{"id":5092,"date":"2013-05-18T22:42:04","date_gmt":"2013-05-19T01:42:04","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=5092"},"modified":"2023-01-10T01:13:49","modified_gmt":"2023-01-10T04:13:49","slug":"numeros-na-roda","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/numeros-na-roda\/","title":{"rendered":".Problema: N\u00fameros na roda"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 8px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"font-family: verdana; color: #616161; line-height: 30px;\"> Mostre que os n\u00fameros naturais de 1 a 16 <strong>n\u00e3o<\/strong> podem ser escritos sobre uma circunfer\u00eancia, de modo que a soma de quaisquer dois n\u00fameros vizinhos seja um quadrado perfeito.<\/span><\/p>\n<p style=\"font-size: 14px;text-align:right;line-height:18px;\">Adaptado do Banco de Quest\u00f5es da  <strong> OBMEP 2011<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<br \/>\n&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 2px  dotted  #800000; padding: 8px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\"><strong>Texto de apoio<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: justify; font-family: 'Georgia'; font-size: 18px; color: #999999;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1001 alignleft\" style=\"border: 0px;\" alt=\"explicador_p\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"68\" height=\"82\" \/><br \/>\n&nbsp;<br \/>\nVoc\u00ea sabe o que \u00e9 um <a title=\"Pequeno texto sobre quadrados perfeitos\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/nossa-biblioteca\/sala-para-leitura\/pequenos-textos\/quadrado-perfeito\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #ff9900;\"><b>quadrado perfeito<\/b><\/span><\/a> ?<br \/>\n&nbsp;\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 8px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<div style=\"text-align: justify; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 30px;\"> Vamos analisar o que aconteceria <strong>se os n\u00fameros em quest\u00e3o pudessem ser escritos sobre uma circunfer\u00eancia<\/strong>.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/f029.png\" alt=\"\" width=\"261\" height=\"260\" class=\"aligncenter size-full wp-image-178647\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/f029.png 261w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/f029-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 261px) 100vw, 261px\" \/><br \/>\nAssim, suponhamos que todos os n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]16[\/tex] foram escritos sobre uma circunfer\u00eancia, de modo que a soma de quaisquer dois n\u00fameros vizinhos seja um quadrado perfeito.<br \/>\nVamos, ent\u00e3o, considerar n\u00fameros [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] sobre a circunfer\u00eancia, tais que os n\u00fameros [tex]A[\/tex] e [tex]C[\/tex] s\u00e3o os vizinhos do n\u00famero [tex]B[\/tex].<br \/>\nSabemos que  [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] s\u00e3o diferentes, e tamb\u00e9m sabemos que [tex]B+C[\/tex] e [tex]B+A[\/tex] s\u00e3o dois quadrados perfeitos diferentes.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/f030.png\" alt=\"\" width=\"239\" height=\"269\" class=\"aligncenter size-full wp-image-178648\" \/>Vamos verificar o caso em que [tex]B=16[\/tex]: <\/p>\n<ul>\n<li>O n\u00famero [tex]16[\/tex] possui dois n\u00fameros vizinhos [tex]A[\/tex] e [tex]C[\/tex] diferentes; sem perda de generalidade vamos supor que [tex]A>C[\/tex]. O maior valor poss\u00edvel para o [tex]A[\/tex] \u00e9 [tex]15[\/tex] e o menor valor poss\u00edvel para o [tex]C[\/tex] \u00e9 [tex]1[\/tex], assim  [tex]16+C[\/tex] e [tex]16+A[\/tex] s\u00e3o dois quadrados perfeitos entre [tex]17[\/tex] e [tex]31[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mas entre os n\u00fameros [tex]17[\/tex] e [tex]31[\/tex] s\u00f3 existe um n\u00famero quadrado perfeito (apenas o n\u00famero [tex]25[\/tex])!<br \/>\nPortanto, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel escrever os n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]16[\/tex] sobre uma circunfer\u00eancia, de modo que a soma de quaisquer dois n\u00fameros vizinhos seja um quadrado perfeito. <\/p><\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo <strong>Clube Eureka!<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos  <strong>Moderadores do Blog<\/strong>. <\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 1px solid #616161; padding: 8px;font-size:15px;\">\n<p style=\"text-align: justify; font-family: verdana; color: #616161;\"> Participaram da discuss\u00e3o do problema os seguintes Clubes:<br \/>\n<strong>As Inc\u00f3gnitas da Matem\u00e1tica;<span style=\" color: #8B8682;\"> Cabe\u00e7a de Pir\u00e2mide;<\/span> Clube Filhos de Gauss;<span style=\" color: #8B8682;\"> Eureka!; <\/span> Matem\u00e1tica na \u00e1rea; <span style=\" color: #8B8682;\">Math Error; <\/span >Obmep estudos; <span style=\" color: #8B8682;\">Os Geom\u00e9tricos; <\/span>Vim te calculei.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Mostre que os n\u00fameros naturais de 1 a 16 n\u00e3o podem ser escritos sobre uma circunfer\u00eancia, de modo que a soma de quaisquer dois n\u00fameros vizinhos seja um quadrado perfeito. Adaptado do Banco de Quest\u00f5es da OBMEP 2011. &nbsp; &nbsp; Texto de apoio &nbsp; Voc\u00ea &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/numeros-na-roda\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-5092","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5092","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5092"}],"version-history":[{"count":24,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5092\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":182771,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5092\/revisions\/182771"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5092"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}