00fameros primos<\/em><\/strong>. Os pitag\u00f3ricos (de 500 a 300 a.C., mais ou menos) foram os primeiros a se interessarem pelas propriedades \u201cm\u00edsticas\u201d desses n\u00fameros.<\/span>
\nMas, diferentemente dos \u00e1tomos de verdade, os n\u00fameros primos continuam, e v\u00e3o continuar, funcionando como blocos num\u00e9ricos fundamentais, respons\u00e1veis por gerar todos os n\u00fameros naturais diferentes de 0<\/span> e de 1<\/span>. Esta propriedade \u00e9 conhecida como Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica<\/strong> – o TFA <\/strong>que nomeia esta Sala – e ela garante que um n\u00famero natural diferente de 0<\/span> e de 1<\/span> ou \u00e9 um n\u00famero primo ou pode ser escrito como produto de n\u00fameros primos, conforme ilustra os exemplos a seguir.<\/span><\/p>\n

\"primos1\"\"primos2\"<\/span>
\n840 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7<\/span>1386 = 2 × 3 × 3 × 7 × 11<\/span><\/span><\/p>\n

\n

O Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica j\u00e1 aparece publicado nos Elementos <\/em>de Euclides<\/span><\/a>, mas a primeira demonstra\u00e7\u00e3o completa e correta do Teorema foi feita por Gauss<\/span> <\/a> e publicada em 1801, na obra Disquisitiones Arithmeticae<\/em>. <\/span><\/p>\n

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Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica – Uma primeira forma <\/p>\n

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Todo n\u00famero natural maior do que 1<\/span> ou \u00e9 primo ou pode ser escrito como produto de fatores primos.<\/p>\n

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\n <\/p>\n
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Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero n\u00famero natural, [tex]n\\gt 1[\/tex], e observe que se [tex]n[\/tex] for um n\u00famero primo, n\u00e3o h\u00e1 nada para ser demonstrado.
\nTomemos, ent\u00e3o, [tex]n[\/tex] um n\u00famero composto. Como [tex]n[\/tex] tem divisores diferentes de 1<\/span>, seja [tex]p_1[\/tex] o menor dentre esses divisores de [tex]n[\/tex] diferentes de 1<\/span>. Assim existe um n\u00famero natural [tex]n_1[\/tex] tal que <\/p>\n

\n

[tex]\\qquad n=p_1\\cdot n_1.\\qquad \\qquad (i)[\/tex]<\/p>\n

    \n
  • Afirma\u00e7\u00e3o 1:<\/strong> [tex]p_1[\/tex] \u00e9 primo.
    \nDe fato, pois se [tex]p_1[\/tex] n\u00e3o fosse primo, ent\u00e3o existiria um n\u00famero natural [tex]d[\/tex], [tex]1\\lt d \\lt p_1[\/tex], tal que [tex]d \\mid p_1[\/tex]. Como [tex]p_1 \\mid n[\/tex], pela transitividade da divisibilidade, ter\u00edamos que [tex]d \\mid n[\/tex], com [tex]d \\lt p_1[\/tex], o que contraria a escolha de [tex]p_1[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    Assim, por [tex](i)[\/tex], [tex]n=p_1\\cdot n_1[\/tex], com [tex]p_1[\/tex] primo.
    \nSe [tex]n_1[\/tex] for primo, terminamos a demonstra\u00e7\u00e3o, pois [tex]n[\/tex] ser\u00e1 um produto de dois primos: [tex]p_1[\/tex] e [tex]n_1[\/tex]. Suponha, ent\u00e3o, que [tex]n_1[\/tex] n\u00e3o seja primo e tome [tex]p_2[\/tex] o menor dentre os divisores de [tex]n_1[\/tex] que s\u00e3o maiores do que [tex]1[\/tex]. Assim, existe um n\u00famero natural [tex]n_2[\/tex] tal que [tex]n_1=p_2 \\cdot n_2[\/tex] e, portanto, por [tex](i)[\/tex],<\/p>\n

    \n

    [tex]\\qquad n=p_1\\cdot p_2 \\cdot n_2.\\qquad \\qquad (ii)[\/tex]<\/p>\n

      \n
    • Afirma\u00e7\u00e3o 2:<\/strong> [tex]p_2[\/tex] \u00e9 primo.
      \nDe fato, procederemos como na Afirma\u00e7\u00e3o 1. Se [tex]p_2[\/tex] n\u00e3o fosse primo, existiria um n\u00famero natural [tex]k[\/tex], [tex]1\\lt k \\lt p_2[\/tex], tal que [tex]k \\mid p_2[\/tex]. Como [tex]p_2 \\mid n_1[\/tex] ter\u00edamos, ent\u00e3o, que [tex]k \\mid n_1[\/tex], com [tex]k \\lt p_2[\/tex], o que contraria a escolha de [tex]p_2[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

      Assim, por [tex](ii)[\/tex], [tex]n=p_1\\cdot p_2 \\cdot n_2[\/tex], com [tex]p_1[\/tex] e [tex]p_2[\/tex] primos.
      \nSe [tex]n_2[\/tex] for primo, terminamos a demonstra\u00e7\u00e3o, pois ter\u00edamos escrito [tex]n[\/tex] como um produto de tr\u00eas primos: [tex]p_1[\/tex], [tex]p_2[\/tex] e [tex]n_2[\/tex]. Se [tex]n_2[\/tex] for composto podemos tomar [tex]p_3\\gt 1[\/tex] o menor dentre os divisores de [tex]n_2[\/tex] e assim existir\u00e1 um n\u00famero natural [tex]n_3[\/tex] tal que [tex]n_2=p_3 \\cdot n_3[\/tex] e, com isso,
      \n[tex]\\qquad n=p_1\\cdot p_2 \\cdot p_3 \\cdot n_3.\\qquad \\qquad (iii)[\/tex]<\/p>\n

        \n
      • Afirma\u00e7\u00e3o 3:<\/strong> [tex]p_3[\/tex] \u00e9 primo.
        \nDe fato, procederemos como nas Afirma\u00e7\u00f5es 1 e 2. Se [tex]p_3[\/tex] n\u00e3o fosse primo existiria um n\u00famero natural [tex]t[\/tex], [tex]1\\lt t \\lt p_3[\/tex], tal que [tex]t \\mid p_3[\/tex]. Mas [tex]p_3 \\mid n_2[\/tex] e assim [tex]t \\mid n_2[\/tex], com [tex]t \\lt p_3[\/tex], o que contraria a escolha de [tex]p_3[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

        Assim, por [tex](iii)[\/tex], [tex]n=p_1\\cdot p_2 \\cdot p_3 \\cdot n_3[\/tex], com [tex]p_1[\/tex], [tex]p_2[\/tex] e [tex]p_3[\/tex] primos.
        \nSe [tex]n_3[\/tex] for primo, terminamos a demonstra\u00e7\u00e3o, pois ter\u00edamos escrito [tex]n[\/tex] como um produto de tr\u00eas primos: [tex]p_1[\/tex], [tex]p_2[\/tex], [tex]p_3[\/tex] e [tex]n_3[\/tex]. <\/p>\n

        At\u00e9 quando podemos prosseguir com esse racioc\u00ednio?
        \nPodemos repeti-lo indefinidamente? <\/strong><\/p>\n

        Pelo acima exposto, observamos que, para cada divisor n\u00e3o primo [tex]n_i[\/tex] de [tex]n[\/tex], podemos obter dois divisores de [tex]n[\/tex], menores do que [tex]n_i[\/tex] – digamos [tex]n_j[\/tex] e [tex]p_j[\/tex] – tais que:
        \n[tex]\\qquad ● \\, \\, p_j[\/tex] \u00e9 primo;
        \n[tex]\\qquad ● \\, \\, n=p_1\\cdot p_2 \\cdot p_3\\cdot \\, \\, \\cdots \\, \\, \\cdot p_i\\cdot p_j\\cdot n_j[\/tex];
        \n[tex]\\qquad ● \\, \\, n\\gt n_1\\gt n_2\\gt n_3\\gt \\cdots \\gt n_i\\gt n_j\\gt 1[\/tex].
        \nAs desigualdades [tex]n\\gt n_1\\gt n_2\\gt n_3\\gt \\cdots \\gt n_i\\gt n_j\\gt 1[\/tex] mostram que, em algum momento, se esgotam as possibilidades para os termos dessa sequ\u00eancia, j\u00e1 que existe uma quantidade finita de n\u00fameros naturais entre 1<\/span> e [tex]n[\/tex]. Suponhamos que [tex]n_s[\/tex] seja, o \u00faltimo elemento da sequ\u00eancia; ent\u00e3o [tex]n_s[\/tex] \u00e9 primo e, finalmente,
        \n[tex]\\qquad n=p_1\\cdot p_2 \\cdot p_3\\cdot \\, \\, \\cdots \\, \\, \\cdot p_s\\cdot n_s[\/tex], com [tex]p_1, \\ p_2, \\ p_3 \\ \\cdots \\ p_s, \\ n_s[\/tex] primos.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

        \n

        \n <\/p>\n
        \n

        \n

        \n

        \n

        Aqui vamos, simplesmente, dar uma outra justificativa para o Teorema, mais curta que a anterior.
        \nSeja [tex]n[\/tex] um n\u00famero n\u00famero natural, [tex]n\\gt 1[\/tex], e seja [tex]q_1[\/tex] o menor dentre os divisores de [tex]n[\/tex] diferentes de [tex]1[\/tex].<\/p>\n

          \n
        • Afirma\u00e7\u00e3o 1:<\/strong> [tex]q_1[\/tex] \u00e9 primo.
          \nDe fato, pois se [tex]q_1[\/tex] n\u00e3o fosse primo existiria um n\u00famero natural [tex]d[\/tex], [tex]1\\lt d \\lt q_1[\/tex], tal que [tex]d \\mid q_1[\/tex]. Como [tex]q_1 \\mid n[\/tex] ter\u00edamos, ent\u00e3o, pela transitividade da divisibilidade, que [tex]d \\mid n[\/tex], com [tex]d \\lt q_1[\/tex]; o que contraria a escolha de [tex]q_1[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

          Como [tex]q_1 \\mid n[\/tex], existe [tex]m_1\\in\\mathbb{N}[\/tex] tal que [tex]n=q_1 \\cdot m_1[\/tex].
          \n● Se [tex]m_1=1[\/tex], terminamos e [tex]n[\/tex] \u00e9 primo.
          \n● Se [tex]m_1\\gt 1[\/tex], de maneira an\u00e1loga, conseguimos escrever [tex]m_1=q_2 \\cdot m_2[\/tex], com [tex]q_2[\/tex] primo e assim ter\u00edamos
          \n[tex]\\qquad n=q_1 \\cdot q_2 \\cdot m_2[\/tex], com [tex]q_1, \\, q_2[\/tex] primos e [tex]1 \\le m_2 \\lt m_1[\/tex].
          \n● Se [tex]m_2=1[\/tex], terminamos e [tex]n=q_1 \\cdot q_2[\/tex].
          \n● Se [tex]m_2\\gt 1[\/tex], repetindo o processo, obtemos para [tex]m_2[\/tex] uma decomposi\u00e7\u00e3o an\u00e1loga \u00e0 de [tex]m_1[\/tex].
          \nProsseguindo com o procedimento, obteremos, ent\u00e3o, n\u00fameros primos [tex] \\, q_1, \\ q_2, \\ q_3 \\ \\cdots \\ q_j \\, [\/tex] e uma sequ\u00eancia de n\u00fameros naturais [tex] \\, m_1\\gt m_2\\gt m_3\\gt \\cdots \\gt m_j\\ge 1 \\, [\/tex] tais que [tex] \\, n=q_1\\cdot q_2 \\cdot q_3\\cdot \\, \\, \\cdots \\, \\, \\cdot q_j\\cdot m_j [\/tex], com a possibilidade de continuarmos com a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex], sempre que [tex]m_j\\gt 1[\/tex].
          \nComo existe uma quantidade finita de n\u00fameros naturais entre 1<\/span> e [tex]n[\/tex], o procedimento de decomposi\u00e7\u00e3o tem um \u00faltimo passo no qual obtemos [tex]m_r= 1[\/tex] e, ent\u00e3o, teremos
          \n[tex]\\qquad n=q_1\\cdot q_2 \\cdot q_3\\cdot \\, \\, \\cdots \\, \\, \\cdot q_r[\/tex], com [tex]q_1, \\ q_2, \\ q_3 \\ \\cdots \\ q_r[\/tex] primos.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

          \n

          \n

          \n\n\n
          \"\"<\/td>\n\n

          \nAs justificativas apresentadas para o T F A <\/strong> n\u00e3o s\u00e3o simples de serem entendidas para quem n\u00e3o est\u00e1 habituado com a linguagem matem\u00e1tica. Se for o seu caso, n\u00e3o desanime, tente entender o enunciado direitinho, prossiga com a leitura dos t\u00f3picos desta p\u00e1gina e, em um segundo momento, volte a estud\u00e1-las.
          \nN\u00e3o entender as justificativas n\u00e3o vai prejudicar o seu entendimento sobre a divisibilidade e suas propriedades. Mas, se voc\u00ea investir no entendimento das duas demonstra\u00e7\u00f5es, isso vai ajudar, e muito, o seu amadurecimento matem\u00e1tico.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

          \n

          \n

          \n

          Uma d\u00favida pode ocorrer, ao observarmos os exemplos de decomposi\u00e7\u00f5es que fizemos para os n\u00fameros 840<\/span> e 1386<\/span>: come\u00e7amos fazendo divis\u00f5es por 2<\/span>; se tiv\u00e9ssemos iniciado o processo fazendo divis\u00f5es por 3<\/span>, por exemplo, ter\u00edamos decomposi\u00e7\u00f5es diferentes das apresentadas?<\/span>
          \nA forma completa do TFA<\/strong> vai esclarecer essa d\u00favida; vejamos.<\/span><\/p>\n

          \n

          \n

          Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica <\/p>\n

          \n

          Todo n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex] ou \u00e9 primo ou pode ser escrito de forma \u00fanica, a menos da ordem dos fatores, como produto de n\u00fameros primos.<\/p>\n

          \n

          Enunciado dessa forma, o TFA <\/strong>\u00e9 um resultado que, al\u00e9m de garantir a exist\u00eancia da representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex] como um produto de seus divisores primos, garante que essa representa\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fanica. Entre outros benef\u00edcios, esse resultado garante que podemos iniciar o processo de procura dos divisores primos pelo primo que nos for conveniente.<\/span>
          \nN\u00e3o apresentaremos uma justificativa para a unicidade da representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex] como produto de primos, pois ela foge dos objetivos pelos quais o Teorema foi apresentado. Al\u00e9m disso, as ferramentas necess\u00e1rias para a demonstra\u00e7\u00e3o ainda n\u00e3o foram desenvolvidas em nossas Salas.<\/span>
          \nA seguir, apresentaremos uma maneira mais simb\u00f3lica de escrever o TFA<\/strong>.<\/span><\/p>\n

          \n

          Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, [tex]n\\gt 1[\/tex], ent\u00e3o existem n\u00fameros primos [tex]p_1, \\, p_2, \\, p_3, \\, \\cdots \\, , \\, p_r[\/tex], com [tex]r\\ge 1[\/tex], tais que
          \n[tex]\\qquad \\qquad \\quad n=p_1 \\, p_2 \\, p_3 \\, \\cdots \\, p_r[\/tex].
          \nA menos da ordem dos fatores primos, essa representa\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fanica.<\/p>\n

          \n

          Observem que a possibilidade de [tex]n[\/tex] ser primo n\u00e3o aprece expl\u00edcita nesse enunciado, mas ela fica contemplada quando admitimos [tex]r\\ge 1[\/tex].<\/span>
          \nA seguir, uma outra vers\u00e3o cl\u00e1ssica do TFA<\/strong>.<\/span><\/p>\n

          \n

          Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural, [tex]n\\gt 1[\/tex].
          \nEnt\u00e3o existem n\u00fameros primos [tex]p_1\\le p_2\\le p_3\\le \\, \\cdots \\, \\le p_r[\/tex], com [tex]r\\ge 1[\/tex], tais que
          \n[tex]\\qquad \\qquad \\quad n=p_1 \\, p_2 \\, p_3 \\, \\cdots \\, p_r[\/tex]
          \nAl\u00e9m disso, essa decomposi\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fanica.<\/p>\n

          \n

          A princ\u00edpio, algu\u00e9m pode achar que essa forma de enunciar o TFA <\/strong>est\u00e1 incompleta, pois n\u00e3o foi explicitado que a unicidade \u00e9 a menos da ordem. Mas observem que a ordem foi fixada quando exigimos que [tex]p_1\\le p_2\\le p_3\\le \\, \\cdots \\, \\le p_r[\/tex], com [tex]r\\ge 1[\/tex].<\/span>
          \nFinalizamos este t\u00f3pico apresentando mais uma vers\u00e3o completa do TFA<\/strong>. <\/span><\/p>\n

          \n

          \n

          Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural, [tex]n\\gt 1[\/tex].
          \nEnt\u00e3o existem n\u00fameros primos [tex]p_1\\lt p_2\\lt p_3\\lt \\, \\cdots \\, \\lt p_r[\/tex] e, tamb\u00e9m, n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex]n_1, \\, n_2, \\, n_3, \\, \\cdots \\, , \\, n_r[\/tex], com [tex]r\\ge 1[\/tex], tais que<\/p>\n

          [tex]\\qquad \\qquad \\quad n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}[\/tex]<\/p>\n

          Al\u00e9m disso, essa decomposi\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fanica.<\/p><\/div>\n

          \n

          Podemos observar que, nas tr\u00eas vers\u00f5es anteriores do TFA<\/strong>, est\u00e1vamos admitindo que os primos que aparecem na decomposi\u00e7\u00e3o n\u00e3o s\u00e3o necessariamente distintos, o que atende, inclusive, aos nossos dois exemplos iniciais. Particularmente, nessa \u00faltima vers\u00e3o, agrupamos os eventuais primos que aparecem repetidos no produto e, com isso, os primos da decomposi\u00e7\u00e3o s\u00e3o distintos dois a dois. Escrito nessa forma, podemos dizer que [tex]n[\/tex] est\u00e1 decomposto como produto de pot\u00eancias cujas bases s\u00e3o n\u00fameros primos distintos dois a dois.<\/span>
          \nEsta forma de representar um n\u00famero natural [tex]n\\gt 1[\/tex] decomposto como produto de pot\u00eancias cujas bases s\u00e3o n\u00fameros primos distintos dois a dois, [tex] \\, n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}[\/tex], \u00e9 denominada decomposi\u00e7\u00e3o can\u00f4nica de [tex]n[\/tex]<\/strong>.<\/span><\/p>\n

          \n<\/div>\n

          \n

          \n

          \n\n\n
          \"\"<\/td>\n\n

          \nO TFA <\/strong>estabelece a exist\u00eancia e a unicidade da decomposi\u00e7\u00e3o de qualquer n\u00famero natural maior do que 1<\/span> como produto de primos. O que vamos ver agora \u00e9 como fazer essa decomposi\u00e7\u00e3o. Mas, observem que, mesmo antes de faz\u00ea-la, j\u00e1 sabemos que essa decomposi\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fanica, a menos da ordem em que aparecem os primos.
          \nComo a matem\u00e1tica \u00e9 surpreendente, n\u00e3o \u00e9? <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

          \n

          \n

          \n

          \n

          Em busca da decomposi\u00e7\u00e3o<\/p>\n

          \n

          Fatorar ou decompor um n\u00famero natural [tex]n[\/tex], com [tex]n\\gt 1[\/tex], significa escrev\u00ea-lo de acordo com qualquer uma das vers\u00f5es do TFA<\/strong>:
          \n [tex]\\qquad n=p_1 \\, p_2 \\, p_3 \\, \\cdots \\, p_r[\/tex], com [tex]r\\ge 1 \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, p_1, \\, p_2, \\, p_3, \\, \\cdots, \\, p_r[\/tex] primos.<\/span>
          \nou
          \n[tex]\\qquad n=p_1^{n_1} \\, p_2^{n_2} \\, p_3^{n_3} \\, \\cdots \\, p_r^{n_r}[\/tex], com [tex]r\\ge 1[\/tex], [tex]p_1\\lt p_2\\lt p_3\\lt \\, \\cdots \\, \\lt p_r[\/tex] primos e [tex]n_1, \\, n_2, \\, n_3, \\, \\cdots \\, , \\, n_r[\/tex] n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos.<\/p>\n

          \n

          O que faremos neste t\u00f3pico \u00e9 descrever um processo para se obter essa fatora\u00e7\u00e3o\/decomposi\u00e7\u00e3o. Mas antes, vamos enunciar e provar uma propriedade que ajudar\u00e1 a controlar esse processo.<\/span><\/p>\n

          \n

          \n

          Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural composto, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] tem um divisor primo [tex]p[\/tex] tal que [tex]p\\le \\sqrt{n}[\/tex].<\/p>\n

          \n

          \n <\/p>\n
          \n

          \n

          \nSeja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural composto, assim existem n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], com [tex]1 \\lt a, \\, b \\lt n[\/tex], tais que [tex]n=ab[\/tex].
          \nSuponhamos, sem perda de generalidade, [tex]a\\le b[\/tex]; assim [tex]aa\\le ba[\/tex], donde [tex]a^2\\le n[\/tex] e, portanto, [tex]a\\le \\sqrt{n}[\/tex].
          \nMas [tex]a \\gt 1 [\/tex], logo, pelo TFA<\/strong>, existem primos [tex]p_1, \\, p_2, \\, \\cdots \\, , \\, p_r[\/tex] tais que [tex]a=p_1 \\, p_2 \\, \\cdots \\, p_r[\/tex]. Particularmente cada um desses primos divide [tex]a[\/tex] e, consequentemente, tamb\u00e9m divide [tex]n[\/tex].
          \nSeja [tex]p[\/tex] qualquer um desses primos; assim, al\u00e9m de [tex]p[\/tex] dividir [tex]n[\/tex], [tex]p\\le a \\le \\sqrt{n}[\/tex].
          \nPortanto, existe um primo [tex]p[\/tex] tal que [tex]p\\mid n[\/tex] e [tex]p\\le \\sqrt{n}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

          \n

          \n <\/p>\n
          \n

          \n

          \n

          Esta propriedade garante que:
          \nse [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural composto<\/strong><\/span>, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] tem um divisor primo [tex]p[\/tex] tal que [tex]p\\le \\sqrt{n}[\/tex]<\/strong><\/span>.
          \nVamos fixar um n\u00famero natural [tex]m\\gt 1[\/tex] que n\u00e3o tenha um divisor primo [tex]q[\/tex] tal que [tex]q\\le \\sqrt{m}[\/tex].
          \nPergunta: <\/strong> Esse n\u00famero [tex]m[\/tex] pode ser composto?<\/p>\n