\n
Problema (b)<\/strong> Sendo [tex]n[\/tex] um inteiro maior do que [tex]1[\/tex], mostre que [tex]n^4 + 4^n[\/tex] nunca \u00e9 primo.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n (b)<\/strong> Vamos dividir a demonstra\u00e7\u00e3o em dois casos.<\/p>\n [tex]\\qquad n^4 + 4^n = (2k)^4 + 4^{2k} = 16k^4 + 2^{4k} = 2 \\cdot (8k^4 + 2^{4k-1})[\/tex] [tex]\\qquad n^4 + 4^n = (2k + 1)^4 + 4^{2k + 1} = (2k + 1)^4 + 4\\cdot 4^{2k} = (2k + 1)^4 + 4\\cdot (2^k)^4[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (a) (Identidade de Sophie Germain) Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros reais. Mostre que [tex]\\qquad\\qquad a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) \\cdot (a^2 + 2b^2 – 2ab)[\/tex]. (b) Sendo [tex]n[\/tex] um inteiro maior do que [tex]1[\/tex], mostre que [tex]n^4 + 4^n[\/tex] nunca \u00e9 … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n(a)<\/strong> (Identidade de Sophie Germain<\/strong>) Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros reais. Mostre que
\n[tex]\\qquad\\qquad a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) \\cdot (a^2 + 2b^2 – 2ab)[\/tex].<\/p>\n
\n(a)<\/strong> Note que:
\n[tex]\\quad a^4 + 4b^4 =(a^2)^2 + (2b^2)^2\\\\
\n\\qquad \\qquad = (a^2)^2 + (2b^2)^2 + 4a^2b^2 – 4a^2b^2 \\\\
\n\\qquad \\qquad = (a^2 + 2b^2)^2 – (2ab)^2 \\\\
\n\\qquad \\qquad = (a^2 + 2b^2 + 2ab) \\cdot (a^2 + 2b^2 – 2ab)[\/tex]<\/p>\n\n
\nlogo [tex]n^4 + 4^n[\/tex] n\u00e3o \u00e9 primo, j\u00e1 que [tex]8k^4 + 2^{4k-1}\\gt 1[\/tex].<\/p>\n\n
\nTomando [tex]a = 2k + 1[\/tex] e [tex]b = 2^k[\/tex], pela identidade de Sophie Germain, podemos fatorar a \u00faltima express\u00e3o obtendo
\n[tex]\\qquad n^4 + 4^n = (a^2 + 2b^2 + 2ab) \\cdot (a^2 + 2b^2 – 2ab)[\/tex].
\nResta mostrar que esses fatores n\u00e3o s\u00e3o [tex]1[\/tex] e o pr\u00f3prio [tex]n^4 + 4^n[\/tex]. Faremos isso mostrando que os dois fatores s\u00e3o maiores que [tex]1[\/tex].
\n\tComo [tex]k[\/tex] \u00e9 inteiro positivo, temos [tex]k \\geq 1[\/tex] e, assim,
\n[tex]\\qquad b^2 = (2^k)^2 = 2^{2k} \\geq 2^2 = 4[\/tex];
\nlogo,
\n[tex]\\qquad a^2 + 2b^2 – 2ab = (a-b)^2 + b^2 \\geq (a-b)^2 + 4 > 1[\/tex].
\nAl\u00e9m disso, como [tex]a > 0[\/tex] e [tex]b > 0[\/tex], temos
\n[tex]\\qquad a^2 + 2b^2 + 2ab > a^2 + 2b^2 – 2ab > 1[\/tex].
\nPortanto, [tex]n^4 + 4^n[\/tex] n\u00e3o \u00e9 primo. <\/p>\n
\n