Linguagem matem\u00e1tica <\/p>\n
Implica\u00e7\u00f5es e equival\u00eancias<\/p>\n
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\nEm uma teoria matem\u00e1tica, a partir de conceitos j\u00e1 conhecidos, outros conceitos v\u00e3o sendo definidos e, portanto, palavras e express\u00f5es novas v\u00e3o, continuamente, surgindo. Mas, independente do assunto, existem algumas express\u00f5es e palavras que s\u00e3o utilizadas com frequ\u00eancia e com significados pr\u00f3prios e bem definidos em textos matem\u00e1ticos; neste t\u00f3pico, vamos discutir um pouco sobre os significados de algumas delas. \n \n Nesta nossa breve discuss\u00e3o, [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] representar\u00e3o propriedades que se referem a elementos gen\u00e9ricos de um dado conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex]. Assim, por exemplo, podemos ter: <\/span><\/p>\n \n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto dos tri\u00e2ngulos de um plano; \n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto dos n\u00fameros naturais; \n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto das retas de um plano; \n Implica\u00e7\u00f5es<\/em><\/p>\n \n Se [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] s\u00e3o propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex], ent\u00e3o as cinco express\u00f5es:<\/span><\/p>\n t\u00eam todas o mesmo significado. Elas querem dizer, simplesmente, que:<\/p>\n \n Para exprimir esse fato, \u00e9 comum utilizarmos a seguinte nota\u00e7\u00e3o:[tex] \\, \\, P \\Rightarrow Q[\/tex]. Dessa forma, se considerarmos os conjuntos: \n [tex]\\qquad \\qquad B=\\{ \\, b \\in U[\/tex], tal que [tex]b[\/tex] tem a propriedade [tex]Q \\, \\}[\/tex] \n Nessas condi\u00e7\u00f5es, \u00e9 comum, tamb\u00e9m, utilizarmos a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, P \\nRightarrow Q[\/tex] para indicar a nega\u00e7\u00e3o de [tex] \\, \\, P \\Rightarrow Q[\/tex]. Logo, a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, P \\nRightarrow Q[\/tex] indica que<\/span><\/p>\n ou, de outra forma, indica que <\/p>\n \n Resumindo:<\/span><\/p>\n \n Se [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] s\u00e3o propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex], usamos as nota\u00e7\u00f5es [tex] \\, \\, P \\Rightarrow Q \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, P \\nRightarrow Q[\/tex] para indicar que:<\/p>\n \n \n Equival\u00eancias<\/em><\/p>\n \n Se, novamente, [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] forem propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex], tamb\u00e9m as express\u00f5es:<\/span><\/p>\n t\u00eam todas o mesmo significado. Elas querem dizer que "[tex]P \\Rightarrow Q[\/tex]" e "[tex]Q \\Rightarrow P[\/tex]", ou seja, que, simultaneamente,<\/p>\n fato que denotamos como:[tex] \\, \\, P \\Leftrightarrow Q[\/tex]. Portanto, se considerarmos, uma vez mais, os conjuntos \n [tex]\\qquad B=\\{ \\, b \\in U[\/tex], tal que [tex]b[\/tex] tem a propriedade [tex]Q \\, \\}[\/tex] \n Tamb\u00e9m \u00e9 comum utilizarmos uma nota\u00e7\u00e3o para indicar a nega\u00e7\u00e3o de [tex] \\, \\, P \\Leftrightarrow Q[\/tex]. Assim, a nota\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, P \\nLeftrightarrow Q[\/tex] indica que [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o equivalentes, ou seja, que, pelo menos, uma das seguintes situa\u00e7\u00f5es ocorre: [tex] \\, \\, P \\nRightarrow Q[\/tex]; [tex] \\, \\, Q \\nRightarrow P[\/tex].<\/span><\/p>\n \n Resumindo:<\/span><\/p>\n \n Se [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] s\u00e3o propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto n\u00e3o vazio [tex]U[\/tex], usamos as nota\u00e7\u00f5es [tex] \\, \\, P \\Leftrightarrow Q \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, P \\nLeftrightarrow Q[\/tex] para indicar que:<\/p>\n \n \n Algumas observa\u00e7\u00f5es<\/em><\/p>\n \n [tex]\\textcolor{#4178a1}{(i)}[\/tex] Observe atentamente a utiliza\u00e7\u00e3o dos s\u00edmbolos [tex]\\boxed{\\subset \\, \\, \\, \\not \\subset \\, \\, \\, = \\, \\, \\, \\Leftrightarrow \\, \\, \\, \\nLeftrightarrow \\, \\, \\, \\Rightarrow \\, \\, \\, \\nRightarrow} \\, [\/tex]:<\/p>\n \n [tex]\\textcolor{#4178a1}{(ii)}[\/tex] O s\u00edmbolo [tex]\\Rightarrow[\/tex] n\u00e3o significa “ent\u00e3o”.<\/strong> O correto seria:<\/p>\n \n [tex]\\textcolor{#4178a1}{(iii)}[\/tex] Quando as frases que descrevem duas propriedades [tex]P \\, [\/tex] e [tex] \\, Q[\/tex] forem muito longas, n\u00e3o coloque a implica\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, P \\Rightarrow Q[\/tex] (ou a equival\u00eancia [tex] \\, \\, P \\Leftrightarrow Q[\/tex]) no meio de outra frase; isole-a em uma outra linha. Por exemplo:<\/p>\n \n \n Exemplos<\/em><\/p>\n \nVamos construir frases matem\u00e1ticas verdadeiras, utilizando os s\u00edmbolos [tex]\\boxed{\\Leftrightarrow \\, \\, \\, \\nLeftrightarrow \\, \\, \\, \\Rightarrow \\, \\, \\, \\nRightarrow} \\, [\/tex]. [tex]\\textcolor{#4178a1}{(i)}[\/tex] Considere \n [tex]\\textcolor{#4178a1}{(ii)}[\/tex] Considere \n [tex]\\textcolor{#4178a1}{(iii)}[\/tex] (Ampliando a utiliza\u00e7\u00e3o) Considere: \n<\/div>\n \n \nAs express\u00f5es “se, ent\u00e3o<\/strong>” e “se, e somente se<\/strong>” s\u00e3o de extrema import\u00e2ncia para a leitura e compreens\u00e3o de textos de matem\u00e1tica; portanto, vamos resumir e registrar suas caracter\u00edsticas.<\/p>\n \n Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" ✏ Link da Sala para dispositivos da Apple. Linguagem matem\u00e1tica Implica\u00e7\u00f5es e equival\u00eancias Em uma teoria matem\u00e1tica, a partir de conceitos j\u00e1 conhecidos, outros conceitos v\u00e3o sendo definidos e, portanto, palavras e express\u00f5es novas v\u00e3o, continuamente, surgindo. Mas, independente do assunto, existem algumas express\u00f5es e palavras que s\u00e3o utilizadas com frequ\u00eancia e com significados pr\u00f3prios … <\/p>\n
\nObservamos que o interesse, aqui, n\u00e3o \u00e9 estudar l\u00f3gica matem\u00e1tica; queremos, apenas, que voc\u00eas se sintam mais seguros e confort\u00e1veis quando da leitura e compreens\u00e3o das defini\u00e7\u00f5es e proposi\u00e7\u00f5es que aparecem nas nossas Salas<\/strong>.<\/p>\n
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\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]T[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero;
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]T[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles.<\/p>\n
\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]a[\/tex] \u00e9 par;
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]a[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex].<\/p>\n
\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o paralelas;
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o perpendiculares.<\/p>\n
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\n[tex]\\qquad \\qquad A=\\{ \\, a \\in U[\/tex], tal que [tex]a[\/tex] tem a propriedade [tex]P \\, \\}[\/tex]<\/p>\n
\nent\u00e3o escrevemos [tex] \\, \\, P \\Rightarrow Q \\, \\, [\/tex] para significar que [tex] \\, \\, A \\subset B[\/tex].<\/p>\n\n
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\n[tex]\\qquad A=\\{ \\, a \\in U[\/tex], tal que [tex]a[\/tex] tem a propriedade [tex]P \\, \\}[\/tex]<\/p>\n
\nent\u00e3o escrever [tex] \\, \\, P \\Leftrightarrow Q \\, \\, [\/tex] significa que [tex] \\, \\, A = B \\, \\, [\/tex].<\/p>\n\n
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\nAssim, n\u00e3o escreva coisas do tipo <\/p>\n\n
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\n[tex]\\qquad[\/tex]"[tex] x[\/tex] e [tex]y[\/tex] \u00edmpares" [tex]\\Rightarrow[\/tex] "[tex]x+y[\/tex] \u00edmpar".<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
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\nTente justificar a veracidade de cada uma.<\/p>\n
\n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto dos tri\u00e2ngulos de um plano;
\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]T[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero;
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]T[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles.
\nEnt\u00e3o:<\/p>\n\n
\nou
\n"[tex]T[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero" [tex] \\Rightarrow [\/tex] "[tex]T[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles".<\/li>\n<\/ul>\n\n
\nou
\n"[tex]T[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles" [tex] \\nRightarrow [\/tex] "[tex]T[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero". <\/li>\n<\/ul>\n\n
\nou
\n"[tex]T[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero" [tex] \\nLeftrightarrow [\/tex] "[tex]T[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles".<\/li>\n<\/ul>\n
\n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto dos n\u00fameros naturais;
\n ➤<\/span> [tex]P[\/tex]: [tex]a[\/tex] \u00e9 par;
\n ➤<\/span> [tex]Q[\/tex]: [tex]a[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex].
\nEnt\u00e3o:<\/p>\n\n
\nou
\n"[tex]a[\/tex] \u00e9 par" [tex]\\nRightarrow [\/tex] "[tex]a[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex]".<\/li>\n<\/ul>\n\n
\nou
\n"[tex]a[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex]" [tex]\\nRightarrow [\/tex] "[tex]a[\/tex] \u00e9 par". <\/li>\n<\/ul>\n\n
\nou
\n"[tex]a[\/tex] \u00e9 par" [tex]\\nLeftrightarrow [\/tex] "[tex]a[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex]".<\/li>\n<\/ul>\n
\n ➤<\/span> [tex]U[\/tex]: conjunto dos n\u00fameros naturais.
\nEnt\u00e3o:<\/p>\n\n
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\n![\"lousa02\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/lousa02.png\")
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