{"id":51631,"date":"2015-11-17T12:58:32","date_gmt":"2015-11-17T14:58:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=51631"},"modified":"2023-03-31T00:04:52","modified_gmt":"2023-03-31T03:04:52","slug":"problema-algarismos-a-mil","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-algarismos-a-mil\/","title":{"rendered":".Problema: Algarismos a mil"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nQuais os quatro \u00faltimos algarismos de [tex]5^{1000}?[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nCalculando algumas pot\u00eancias de 5 temos:<\/p>\n<p style=\"margin-left:20px;\">[tex]5^1 =5[\/tex]<br \/>\n[tex]5^2 =25[\/tex]<br \/>\n[tex]5^3 =125[\/tex]<br \/>\n[tex]5^4 =625[\/tex]<br \/>\n[tex]5^5 =3.125[\/tex]<br \/>\n[tex]5^6 =15\\,625[\/tex]<br \/>\n[tex]5^7 =78\\,125[\/tex]<br \/>\n[tex]5^8 = 390\\,625[\/tex]<br \/>\n[tex]5^9 =1.953\\,125[\/tex]<br \/>\n[tex]5^{10} =9\\,765\\,625[\/tex]<br \/>\n[tex]5^{11} =48\\,828\\,125[\/tex]<br \/>\n[tex]5^{12} =244\\,140\\,625[\/tex].<\/p>\n<p>Notamos que os tr\u00eas \u00faltimos algarismos a partir das centenas dependem do expoente, se for par \u00e9 625, se for impar \u00e9 125. Sendo assim, os tr\u00eas \u00faltimos algarismos s\u00e3o 625 por ser uma pot\u00eancia de expoente par.<br \/>\nObservamos tamb\u00e9m que existe uma sequ\u00eancia que se repete de 4 em 4, para o quarto algarismo, que \u00e9: 3,5,8 e 0 que est\u00e1 relacionada com o expoente. Assim, basta dividir o expoente por 4 e observar o resto.<\/p>\n<ul>\n<li>Se for 1, o quarto algarismo \u00e9 3.<\/li>\n<li>Se for 2, o quarto algarismo \u00e9 5.<\/li>\n<li>Se for 3, o quarto algarismo \u00e9 8.<\/li>\n<li>Se for 0, o quarto algarismo \u00e9 0.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como 1000 dividido por 4 deixa o resto zero, conclu\u00edmos que o quarto algarismo \u00e9 o zero.<br \/>\nPortanto [tex]5^{1000}= &#8230;..0625[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM <strong> Todos pela Matem\u00e1tica<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos calcular algumas pot\u00eancias de 5.  Observando o que acontece apenas com os quatro \u00faltimos d\u00edgitos, podemos responder a essa quest\u00e3o.<\/p>\n<p>[tex]5^2 = 25[\/tex], [tex]5^3 = 125[\/tex], [tex]5^4 = 625[\/tex], [tex]5^5 = 3125[\/tex], [tex]5^6 = &#8230; 5625[\/tex], [tex]5^7 = &#8230; 8125[\/tex], [tex]5^8 = &#8230; 0625[\/tex],  [tex]5^9 = &#8230; 3125[\/tex]. <\/p>\n<p>Observe que os quatro \u00faltimos algarismos de [tex]5^9[\/tex] e [tex]5^5[\/tex] s\u00e3o os mesmos. <\/p>\n<p>Essa periodicidade dos quatro \u00faltimos algarismos tem um ciclo de 4 pot\u00eancias.<\/p>\n<p>Podemos afirmar que:<br \/>\n[tex]5^5, 5^9, 5^{13}, 5^{17}, &#8230;[\/tex] t\u00eam como \u00faltimos algarismos [tex]3125[\/tex];<\/p>\n<p>[tex]5^6, 5^{10}, 5^{14}, 5^{18}, &#8230;[\/tex] t\u00eam como \u00faltimos algarismos [tex]5625[\/tex];<\/p>\n<p>[tex]5^7, 5^{11}, 5^{15}, 5^{19}, &#8230;[\/tex] t\u00eam como \u00faltimos algarismos [tex]8125[\/tex] e<\/p>\n<p>[tex]5^8, 5^{12}, 5^{16}, 5^{20}, &#8230;[\/tex] t\u00eam como \u00faltimos algarismos [tex]0625[\/tex].<\/p>\n<p>Como [tex]1000[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]4[\/tex] ent\u00e3o os \u00faltimos quatro algarismos de [tex]5^{1000}[\/tex] s\u00e3o os mesmos de [tex]5^8[\/tex] que s\u00e3o [tex]0625[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g3\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube: <strong> Todos pela Matem\u00e1tica<\/strong>.\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Quais os quatro \u00faltimos algarismos de [tex]5^{1000}?[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o 1 Calculando algumas pot\u00eancias de 5 temos: [tex]5^1 =5[\/tex] [tex]5^2 =25[\/tex] [tex]5^3 =125[\/tex] [tex]5^4 =625[\/tex] [tex]5^5 =3.125[\/tex] [tex]5^6 =15\\,625[\/tex] [tex]5^7 =78\\,125[\/tex] [tex]5^8 = 390\\,625[\/tex] [tex]5^9 =1.953\\,125[\/tex] [tex]5^{10} =9\\,765\\,625[\/tex] [tex]5^{11} =48\\,828\\,125[\/tex] [tex]5^{12} =244\\,140\\,625[\/tex]. 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