\n
Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n assim, podemos escrever: Como queremos o menor valor poss\u00edvel para [tex]A+B[\/tex], calculemos essa soma, utilizando [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]: Portanto, [tex] \\, A+B[\/tex] ser\u00e1 m\u00ednimo quando [tex]B[\/tex] e [tex]Q[\/tex] forem m\u00ednimos, o que ocorre para [tex] \\, B=5 \\, \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, Q=1 \\, \\, [\/tex] (veja [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] e lembre que [tex] \\, Q \\, [\/tex] \u00e9 inteiro positivo). Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Sejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] inteiros positivos. A divis\u00e3o de [tex]A[\/tex] por [tex]B[\/tex] resulta no quociente [tex]Q[\/tex] e no resto [tex]R[\/tex], [tex]A[\/tex], sendo [tex]Q[\/tex] e [tex]R[\/tex] inteiros n\u00e3o negativos. Mas, se aumentarmos o dividendo [tex]A[\/tex] de [tex]9[\/tex] unidades, mantendo o mesmo divisor [tex]B[\/tex], a divis\u00e3o d\u00e1 … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nSejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] inteiros positivos.
\nA divis\u00e3o de [tex]A[\/tex] por [tex]B[\/tex] resulta no quociente [tex]Q[\/tex] e no resto [tex]R[\/tex], [tex]A[\/tex], sendo [tex]Q[\/tex] e [tex]R[\/tex] inteiros n\u00e3o negativos. Mas, se aumentarmos o dividendo [tex]A[\/tex] de [tex]9[\/tex] unidades, mantendo o mesmo divisor [tex]B[\/tex], a divis\u00e3o d\u00e1 exata e o quociente aumenta de duas unidades.
\nEnt\u00e3o, qual \u00e9 o menor valor da soma [tex]A+B[\/tex] ?<\/p>\n
\nOs dados do problema nos garantem que: <\/p>\n\n
\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\nA \\, \\, \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, B \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\nR
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\quad Q
\n\\end{array}[\/tex]\n <\/td>\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\nA+9 \\, \\, \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, B\\qquad \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n\\quad 0
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\qquad Q+2
\n\\end{array}[\/tex]\n <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad A=Q \\cdot B+R\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad A+9=(Q+2) \\cdot B\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex].
\nSubstituindo o valor de [tex]A[\/tex] obtido em [tex](i)[\/tex] em [tex](ii)[\/tex], obtemos que:
\n[tex]\\qquad 9=2B-R [\/tex]
\nou, ainda,
\n[tex]\\qquad R=2B-9\t \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}.[\/tex]
\nAl\u00e9m disso, [tex]R[\/tex] \u00e9 resto da primeira divis\u00e3o e, tamb\u00e9m, um n\u00famero positivo, logo devemos ter [tex] \\, 0\\lt R\\lt B \\, [\/tex]. Assim, por [tex] \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], [tex] \\, 0\\lt 2B-9\\lt B \\, [\/tex], donde <\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad A+B=((Q+2) \\cdot B-9)+B= B\\cdot (Q+2)-9+B=BQ+3B-9[\/tex]
\ne, assim <\/p>\n\n
\nLogo [tex]A+B[\/tex] \u00e9 no m\u00ednimo [tex]5\\cdot (1+3)-9=11[\/tex].<\/p>\n
\n