{"id":5170,"date":"2013-05-19T00:13:28","date_gmt":"2013-05-19T03:13:28","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=5170"},"modified":"2023-01-05T01:41:52","modified_gmt":"2023-01-05T04:41:52","slug":"muitos-zeros","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/muitos-zeros\/","title":{"rendered":".Problema: Muitos zeros . . ."},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nRepresentamos por  [tex]1000!\\, [\/tex]<\/span><\/strong> (e lemos [tex]\\, 1000\\,fatorial [\/tex]<\/span>) o produto de todos os inteiros de [tex]1[\/tex] at\u00e9 [tex]1000[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\qquad 1000!\\,=1\\times 2\\times 3\\times \\cdots \\times 100 \\times \\cdots \\times 1000 .[\/tex]
\nCom quantos zeros consecutivos termina a representa\u00e7\u00e3o decimal de [tex]\\, 1000 !\\, [\/tex]<\/span><\/strong>?<\/p>\n

Adaptado do livro \u00c9 Divertido Resolver Problemas<\/strong>, dos professores Josimar Silva e Luis Lopes.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nPara solucionar este problema, basta observar que cada zero final da representa\u00e7\u00e3o decimal de [tex]\\, 1000 !\\, [\/tex]<\/span> significa a presen\u00e7a de um fator [tex]2[\/tex] e de um fator [tex]5[\/tex] em [tex]\\, 1000!\\, [\/tex]<\/strong>.
\nComo na fatora\u00e7\u00e3o de [tex]\\, 1000!\\, [\/tex] existem mais fatores [tex]2[\/tex] do que fatores [tex]5[\/tex], ent\u00e3o, se
\n[tex]\\qquad 1000!=2^a\\cdot 3^b\\cdot \\textcolor{red}{5^c}\\cdot 7^d \\cdot~ \\dots ~\\cdot 997^1[\/tex]
\n\u00e9 a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]\\, 1000!\\, [\/tex] em fatores primos, o n\u00famero de zeros que estamos procurando \u00e9 [tex]\\textcolor{red}{c}[\/tex].
\nPortanto, quantos s\u00e3o os fatores [tex]5[\/tex] que aparecem nessa decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]\\, 1000!\\, [\/tex]?
\nNote que no conjunto [tex]\\{1, 2, 3, 4,\\dots, 1000\\}[\/tex] existem:
\n [tex]\\qquad \\dfrac{1000}{5}=200[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]5\\\\
\n[\/tex],
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1000}{25}=40[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]25=5^2\\\\
\n[\/tex],
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1000}{125}=8[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]125=5^3\\\\
\n[\/tex] e
\n[tex]\\qquad 1[\/tex] m\u00faltiplo de [tex]625=5^4[\/tex];
\ndessa forma, temos um total de [tex]\\boxed{200+40+8+1=249}[\/tex] zeros no final da representa\u00e7\u00e3o decimal de [tex]\\, 1000 !\\,. [\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog <\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

Participaram da discuss\u00e3o do problema os seguintes Clubes: Os Geom\u00e9tricos; SALVAM\u00c1TICOS.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Representamos por  [tex]1000!\\, [\/tex] (e lemos [tex]\\, 1000\\,fatorial [\/tex]) o produto de todos os inteiros de [tex]1[\/tex] at\u00e9 [tex]1000[\/tex]: [tex]\\qquad \\qquad 1000!\\,=1\\times 2\\times 3\\times \\cdots \\times 100 \\times \\cdots \\times 1000 .[\/tex] Com quantos zeros consecutivos termina a representa\u00e7\u00e3o decimal de [tex]\\, 1000 !\\, [\/tex]? … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":164,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-5170","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5170","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/164"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5170"}],"version-history":[{"count":30,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5170\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":182706,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5170\/revisions\/182706"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5170"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}