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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Os N\u00f3bregas<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) O menor m\u00faltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 \u00e9 9990. Qual \u00e9 o menor m\u00faltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3? Solu\u00e7\u00e3o 1 Seja [tex]x[\/tex] tal n\u00famero. Como [tex]x[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]1998[\/tex], ele tem que … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nO menor m\u00faltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 \u00e9 9990.
\nQual \u00e9 o menor m\u00faltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3?
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\nSeja [tex]x[\/tex] tal n\u00famero.
\nComo [tex]x[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]1998[\/tex], ele tem que ser par e, j\u00e1 que \u00e9 formado s\u00f3 por [tex]3[\/tex]’s e [tex]0[\/tex]’s, obrigatoriamente seu \u00faltimo algarismo \u00e9 [tex]0[\/tex].
\nSabemos tamb\u00e9m que [tex]x=1998k=2\\cdot 3^3\\cdot37\\cdot k[\/tex] para algum inteiro positivo [tex]k[\/tex]. Portanto, [tex]x\/3=2\\cdot 9\\cdot 37\\cdot k[\/tex], ou seja, [tex]x\/3[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex].
\nNote que [tex]x\/3[\/tex] dever\u00e1 um n\u00famero formado apenas por [tex]0[\/tex]’s e [tex]1[\/tex]’s. Tendo isso em vista, fica claro que, para ser m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex], [tex]x\/3[\/tex] ter\u00e1 no m\u00ednimo nove [tex]1[\/tex]’s e um [tex]0[\/tex] no \u00faltimo algarismo. Logo o menor valor para [tex]x\/3[\/tex] \u00e9 [tex]1111111110[\/tex] e, ent\u00e3o, [tex]x=3333333330[\/tex].
\nAgora basta verificar que [tex]x[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]37[\/tex]: [tex]x\/37=90090090.[\/tex]
\nAssim, [tex]x=3333333330[\/tex].<\/p>\n
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\nInicialmente observe que [tex]1998=2\\cdot 3^3 \\cdot 37[\/tex].
\nUm n\u00famero formado apenas pelos algarismos [tex]0[\/tex] e [tex]3[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3^3[\/tex] se, e somente se, o n\u00famero de algarismos [tex]3[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex], pois ao dividi-lo por [tex]3[\/tex], obtemos um n\u00famero que possui apenas os algarismos [tex]0[\/tex] e [tex]1[\/tex], que deve ser m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex], o que ocorre se, e somente se, o n\u00famero de algarismos [tex]1[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex].
\nAssim, o n\u00famero desejado deve ter pelo menos nove algarismos [tex]3[\/tex] e deve terminar com [tex]0[\/tex], por ser par.
\nO menor n\u00famero com essas propriedades \u00e9 [tex]3333333330[\/tex], m\u00faltiplo de [tex]1998[\/tex] porque \u00e9 par, m\u00faltiplo de [tex]3^3[\/tex] e de [tex]37[\/tex], por ser m\u00faltiplo de [tex]111[\/tex].<\/p>\n
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