Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Contudo, esses casos n\u00e3o t\u00eam as mesmas chances de ocorrerem. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Fermatianos<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Em uma sacola escura h\u00e1 9 bolinhas de gude, de 3 cores diferentes. Escolhidas duas delas ao acaso e sem reposi\u00e7\u00e3o,\u00a0a\u00a0probabilidade de que sejam ambas vermelhas \u00e9 de [tex]\\dfrac{1}{6}[\/tex]. Nesse caso, quantas bolinhas vermelhas h\u00e1 na sacola? Solu\u00e7\u00e3o 1 Usarei como ferramenta o princ\u00edpio multiplicativo … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nEm uma sacola escura h\u00e1 9 bolinhas de gude, de 3 cores diferentes.
\nEscolhidas duas delas ao acaso e sem reposi\u00e7\u00e3o,\u00a0a\u00a0probabilidade de que sejam ambas vermelhas \u00e9 de [tex]\\dfrac{1}{6}[\/tex].
\nNesse caso, quantas bolinhas vermelhas h\u00e1 na sacola?<\/p>\n![\"bolinha_de_gude](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bolinha_de_gude-reduzida-300x225.jpg\")
<\/p>\n
\nUsarei como ferramenta o princ\u00edpio multiplicativo e propor\u00e7\u00e3o.
\nBom, chamarei de [tex]n[\/tex] a quantidade de bolas vermelhas.
\nNecessitamos, antes de mais nada, identificar os poss\u00edveis resultados dos pares de cores. E como de tudo que observamos o que muda \u00e9 somente a cor (pois as bolas s\u00e3o iguais entre si), poder\u00edamos dizer que existem apenas [tex]3^2=9[\/tex] casos:<\/p>\n\n
\nA solu\u00e7\u00e3o consiste em considerar a quantidade total de maneiras de se retirar duas bolas distintas do saquinho, independente da cor. Ou seja, o resultado poss\u00edvel \u00e9 a quantidade de pares de bolinhas distintas, que ser\u00e1 [tex]9 \\times 8 = 72[\/tex]. Agora para calcular o n\u00famero de bolas vermelhas, devemos observar que a primeira bola pode ser escolhida de [tex]n[\/tex] maneiras, enquanto a segunda ser\u00e1 de [tex](n-1)[\/tex] maneiras. Logo temos [tex]n(n-1)[\/tex] maneiras de sair bolas vermelhas.
\nCom isso vamos calcular a propor\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{n(n-1)}{72}[\/tex].
\nMultiplicando ambos membros por [tex]72[\/tex], fica:
\n[tex]\\qquad 12 = n(n-1)[\/tex]
\nou ainda
\n[tex]\\qquad n^2-n-12 =0[\/tex].
\nFatorando, obtemos [tex](n-4)(n+3) =0[\/tex], donde, temos [tex]n \\in \\{4, -3\\}[\/tex]. Por\u00e9m, n\u00e3o nos serve de nada a raiz de resultado negativo; logo, [tex]n=4[\/tex].
\nTestando:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{4 \\times 3}{72} \\\\
\n\\qquad \\dfrac{1}{6}= \\dfrac{12}{72}[\/tex],
\n o que \u00e9 verdade.
\nConclus\u00e3o:<\/strong> Nesse caso existem [tex]4[\/tex] bolinhas vermelhas na sacola escura.<\/p>\n
\n
\nSeja [tex]n[\/tex] a quantidade de bolas vermelhas contidas no interior da sacola.
\nEnt\u00e3o, a probabilidade de que a primeira bola retirada seja vermelha \u00e9 [tex]\\dfrac{n}{9}[\/tex].
\nPara a segunda retirada, a probabilidade de que a bola seja vermelha \u00e9 [tex]\\dfrac{n-1}{8}[\/tex] (j\u00e1 que n\u00e3o houve reposi\u00e7\u00e3o da primeira para a segunda retirada).
\nAssim, como a probabilidade de que sejam ambas vermelhas \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{6}[\/tex], temos que
\n [tex]\\qquad \\dfrac{n}{9} \\cdot \\dfrac{n-1}{8} = \\dfrac{1}{6} \\\\
\n\\qquad n \\cdot (n-1)= 12 \\\\
\n\\qquad n^2-n-12=0.\\\\
\n~~[\/tex]
\nResolvendo a equa\u00e7\u00e3o [tex]n^2-n-12=0[\/tex], obtemos que [tex]n=4[\/tex] ou [tex]n=-3[\/tex]. No entanto, [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, pois representa uma quantidade de objetos; portanto, h\u00e1 [tex] \\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4$}\\,[\/tex] bolinhas vermelhas na sacola.<\/p>\n
\n