{"id":51902,"date":"2015-11-19T00:26:22","date_gmt":"2015-11-19T02:26:22","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=51902"},"modified":"2024-11-25T22:29:31","modified_gmt":"2024-11-26T01:29:31","slug":"teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo:  Um pouco sobre divisibilidade (Parte 2)"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px;\">\n<hr style=\"height:1px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p class=\"nome c2\" style=\"margin:10px;line-height:50px; font-size:50px;\"><strong>Um pouco sobre divisibilidade<\/strong><\/p>\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"margin:10px;line-height:40px\">Parte 2 &#8211; Divisibilidade nos naturais<\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<table style=\"border:0px; text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto;width:642px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"105\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p style=\"text-align: justify; padding: 15px;padding-left:15px; padding-right:15px; border-radius: 5px; -moz-border-radius: 5px; -webkit-border-radius: 40px; border: 1px dotted #4178a1; width:505px;line-height: 20px;\"><span style=\"color: #4178a1; font-family: calibri, sans-serif; font-size: 16px;\">Nesta Sala, apresentaremos o conceito de divisibilidade  e aprofundaremos um pouco mais o nosso conhecimento a respeito dos n\u00fameros naturais.<br \/>\nUtilizaremos uma linguagem mais formal do que aquela utilizada pela maioria de voc\u00eas e trabalharemos com o &#8220;<em>jeito matem\u00e1tico da matem\u00e1tica<\/em>&#8220;. <\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"grie cb2d\">\n<div style=\" float:right;  width: 600px;  height:auto;\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:546px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignleft\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"100\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:430px;\">  A divisibilidade \u00e9 a continua\u00e7\u00e3o natural da discuss\u00e3o sobre m\u00faltiplos e divisores. Ent\u00e3o, neste t\u00f3pico, vamos continuar falando de m\u00faltiplos e divisores, s\u00f3 que de um jeito diferente.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<div style=\"clear: both;\"><\/div>\n<div class=\"gree cb22\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"margin:10px;line-height:28px; font-size:24px;\"><em> Apresentando a divisibilidade nos n\u00fameros naturais <\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Observem, mais uma vez, que quase toda a discuss\u00e3o da Sala anterior pode ser feita a partir da divis\u00e3o de um n\u00famero natural [tex]a[\/tex] por um n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]b[\/tex].<\/span><\/p>\n<table  style=\"border: 2px solid #FFFFFF; margin-left: 120px;width:10%\">\n<tr>\n<td  style=\"border-right: 2px solid \"> [tex]a \\, [\/tex]  <\/td>\n<td > [tex] \\,  \\,  \\,  \\, b[\/tex]  <\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border: 2px solid #FFFFFF\">[tex]r [\/tex]<\/td>\n<td  style=\"border-top: 2px solid; text-align:center \"> [tex] \\,  \\,  \\, q \\qquad [\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Em particular, se [tex]r=0[\/tex], temos que [tex]a=q\\times b[\/tex] e podemos relacionar os n\u00fameros [tex]a[\/tex] e [tex]b \\, [\/tex] dizendo que:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li>a divis\u00e3o de [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex] tem resto [tex]0[\/tex];<\/li>\n<li>a divis\u00e3o de [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex] \u00e9 exata;<\/li>\n<li>[tex]a[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]b[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]a[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]b[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]b[\/tex] \u00e9 um divisor de [tex]a[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]b[\/tex] \u00e9 um fator de [tex]a[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>(Seis nomenclaturas para designar o mesmo fato: [tex]a=q\\times b[\/tex], com  [tex]a[\/tex], [tex] \\, b \\, [\/tex] e [tex] \\, q \\, [\/tex] n\u00fameros naturais e [tex]b\\ne 0[\/tex].)<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Mas, nesta Sala, n\u00e3o utilizaremos a ideia da divis\u00e3o, pois ser\u00e1 interessante incluirmos o zero nas nossas discuss\u00f5es iniciais, e introduziremos uma s\u00e9tima nomenclatura diferente para tratarmos de pares de n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] tais que exista um n\u00famero natural [tex]t[\/tex] de modo que [tex]a=t\\times b[\/tex]. Esta s\u00e9tima e cl\u00e1ssica nomenclatura da Teoria dos N\u00fameros e a sua, n\u00e3o menos cl\u00e1ssica, nota\u00e7\u00e3o s\u00e3o apresentadas na defini\u00e7\u00e3o a seguir.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr3 bg2\">\n<p><strong>Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais quaisquer.<br \/>\nDiremos que [tex]b[\/tex] divide [tex]a[\/tex] quando existir um n\u00famero natural [tex]t[\/tex] de modo que [tex]a=t\\times b[\/tex].<br \/>\nAssim, diremos que [tex]b[\/tex] n\u00e3o divide [tex]a[\/tex] quando [tex]b[\/tex] n\u00e3o puder ser escrito na forma [tex]a=t\\times b[\/tex], com [tex]t\\in\\mathbb{N}[\/tex].<br \/>\nPara esses dois casos, utilizaremos as nota\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex] \\,  \\, b \\mid  a[\/tex], para indicar que [tex]b[\/tex] divide [tex]a[\/tex];<\/li>\n<li> [tex] \\,  \\, b \\nmid  a[\/tex], para indicar que [tex]b[\/tex] n\u00e3o divide [tex]a[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>A rela\u00e7\u00e3o entre dois n\u00fameros naturais aqui definida \u00e9 denominada divisibilidade em [tex] \\mathbb{N}[\/tex].<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Cuidado para n\u00e3o confundir a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\,  \\, b \\mid  a[\/tex] com a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\,  \\, b\/a[\/tex]. A primeira indica a rela\u00e7\u00e3o de divisibilidade, enquanto que a segunda pode indicar  a fra\u00e7\u00e3o [tex]\\frac{b}{a}[\/tex]. Observem os exemplos a seguir.<\/span><\/p>\n<ul>\n<li>[tex]5 \\mid  15[\/tex], pois [tex]15=3\\times 5[\/tex] e [tex]3 \\in \\mathbb{N}[\/tex].<\/li>\n<li>Mas [tex]15 \\nmid  5[\/tex], pois n\u00e3o existe um n\u00famero natural [tex]t[\/tex] tal que  [tex]5=t\\times 15[\/tex]. Com efeito, observem que <\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin-left:60px;\">&#9679; se [tex]t=0[\/tex], ent\u00e3o [tex]t\\times 15=0\\ne 5[\/tex];<br \/>\n&#9679; se [tex]t=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]t\\times 15=15\\ne 5[\/tex];<br \/>\n&#9679; se [tex]t\\gt 1[\/tex], ent\u00e3o [tex]t\\times 15\\gt 15\\gt 5[\/tex] e, assim, [tex]t\\times 15\\ne 5[\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]1 \\mid  n[\/tex], [tex]\\forall n \\in \\mathbb{N}[\/tex] (para todo n\u00famero natural [tex]n[\/tex]), j\u00e1 que [tex]n = 1\\times n[\/tex], [tex]\\forall n \\in \\mathbb{N}[\/tex].\n<li>[tex]0 \\mid  0[\/tex], pois, por exemplo,  [tex]0=7\\times 0 \\, [\/tex] e [tex] \\, 7 \\in \\mathbb{N}[\/tex].<\/li>\n<li>Se [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural qualquer, [tex]a \\mid  a[\/tex], uma vez que [tex]a=1\\times a, \\, \\forall a\\in \\mathbb{N}[\/tex] e [tex] \\, 1 \\in \\mathbb{N}[\/tex]. Particularmente, se [tex]a=0[\/tex], chegamos \u00e0 mesma conclus\u00e3o do exemplo anterior: [tex]0 \\mid  0[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Observa\u00e7\u00f5es:<\/strong><br \/>\n<strong>1)<\/strong> Nesta Sala, tamb\u00e9m denotaremos o produto do n\u00famero [tex]m[\/tex] pelo n\u00famero [tex]n[\/tex] por [tex]m\\cdot n[\/tex] ou, simplesmente, por [tex]mn[\/tex].<br \/>\n<strong>2)<\/strong> Se [tex] \\, b \\mid  a \\, [\/tex] e [tex]b\\ne0[\/tex], ent\u00e3o o n\u00famero natural [tex]t[\/tex] tal que [tex]a=tb[\/tex] \u00e9 \u00fanico. Com efeito, vamos considerar que exista outro n\u00famero natural [tex]k[\/tex] tal que [tex]a=kb[\/tex], neste caso, ter\u00edamos que  [tex]kb=tb[\/tex]. Mas, estamos supondo [tex]b\\ne0[\/tex]; logo, cancelamos o [tex]b[\/tex] e obtemos, necessariamente, que [tex]k=t[\/tex]. Dessa forma, mesmo que quis\u00e9ssemos &#8220;fabricar&#8221; um [tex]k[\/tex] diferente, isso n\u00e3o seria poss\u00edvel! <\/p>\n<p class=\"gree cb23\" style=\"width:90%;\">O \u00fanico n\u00famero natural [tex]t[\/tex] tal que [tex]a=tb[\/tex], [tex]b\\ne0[\/tex], chama-se <em><strong>quociente <\/strong><\/em>de [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex] e pode ser indicado por [tex]\\dfrac{a}{b}[\/tex].<\/p>\n<p><strong>3)<\/strong> J\u00e1 observamos que [tex]0 \\mid  0[\/tex], mas notem que, particularmente, [tex]0=1\\times 0[\/tex]; [tex]0=3\\times 0[\/tex]; [tex]0=27\\times 0[\/tex]; [tex]0=18745\\times 0[\/tex]; ou seja, o n\u00famero natural [tex]t[\/tex] tal que [tex]0=t\\times 0[\/tex] claramente n\u00e3o \u00e9 \u00fanico! Assim, n\u00e3o existe o quociente de [tex]0[\/tex] por [tex]0[\/tex] e portanto, neste contexto, [tex]0 \\mid  0[\/tex], mas o s\u00edmbolo [tex]\\dfrac{0}{0} [\/tex] n\u00e3o est\u00e1 definido.<br \/>\n<strong>4)<\/strong> Devido \u00e0 n\u00e3o unicidade tratada na observa\u00e7\u00e3o anterior e ao fato de que<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad \\quad 0 \\mid  a[\/tex] se, e somente se, [tex]a=0[\/tex],<br \/>\n\u00e9 comum n\u00e3o trabalhar com o zero como divisor. Dessa forma, daqui por diante <span class=\"c2\"> <strong><em>admitiremos que todos os divisores considerados s\u00e3o diferentes de zero, mesmo que isso n\u00e3o seja explicitamente dito<\/em><\/strong><\/span>.<br \/>\n<strong>5)<\/strong> Mesmo com a possibilidade de termos [tex]b=0[\/tex], ainda podemos utilizar as express\u00f5es:<br \/>\n<span  style=\"margin-left:20px;\">&#8226; [tex]b[\/tex] \u00e9 um divisor de [tex]a[\/tex];<\/span><br \/>\n<span  style=\"margin-left:20px;\">&#8226; [tex]b[\/tex] \u00e9 um fator de [tex]a[\/tex];<\/span><br \/>\n<span  style=\"margin-left:20px;\">&#8226; [tex]a[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]b[\/tex]. <\/span><br \/>\nNo entanto, as outras tr\u00eas express\u00f5es:<br \/>\n<span style=\"margin-left:20px;\">&#8226; a divis\u00e3o de [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex] tem resto [tex]0[\/tex];<\/span><br \/>\n<span  style=\"margin-left:20px;\">&#8226; a divis\u00e3o de [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex] \u00e9 exata;<\/span><br \/>\n<span  style=\"margin-left:20px;\">&#8226; [tex]a[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]b[\/tex]<\/span><br \/>\nn\u00e3o podem ser utilizadas, se [tex]b=0[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto; width:622px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:500px;\"> A conven\u00e7\u00e3o da observa\u00e7\u00e3o (4) eu entendi, mas a sua justificativa eu n\u00e3o entendi muito bem. Eu sei que esse &#8220;se e somente se&#8221; \u00e9 muito utilizado na matem\u00e1tica, mas eu n\u00e3o sei, de fato, o que ele significa . . . <\/p>\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/04\/carinha20.jpg\" style=\"border: 0px;\" alt=\"carinha20\" width=\"81\" height=\"70\" class=\" alignleft size-full wp-image-17461\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:423px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:300px;\">\nN\u00e3o se preocupe, vamos falar um pouquinho sobre linguagem matem\u00e1tica antes de prosseguirmos.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gree cb22\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"margin:10px;line-height:28px; font-size:24px;\"><em> Algumas observa\u00e7\u00f5es sobre a linguagem matem\u00e1tica <\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Na matem\u00e1tica, as palavras t\u00eam sentido preciso, j\u00e1 que as informa\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas devem ser expressas com exatid\u00e3o, sem ambiguidades. A linguagem matem\u00e1tica tem s\u00edmbolos pr\u00f3prios que se relacionam segundo regras pr\u00f3prias e n\u00e3o adianta algu\u00e9m achar que \u00e9 isso ou aquilo, \u00e9 necess\u00e1rio, de fato, saber&#8230;<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Se voc\u00eas n\u00e3o t\u00eam dificuldades com o uso de linguagem matem\u00e1tica, podem passar para o pr\u00f3ximo t\u00f3pico; caso contr\u00e1rio, \u00e9 s\u00f3 clicar no pr\u00f3ximo bot\u00e3o e aprender um pouco.<\/span><\/p>\n<p class=\"ti2 c2\"> Bom proveito ! ! !<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<div style=\"margin:30px;text-align:center;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=51496\" target=\"_blank\"><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\"  value=\"Linguagem matem\u00e1tica\" style=\"width:220px;\" title=\"Clique aqui\"\/><\/a><\/div>\n<p style=\"margin: 30px 50px 20px 50px;\">Vamos voltar \u00e0 observa\u00e7\u00e3o <strong>(4)<\/strong> que motivou toda essa discuss\u00e3o e utilizar a discuss\u00e3o sobre o &#8220;se, e somente se,&#8221; para justificar que, no conjunto dos n\u00fameros naturais, a afirma\u00e7\u00e3o<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 0 \\mid  a[\/tex] se, e somente se, [tex]a=0[\/tex]<br \/>\n\u00e9 verdadeira. <\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Justificativa\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Justificativa';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\" style=\"width:80%;\">\nEm s\u00edmbolos, podemos escrever a afirma\u00e7\u00e3o &#8220;[tex] \\, 0 \\mid  a[\/tex] se, e somente se, [tex]a=0[\/tex]&#8221; como &#8220;[tex] \\, 0 \\mid  a \\Leftrightarrow a=0[\/tex]&#8221;. De qualquer forma, temos que garantir duas implica\u00e7\u00f5es:<br \/>\n<span style=\"padding-left:60px;\">[tex] \\, 0 \\mid  a \\Rightarrow a=0 \\qquad [\/tex]  e [tex]\\qquad a=0\\Rightarrow 0 \\mid  a[\/tex],<\/span><br \/>\nvejamos.<br \/>\n<em><strong>(i)<\/strong><\/em> Mostraremos, inicialmente, a primeira implica\u00e7\u00e3o. Para isso temos que garantir que, se [tex]a[\/tex] \u00e9 n\u00famero natural tal que  [tex] \\, 0 \\mid  a [\/tex], ent\u00e3o, necessariamente, [tex]a=0[\/tex].<br \/>\nCom efeito, seja [tex]a[\/tex] um n\u00famero natural tal que  [tex] \\, 0 \\mid  a [\/tex]. Assim, por defini\u00e7\u00e3o de divisibilidade, existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] tal que [tex]a=k\\cdot 0[\/tex].<br \/>\nMas sabemos que [tex]k\\cdot 0=0[\/tex]; logo, [tex]a= 0[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><em><strong>(ii)<\/strong><\/em> Mostraremos, agora, a segunda das duas implica\u00e7\u00f5es.<br \/>\nSuponhamos, ent\u00e3o, que  [tex] \\, a=0[\/tex].<br \/>\nJ\u00e1 vimos que  [tex] \\, 0 \\mid  0 [\/tex], logo, como [tex] \\, a=0[\/tex], ent\u00e3o  [tex] \\, 0 \\mid  a [\/tex].<br \/>\nPor <em><strong>(i)<\/strong><\/em> e <em><strong>(ii)<\/strong><\/em>, podemos concluir que<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 0 \\mid  a \\Leftrightarrow a=0[\/tex],<br \/>\nou seja, que [tex] \\, 0 \\mid  a[\/tex] se, e somente se, [tex]a=0[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:260px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:150px;\">Agora sim&#8230;<\/p>\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/carinha1.jpg\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"carinha1\" width=\"90\" height=\"78\" class=\"alignleft size-full wp-image-3063\" \/>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:636px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:500px;\">A seguir, vamos apresentar as primeiras propriedades satisfeitas pela rela\u00e7\u00e3o de divisibilidade no conjunto dos n\u00fameros naturais.  Elas s\u00e3o importantes, pois s\u00e3o utilizadas na demonstra\u00e7\u00e3o de outras proposi\u00e7\u00f5es e na solu\u00e7\u00e3o de muitos problemas. Portanto, guardem-nas para uso no futuro . . . <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<div class=\"gree cb22\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"margin:10px;line-height:28px; font-size:24px;\"><em> Propriedades iniciais da divisibilidade nos naturais <\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:590px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:460px;\">N\u00e3o vamos, simplesmente, apresentar as propriedades, vamos justific\u00e1-las matematicamente. Assim,  para cada uma delas vamos fazer uma demonstra\u00e7\u00e3ozinha! Para tentar entend\u00ea-las, sigam as orienta\u00e7\u00f5es abaixo.<br \/>\n<span style=\"padding-left:100px;\"><strong>Bons estudos!<\/strong><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div class=\"gree cb24\">\n<p class=\"ti2 c2\">Orienta\u00e7\u00f5es iniciais para o estudo das propriedades<\/p>\n<p>Para cada propriedade:<\/p>\n<ul>\n<li> Pegar papel e l\u00e1pis, ler com bastante aten\u00e7\u00e3o o enunciado e fazer v\u00e1rios exemplos num\u00e9ricos para entender o que esse enunciado est\u00e1 garantindo.<\/li>\n<li> Em seguida, tentar utilizar as defini\u00e7\u00f5es para sair dos exemplos particulares utilizados. E n\u00e3o faz mal se n\u00e3o conseguir fazer isso: o importante \u00e9 botar a cabe\u00e7a para funcionar e amadurecer os conceitos.<\/li>\n<li> Ler com cuidado a demonstra\u00e7\u00e3o apresentada.<\/li>\n<li> Tentar reproduzir a demonstra\u00e7\u00e3o apresentada.<\/li>\n<li> Tentar fazer uma demonstra\u00e7\u00e3o da propriedade diferente da apresentada.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Todas as propriedades s\u00e3o do tipo<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">se [tex]P[\/tex], ent\u00e3o [tex]Q[\/tex];<\/span><br \/>\nportanto, em suas justificativas, admitiremos que [tex]P[\/tex] ocorre e, utilizando argumentos matem\u00e1ticos, concluiremos que tamb\u00e9m ocorre [tex]Q[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<hr style=\"height:2px; background-color:#4178a1;   margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; background-color:#4178a1;   margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<div class=\"gree cb25\" style=\"width:95%;\">\n<p class=\"ti2 c2\"><em> Propriedades iniciais da divisibilidade nos n\u00fameros naturais<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px;\"><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos e [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] n\u00fameros naturais quaisquer. Ent\u00e3o:<\/p>\n<div class=\"gree cb24\">\n<p><strong>Propriedade 1:<\/strong> Se [tex]a \\mid  b[\/tex] e [tex]b \\mid  a[\/tex], ent\u00e3o [tex]a=b[\/tex].<\/p>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:98%;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<div style=\"text-align:center;\"><input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Informalmente...\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Informalmente...';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb24 bg2\" style=\"width:350px;\">\n&#9679; Para cada n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]a[\/tex], o \u00fanico n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]b[\/tex] que \u00e9, simultaneamente, m\u00faltiplo e divisor de [tex]a[\/tex] \u00e9 o pr\u00f3prio [tex]a[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<td class=\"bf\" >\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Demonstra\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Demonstra\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\">\nSe [tex]a \\mid  b[\/tex] e [tex]b \\mid  a[\/tex], ent\u00e3o, por defini\u00e7\u00e3o, existem n\u00fameros naturais [tex]t[\/tex] e [tex]k[\/tex] tais que [tex]b= ta[\/tex] e [tex]a=kb[\/tex].<br \/>\nDessa forma, [tex]a=k(ta)=(kt)a[\/tex]. Mas  [tex]a\\ne 0[\/tex]; logo, de [tex]a=(kt)a[\/tex], segue que [tex]kt=1[\/tex].<br \/>\nNo entanto [tex]t[\/tex] e [tex]k[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais; portanto, [tex]kt=1[\/tex] s\u00f3 \u00e9 poss\u00edvel se [tex]k=t=1[\/tex] e, assim, de [tex]b= ta[\/tex] (ou [tex]a=kb[\/tex]) segue que [tex]a=b[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\">\n<p><strong>Propriedade 2:<\/strong> Se [tex]a \\mid  b[\/tex] e [tex]b \\mid  m[\/tex], ent\u00e3o [tex]a \\mid  m[\/tex].<\/p>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\" style=\"width:350px\">\n<div style=\"text-align:center;\"><input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Informalmente...\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Informalmente...';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb24 bg2\" style=\"width:350px\">\n&#9679; Divisor de divisor \u00e9 divisor: se [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]b[\/tex] e [tex]b[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]m[\/tex], ent\u00e3o [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]m[\/tex].<br \/>\n&#9679; M\u00faltiplo de m\u00faltiplo \u00e9 m\u00faltiplo: se [tex]m[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]b[\/tex] e [tex]b[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo  de [tex]a[\/tex], ent\u00e3o [tex]m[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]a[\/tex].<br \/>\n&#9679; Essa propriedade \u00e9 conhecida por <em><strong>transitividade da divisibilidade<\/strong><\/em>.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"width:450px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Demonstra\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Demonstra\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\">\nSe [tex]a \\mid  b[\/tex] e [tex]b \\mid  m[\/tex], ent\u00e3o, por defini\u00e7\u00e3o, existem n\u00fameros naturais [tex]t[\/tex] e [tex]k[\/tex] de modo que  [tex]b= ta[\/tex] e [tex]m=kb[\/tex].<br \/>\nAssim, temos que<br \/>\n[tex] \\,  \\, m=k(ta)=(kt)a[\/tex].[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, (i)[\/tex]<br \/>\nMas como [tex]t[\/tex] e [tex]k[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, ent\u00e3o [tex]x=kt[\/tex] tamb\u00e9m ser\u00e1 um n\u00famero natural, j\u00e1 que o produto de dois n\u00fameros naturais \u00e9 um n\u00famero natural.<br \/>\nDessa forma, por [tex] \\, (i) \\, [\/tex], temos que [tex]m=xa[\/tex], com [tex]x\\in \\mathbb{N}[\/tex]. Portanto, por defini\u00e7\u00e3o, [tex]a \\mid  m[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\">\n<p><strong>Propriedade 3:<\/strong> Se [tex]a \\mid  m[\/tex] e [tex]a \\mid  n[\/tex], ent\u00e3o [tex]a \\mid  m+n[\/tex].<\/p>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\" style=\"width:350px\">\n<div style=\"text-align:center;\"><input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Informalmente...\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Informalmente...';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb24 bg2\" style=\"width:350px;\">\n&#9679; A soma de m\u00faltiplos \u00e9 um m\u00faltiplo: se [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]a[\/tex], ent\u00e3o a soma [tex]m+n[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um m\u00faltiplo de [tex]a[\/tex].<br \/>\n&#9679; Se [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]m[\/tex] e de [tex]n[\/tex], ent\u00e3o [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor da soma [tex]m+n[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"width:450px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Demonstra\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Demonstra\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\">\nSe [tex]a \\mid  m[\/tex] e [tex]a \\mid  n[\/tex], ent\u00e3o, por defini\u00e7\u00e3o, existem n\u00fameros naturais [tex]t[\/tex] e [tex]k[\/tex] de modo que  [tex]m= ta[\/tex] e [tex]n=ka[\/tex].<br \/>\nAssim, temos que<br \/>\n[tex] \\,  \\, m+n=ta+ka=(t+k)a [\/tex].[tex] \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\,  \\, (i)[\/tex]<br \/>\nMas como [tex]t[\/tex] e [tex]k[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, ent\u00e3o [tex]z=t+k[\/tex] tamb\u00e9m ser\u00e1 um n\u00famero natural, j\u00e1 que a soma de dois n\u00fameros naturais \u00e9 um n\u00famero natural.<br \/>\nDessa forma, por [tex] \\, (i) \\, [\/tex], temos que [tex]m+n=za[\/tex], com [tex]z\\in \\mathbb{N}[\/tex].<br \/>\nPortanto, por defini\u00e7\u00e3o, [tex]a \\mid  m+n[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\">\n<p><strong>Propriedade 4:<\/strong> Se [tex]a \\mid  m[\/tex], ent\u00e3o [tex]a \\mid mn[\/tex].<\/p>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\" style=\"width:350px\">\n<div style=\"text-align:center;\"><input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Informalmente...\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Informalmente...';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb24 bg2\" style=\"width:330px;\">\n&#9679; Se [tex]a[\/tex] divide  [tex]m[\/tex], ent\u00e3o [tex]a[\/tex] divide qualquer m\u00faltiplo de  [tex]m[\/tex].<br \/>\n&#9679; Se [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]m[\/tex], ent\u00e3o [tex]a[\/tex] divide todo m\u00faltiplo de [tex]m[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"width:470px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Demonstra\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Demonstra\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\">\nSe [tex]a \\mid  m[\/tex], ent\u00e3o, por defini\u00e7\u00e3o, existe um n\u00famero natural [tex]k[\/tex] tal que  [tex]m= ka[\/tex]. Ent\u00e3o, para qualquer n\u00famero natural [tex]n[\/tex], temos que [tex]mn= (ka)n=(kn)a[\/tex].<br \/>\nDessa forma, se fizermos [tex]kn=t[\/tex], ent\u00e3o teremos que [tex]mn= ta[\/tex], com [tex]t\\in \\mathbb{N}[\/tex], e isso \u00e9 suficiente para garantir que [tex]a \\mid  mn[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb24\">\n<p><strong>Propriedade 5:<\/strong> Se [tex]a \\mid  m[\/tex] e [tex]a \\mid  n[\/tex], ent\u00e3o [tex]a \\mid xm+yn[\/tex], para quaisquer n\u00fameros naturais [tex]x \\, [\/tex] e [tex] \\, y[\/tex].<\/p>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\" style=\"width:350px\">\n<div style=\"text-align:center;\"><input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Informalmente...\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Informalmente...';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb24 bg2\" style=\"width:350px;\">\n&#9679; Se [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor de [tex]m[\/tex] e de [tex]n[\/tex], ent\u00e3o [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor da soma entre os produtos [tex]xm[\/tex] e [tex]yn[\/tex], para quaisquer n\u00fameros naturais [tex]x \\, [\/tex] e [tex] \\, y[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"width:450px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 c2 cb23\" value=\"Demonstra\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Demonstra\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gree cb23\">\nEssa justificativa poderia ser feita a partir da defini\u00e7\u00e3o de divisibilidade, como feito nas propriedades anteriores, mas vamos utilizar as <strong>propriedades 3 e 4<\/strong> para faz\u00ea-la.<br \/>\nAssim, suponhamos que [tex]a[\/tex] seja um divisor de [tex]m[\/tex] e de [tex]n[\/tex].<br \/>\nPortanto, se  [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, ent\u00e3o, pela <strong>propriedade 4<\/strong>, temos que [tex]a \\mid  xm[\/tex] e [tex]a \\mid  yn[\/tex].<br \/>\nComo, agora, temos que [tex]a \\mid  xm[\/tex] e [tex]a \\mid  yn[\/tex], utilizamos a <strong>propriedade 3<\/strong> para concluir que [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor da soma entre [tex] xm[\/tex] e [tex] yn[\/tex].<br \/>\nAssim, podemos afirmar que [tex]a \\mid xm+yn[\/tex], para [tex]x,y\\in\\mathbb{N}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:637px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"menino\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:500px;\">Vamos discutir, agora, algumas maneiras de sabermos se um n\u00famero natural [tex]a[\/tex] \u00e9 divisor de outro, sem realizar a divis\u00e3o entre eles. <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:380px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:240px;\">\u00c9 o que eu estou esperando!<\/p>\n<\/td>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/09\/carinha_legal.jpg\" style=\"border: 0px;\" alt=\"carinha_legal\" width=\"120\" height=\"100\" class=\"alignleft size-full wp-image-22758\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"grie cb22\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"margin:10px;line-height:20px; font-size:24px;\"><em> \u00c9 divisor?<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin: 30px 70px 20px 70px;\">O nosso objetivo neste t\u00f3pico ser\u00e1 o de discutir maneiras que nos permitam decidir se um n\u00famero natural [tex]d[\/tex] divide ou n\u00e3o um dado n\u00famero natural [tex]a[\/tex], sem realizar a divis\u00e3o de [tex] a[\/tex] por [tex]d[\/tex] .<br \/>\nApresentaremos dois caminhos, cada um deles baseados em maneiras distintas de representarmos os n\u00fameros naturais.<\/p>\n<p class=\"ti2 c2\">Vamos l\u00e1?<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<div class=\"gree cb25\" style=\"width:95%;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Inicialmente, vamos estabelecer alguns dos chamados &#8220;<strong>Crit\u00e9rios de Divisibilidade<\/strong>&#8220;. <\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Fixado um n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]d[\/tex], um crit\u00e9rio de divisibilidade por [tex]d[\/tex] \u00e9 uma condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria e suficiente para que um n\u00famero seja divis\u00edvel por [tex]d[\/tex]. Assim, os crit\u00e9rios de divisibilidade s\u00e3o regras que nos permitem concluir se um n\u00famero natural \u00e9 ou n\u00e3o divis\u00edvel por determinados n\u00fameros naturais. <\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Mas antes da apresenta\u00e7\u00e3o, uma observa\u00e7\u00e3o: quando se apresenta, simplesmente, uma regra, ou um macete, talvez algu\u00e9m possa se perguntar:<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:60px;\"><\/span>&#8211; <em>De onde saiu essa regra?<\/em><br \/>\n<span style=\"padding-left:60px;\"><\/span>&#8211; <em>Ela funciona sempre?<\/em><br \/>\n<span style=\"padding-left:60px;\"><\/span>&#8211; <em>Ela foi testada?<\/em><br \/>\n<span style=\"padding-left:60px;\"><\/span>&#8211; <em>Ser\u00e1 que, de repente, n\u00e3o vou encontrar algum caso particular para o qual ela n\u00e3o funciona?<\/em><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Para tentar evitar que algu\u00e9m fique com esse tipo de pergunta na cabe\u00e7a, cada crit\u00e9rio apresentado ser\u00e1 acompanhado de, pelo menos, uma justificativa.<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Para conferir os crit\u00e9rios de divisibilidade por [tex]2,\\ 3,\\ 4,\\ 5,\\ 6,\\ 7,\\ 8,\\ 9[\/tex] e [tex]10[\/tex] e suas justificativas, cliquem no pr\u00f3ximo bot\u00e3o.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=51881\" target=\"_blank\"><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\"  value=\"Crit\u00e9rios de divisibilidade\" style=\"width:250px;\" title=\"Visite a p\u00e1gina, clicando aqui.\"\/><\/a><\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Quem preferir somente conhecer v\u00e1rios crit\u00e9rios, sem suas respectivas justificativas, \u00e9 s\u00f3 clicar nos pr\u00f3ximos bot\u00f5es: para  apenas consultar, clique no bot\u00e3o da esquerda; para baixar o arquivo, clique no bot\u00e3o da direita.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<table style=\"height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto; text-align:center\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=52717\" target=\"_blank\"><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\" title=\"Visite a p\u00e1gina, clicando aqui.\"  value=\"Consultar\"\/ ><\/a><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/criterios_final.pdf\" download=\"Crit\u00e9rios de divisibilidade - OBMEP.pdf\"><input class=\"bo1 bbg2\" value=\"Baixar o arquivo\"  type=\"button\" \/> <\/a>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<div class=\"gree cb25\" style=\"width:95%;\">\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Uma maneira eficaz de se procurar divisores de um n\u00famero natural [tex]n[\/tex], [tex]n\\gt 1[\/tex] \u00e9 analisar a representa\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex] como produto de n\u00fameros primos.<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Vejamos alguns exemplos para ter certeza da efic\u00e1cia desse caminho. Para isso, consideremos o n\u00famero natural [tex]1008=2^4\\cdot 3^2\\cdot 7[\/tex].<\/span><\/p>\n<ul>\n<li>[tex]1008[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]2[\/tex] ?<br \/>\nSim, j\u00e1 que [tex]1008=2\\cdot(\\underbrace{2^3\\cdot 3^2\\cdot 7}_k) \\, [\/tex] e, ent\u00e3o, [tex]1008=2k[\/tex], com [tex]k \\in \\mathbb{N}[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]1008[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] ?<br \/>\nSim, j\u00e1 que [tex]1008=3^2\\cdot(\\underbrace{2^4\\cdot 7}_t) \\, [\/tex] e, ent\u00e3o, [tex]1008=9t[\/tex], com [tex]t \\in \\mathbb{N}[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]1008[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]21[\/tex] ?<br \/>\nSim, j\u00e1 que [tex]1008=3\\cdot 7\\cdot(\\underbrace{2^4\\cdot 3}_z) \\, [\/tex] e, ent\u00e3o, [tex]1008=21z[\/tex], com [tex]z \\in \\mathbb{N}[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]1008[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]5[\/tex] ?<br \/>\nN\u00e3o, pois a decomposi\u00e7\u00e3o de  [tex]1008[\/tex]  n\u00e3o cont\u00e9m o fator primo [tex]5[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]1008[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]504[\/tex] ?<br \/>\nSim. Observe que [tex]1008=2^4\\cdot 3^2\\cdot 7[\/tex] e [tex]504=2^3\\cdot 3^2\\cdot 7[\/tex]; portanto, [tex]1008=2\\cdot(2^3\\cdot 3^2\\cdot 7)=2\\times 504[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Observem que o m\u00e9todo apresentado \u00e9 muito simples, desde que tenhamos em m\u00e3os os n\u00fameros a serem analisados escritos como produtos de fatores primos. Assim, cabem duas perguntas:<\/span><\/p>\n<p style=\"margin-left:50px;\"><strong>(1) Todo n\u00famero natural pode ser escrito como produto de n\u00fameros primos?<br \/>\n(2) Em caso positivo, como obter essa decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p class=\"ti3 c2\" style=\"margin-bottom:20px;\">As respostas para essas duas perguntas<br \/>\nvoc\u00eas podem encontrar clicando no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=52359\" target=\"_blank\"><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\"  style=\"width:80px;\" value=\"TFA\" title=\"Visite a p\u00e1gina, clicando aqui.\"\/><\/a><\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;   margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<p class=\"ti3 c2\"> E para relaxar, que tal um joguinho?<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=52454\" target=\"_blank\"><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\"  value=\"Achando os divisores\" style=\"width:200px;\" title=\"Visite a p\u00e1gina, clicando aqui.\"\/><\/a><\/div>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:626px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:500px;\"> S\u00e3o muitos crit\u00e9rios&#8230;<br \/>\nFiquei aqui pensando: n\u00e3o podemos utilizar uma calculadora e fazer a divis\u00e3o de [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex] para saber se [tex]b[\/tex] divide [tex]a[\/tex] ?<\/p>\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/04\/carinha19.jpg\" style=\"border: 0px;\" alt=\"carinha19\" width=\"85\" height=\"78\" class=\"alignleft size-full wp-image-17463\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:620px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala c2\" style=\"width:500px;\">\nSim, mas com os devidos cuidados quanto \u00e0s limita\u00e7\u00f5es do visor e da mem\u00f3ria da maquina que voc\u00ea estiver utilizando&#8230;<br \/>\nVamos comentar sobre isso antes de propormos alguns problemas.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gree cb22\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"margin:10px;line-height:20px; font-size:24px;\"><em> Praticando . . . <\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Nos dias de hoje, a tecnologia desempenha  um papel importante na informa\u00e7\u00e3o e na educa\u00e7\u00e3o das pessoas. <\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">A calculadora, por exemplo, \u00e9 uma ferramenta que faz parte do material escolar de parte dos alunos e pode ajudar com tarefas escolares e, tamb\u00e9m, com pequenas tarefas do dia a dia. No entanto quem dela se utiliza n\u00e3o deve ter uma confian\u00e7a cega no que esta ferramenta produz. Por mais avan\u00e7ada e moderna que seja, uma calculadora tem  limita\u00e7\u00f5es naturais inerentes \u00e0 sua natureza eletr\u00f4nica.<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Se for &#8220;<em>para adiantar o servi\u00e7o<\/em>&#8221; e ficar com mais tempo para raciocinar, generalizar e tirar conclus\u00f5es, c\u00e1lculos rotineiros e enfadonhos que voc\u00eas j\u00e1 entendam  como s\u00e3o feitos podem ser feito com uma calculadora. Mas, mesmo nesses casos, \u00e9 bom ficarmos atentos, pois a quantidade de d\u00edgitos que o visor de uma calculadora comporta \u00e9 limitada; assim, corremos dois riscos:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li>um determinado n\u00famero a ser utilizado n\u00e3o cabe no visor;<\/li>\n<li>pode acontecer de a calculadora exibir como resultado final um arredondamento; o que n\u00e3o faz sentido, por exemplo, para a divisibilidade, que trabalha com n\u00fameros naturais ou inteiros.<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Sugerimos que voc\u00eas conversem com seus respectivos professores de matem\u00e1tica sobre esse assunto, mas n\u00e3o tenham pregui\u00e7a de fazer c\u00e1lculos do mesmo tipo v\u00e1rias vezes, pois isso vai ajud\u00e1-los quando a calculadora falhar ou, mesmo, n\u00e3o estiver presente.<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">S\u00f3 para um exemplo dessa \u00faltima observa\u00e7\u00e3o, peguem uma calculadora de dez d\u00edgitos e tentem determinar quantos divisores o n\u00famero [tex]981663141888[\/tex] tem. Mesmo que voc\u00eas trabalhem com uma m\u00e1quina de calcular que tenha mais d\u00edgitos, imaginem o tempo que cada um de voc\u00eas levaria para fazer todas as divis\u00f5es necess\u00e1rias para responder a essa pergunta&#8230; <\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Esse e outros problemas interessantes voc\u00eas poder\u00e3o encontrar clicando nos bot\u00f5es a seguir.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"margin-bottom:20px;\">Bons estudos! <\/p>\n<p class=\"ti2 c2\" style=\"margin-bottom:20px;\">Boa divers\u00e3o ! ! !<\/p>\n<table  style=\"border:0px;  width:95%; height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=52852\" target=\"_blank\"><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\"  value=\"981663141888\" title=\"Visite a p\u00e1gina, clicando aqui.\"\/><\/a><\/div>\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=52537\" target=\"_blank\"><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\"  value=\"Outros problemas\" title=\"Visite a p\u00e1gina, clicando aqui.\"\/><\/a><\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=53229\" target=\"_blank\"><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\"  value=\"Retomando um problema j\u00e1 resolvido\" style=\"width:350px;\" title=\"Visite a p\u00e1gina, clicando aqui.\"\/><\/a><\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div style=\" float:right;  width: 650px;\">\n<table  style=\"border:0px;  width:95%; height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:554px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"75\" height=\"90\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p style=\"text-align: center; padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#4178a1; border-width :thin; width:440px;background-color: #cddbf9;\"><span style=\"color: #4178a1; font-family: calibri, sans-serif;  font-size: 14px;\"> A ideia de divisibilidade pode ser estendida para n\u00fameros inteiros.<br \/>\nQue tal voc\u00eas pesquisarem?<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<div style=\"clear: both;\"><\/div>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1;  margin-top: 6px; margin-bottom: 6px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1;   margin-top: 6px; margin-bottom: 6px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #4178a1; font-size: 18px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"font-size: 16px;line-height: 30px;text-align: right; color: #4178a1;\">Novembro de 2020.<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div style=\"padding-left: 20px; padding-right:20px;\">\n<div class=\"ref\">\n<strong>Refer\u00eancias:<\/strong><br \/>\n<span style=\"color: #00B7E1;\">&#10003; <\/span>DOMINGUES, H. H., Fundamentos de Aritm\u00e9tica. S\u00e3o Paulo: Atual Editora, 1991.<br \/>\n<span style=\"color: #00B7E1;\">&#10003; <\/span>FOMIN, D; GENKIN, S.; ITENBERG, I., C\u00edrculos Matem\u00e1ticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.<br \/>\n<span style=\"color: #00B7E1;\">&#10003; <\/span>HEFEZ, A., Elementos de Aritm\u00e9tica. Cole\u00e7\u00e3o Textos Universit\u00e1rios. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matem\u00e1tica, 2005.<br \/>\n<span style=\"color: #00B7E1;\">&#10003; <\/span>MILIES, C. P.; COELHO, S. P., N\u00fameros: Uma Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 Matem\u00e1tica. S\u00e3o Paulo: Editora da Universidade de S\u00e3o Paulo, 2001.<br \/>\n<span style=\"color: #00B7E1;\">&#10003; <\/span>MUNIZ NETO, A. C., T\u00f3picos de Matem\u00e1tica Elementar: teoria dos n\u00fameros. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matem\u00e1tica, 2012.\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Um pouco sobre divisibilidade Parte 2 &#8211; Divisibilidade nos naturais Nesta Sala, apresentaremos o conceito de divisibilidade e aprofundaremos um pouco mais o nosso conhecimento a respeito dos n\u00fameros naturais. Utilizaremos uma linguagem mais formal do que aquela utilizada pela maioria de voc\u00eas e trabalharemos com o &#8220;jeito matem\u00e1tico da matem\u00e1tica&#8220;. A divisibilidade \u00e9 a &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-51902","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/51902","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=51902"}],"version-history":[{"count":97,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/51902\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":222860,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/51902\/revisions\/222860"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=51902"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}