{"id":44499,"date":"2015-08-29T09:05:01","date_gmt":"2015-08-29T12:05:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=44499"},"modified":"2024-11-27T21:06:33","modified_gmt":"2024-11-28T00:06:33","slug":"atividade-geometria-em-movimento-sala-1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/atividade-geometria-em-movimento-sala-1\/","title":{"rendered":"Atividade: Geometria em movimento &#8211; Sala 1"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:20px;\">\n<p><marquee style=\"line-height: 40px; font-family: verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 40px; color:#004;\" direction=\"left\" scrolldelay=\"4\" >Geometria em movimento . . . <\/marquee><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/professor-pardal-II.jpg\" style=\"border: 0px;\" alt=\"professor pardal II\" width=\"640\" height=\"295\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44533\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/professor-pardal-II.jpg 640w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/professor-pardal-II-300x138.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><marquee style=\"line-height: 40px; font-family: verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 25px; color:#004;\" direction=\"right\" scrolldelay=\"4\" >M\u00e1quinas e mecanismos <\/marquee><\/p>\n<p style=\"margin:50px;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #004; padding: 20px;\">\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gr1 cb51\">\n<p class=\"ti1 c5\" style=\"line-height:40px;margin:1px\" ><em> T\u00f3picos &#8211; Sala 1<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<table style=\"text-align: Justify; width: 75%; height: 120px; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td style=\" text-align: justify; background-color:#cddbf9;  border: 3px solid #004;\">\n<p style=\"margin-left:30px; line-height: 50px;\">\t<span style=\"font-family: verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 20px; color: #004;\"><a href=\"#O1\"><span style=\"color: #004;\">I &#8211; <span style=\"text-decoration: underline;\">Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema<\/span><\/span><\/a><br \/>\n        <a href=\"#O2\"><span style=\"color: #004;\"> II &#8211; <span style=\"text-decoration: underline;\">Estruturas R\u00edgidas<\/span><\/span><\/a><br \/>\n\t<a href=\"#O3\"><span style=\"color: #004;\">III &#8211; <span style=\"text-decoration: underline;\"> Familiarizando-se com o <em>GeoGebra<\/em><\/span><\/span><\/a><br \/>\n\t<a href=\"#O4\"><span style=\"color: #004;\">IV &#8211; <span style=\"text-decoration: underline;\"> Um primeiro mecanismo <\/span><\/span><\/a><br \/>\n\t<a href=\"#O5\"><span style=\"color: #004;\">V &#8211; <span style=\"text-decoration: underline;\"> A cicloide  <\/span><\/span><\/a><\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><a id=\"O1\"><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:30%;background-color:#004;  margin-top: 40px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:50%;background-color:#004;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:70%;background-color:#004;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:90%;background-color:#004;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:90%;background-color:#004;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:70%;background-color:#004;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:50%;background-color:#004;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:30%;background-color:#004;  margin-top: 8px; margin-bottom: 40px; border: 0 none\"\/>\n<\/a><\/p>\n<div class=\"gr1 cb51\">\n<p class=\"ti1 c5\" style=\"line-height:40px;margin:1px\" ><em> I &#8211; Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>O mundo que nos rodeia est\u00e1 repleto de situa\u00e7\u00f5es em que a geometria se faz presente e em que formas geom\u00e9tricas se apresentam em movimento. Podemos perceber a geometria do movimento em diversas situa\u00e7\u00f5es cotidianas, como no movimento das hastes de ventiladores, em pist\u00f5es, macacos de carro, roldanas, janelas basculantes, escadas rolantes. E modelar &#8220;formas em movimento&#8221;  \u00e9 uma maneira de estudar geometria, pois propicia o desenvolvimento de conceitos e rela\u00e7\u00f5es geom\u00e9tricas nelas presentes.<\/p>\n<p style=\"margin:5px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Portanto, a ideia desta proposta \u00e9 apresentar, de forma breve, a constru\u00e7\u00e3o de alguns &#8220;mecanismos&#8221; desenvolvidos com a ajuda da geometria din\u00e2mica. Com esse objetivo, apresentaremos, ent\u00e3o, exerc\u00edcios explorat\u00f3rios e proporemos a constru\u00e7\u00e3o de duas curvas de consider\u00e1vel relev\u00e2ncia no contexto hist\u00f3rico matem\u00e1tico. Como a geometria din\u00e2mica ser\u00e1 desenvolvida utilizando o <em>GeoGebra<\/em>, apresentaremos alguns dos recursos desse programa, a fim de que o manuseio desses recursos seja mais familiar e, consequentemente, voc\u00eas possam se aventurar, sem perigo, no estudo de um tema que, com certeza, \u00e9 desconhecido por muitos. <\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Recheada com atividades, v\u00eddeos e materiais de apoio, al\u00e9m dos pr\u00f3prios objetos a serem desenvolvidos com o <em>GeoGebra<\/em>, essa din\u00e2mica pretende servir como motiva\u00e7\u00e3o para que os participantes sejam encorajados a desenvolverem seus pr\u00f3prios mecanismos, sejam concretos ou virtuais e, a partir desses, identificar o tanto de matem\u00e1tica que necessitamos para tal.<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Olhem a constru\u00e7\u00e3o abaixo&#8230;<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Quem sabe um dia voc\u00eas n\u00e3o consigam produzir uma articula\u00e7\u00e3o sofisticada como esta, hein?<\/p>\n<p style=\"text-align:center; margin:10px;\">\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/1535933\/width\/1360\/height\/675\/border\/ffffff\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/true\/ld\/false\/sri\/false\/at\/auto\" width=\"800\" height=\"380\" style=\"border: 1px solid #004;\"> <\/iframe><br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/1535933\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=1200, height=675, scrollbars=no, resizable=no, toolbar=no, directories=no, location=no, menubar=no, status=no,left=0,top=0'); return false\"><span style=\"line-height: 40px; font-family: verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;\">Para visualizar melhor, <strong>cliquem aqui.<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align:center;\"><span style=\"font-family: verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 18px; color:#004;\">E a\u00ed, animados? Ent\u00e3o, visitem as pr\u00f3ximas salas e<br \/>\ncoloquem o corpo, a mente e a<br \/>\n<strong>geometria em MOVIMENTO!!!<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<a id=\"O2\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Simple_CV_Joint_animated.gif\" style=\"border:0px;\" alt=\"Simple_CV_Joint_animated\" width=\"160\" height=\"120\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44506\" \/><\/a><\/p>\n<div class=\"gr1 cb51\">\n<p class=\"ti1 c5\" style=\"line-height:40px;margin:1px\"><em> II &#8211; Estruturas R\u00edgidas<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Para come\u00e7ar, antes de partirmos para articula\u00e7\u00f5es propriamente ditas, vamos discutir um pouco sobre estruturas r\u00edgidas.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Voc\u00ea j\u00e1 reparou que, normalmente, nas porteiras de s\u00edtios ou fazenda temos uma estrutura como a apresentada abaixo? Voc\u00ea j\u00e1 pensou por que tem essa barra atravessada?<br \/>\n <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/f1.png\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"f1\" width=\"500\" height=\"200\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44328\" \/><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>\u00c9 simples&#8230; De modo geral, os pol\u00edgonos s\u00e3o figuras deform\u00e1veis, ou seja, uma vez definidos seus lados, \u00e9 poss\u00edvel alterar seus \u00e2ngulos.  Essas estruturas deform\u00e1veis podem ser transformadas em estruturas r\u00edgidas (n\u00e3o deform\u00e1veis), por meio de tri\u00e2ngulos constru\u00eddos a partir de alguns v\u00e9rtices do pol\u00edgono.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Isso ocorre porque o tri\u00e2ngulo \u00e9 a \u00fanica exce\u00e7\u00e3o entre os pol\u00edgonos: uma vez definidos seus lados, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel alterar seus \u00e2ngulos. Dizemos, ent\u00e3o, que o <strong>tri\u00e2ngulo tem uma estrutura r\u00edgida<\/strong> e \u00e9 o \u00fanico pol\u00edgono r\u00edgido (n\u00e3o deform\u00e1vel).<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Engenheiros, desde h\u00e1 muito tempo, sabem que sempre que eles precisarem de uma estrutura leve, forte e r\u00edgida, eles n\u00e3o t\u00eam escolha melhor do que as estruturas triangulares.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>No v\u00eddeo que segue voc\u00ea ver\u00e1 uma anima\u00e7\u00e3o que ilustra melhor a import\u00e2ncia da triangula\u00e7\u00e3o em casos bem cotidianos, simulando, inclusive, as poss\u00edveis consequ\u00eancias em consider\u00e1-la ou n\u00e3o. O v\u00eddeo \u00e9 um tutorial de um jogo (<em>Bridge Constructor Playground<\/em>) no qual o jogador ter\u00e1 que construir pontes sobre rios, canais ou vales. Depois de constru\u00eddas, as pontes s\u00e3o submetidas a testes para ver se suportam o peso dos carros ou caminh\u00f5es que ir\u00e3o utiliz\u00e1-las. Embora o v\u00eddeo seja em ingl\u00eas, voc\u00eas n\u00e3o ter\u00e3o dificuldades para entender as situa\u00e7\u00f5es apresentadas.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  value=\"Assistir ao v\u00eddeo\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo1 bbg5\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Assistir ao v\u00eddeo';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"padding-left:50px;\"><\/span>Sugerimos que, depois de apresentado cada problema, voc\u00eas pausem o v\u00eddeo e tentem resolver o problema proposto.<br \/>\n<span style=\"padding-left:50px;\"><\/span>Resolvido o problema, continuem assistindo ao v\u00eddeo, para saber se a solu\u00e7\u00e3o de voc\u00eas foi satisfat\u00f3ria!<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/3hvcizxh6dQ?rel=0\"  allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr1 cb54\">\n<p class=\"ti2 c5\"style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> ATIVIDADE 1<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin-top:30px; margin-left:30px;\">\n<p><strong>Chegou a hora de voc\u00eas praticarem um pouquinho&#8230;a ideia \u00e9 que com essa atividade voc\u00eas possam:<\/strong><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>1) Construir figuras geom\u00e9tricas bi e tridimensionais;<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>2) Estudar estruturas r\u00edgidas utilizadas em constru\u00e7\u00f5es;<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>3) Desenhar estruturas tridimensionais.<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><strong>Material Necess\u00e1rio:<br \/>\n<\/strong>\t<\/p>\n<ul>\n<li>Tripa-de-mico (encontrada em farm\u00e1cias);<\/li>\n<li>Palito de Churrasco sem ponta;<\/li>\n<li>Tesoura;<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  value=\"Estruturas bidimensionais\" style=\"width: 250px;\"  title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo1 bbg5\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Estruturas bidimensionais';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\" width:80%;\">\n<p class=\"ti2 c5\"style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> Estruturas bidimensionais<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin-top:30px; margin-left:30px;\">\n<p>Com palitos de churrasco e tripa-de-mico pode-se desenvolver v\u00e1rias atividades interessantes envolvendo figuras geom\u00e9tricas. Cortem pequenos peda\u00e7os de tripa-de-mico de aproximadamente 4cm cada e peguem alguns palitos de churrasco. Ent\u00e3o:<br \/>\na) Procurem encontrar pol\u00edgonos r\u00edgidos que poderiam ser utilizados em constru\u00e7\u00f5es.<br \/>\nAbaixo est\u00e3o alguns exemplos de tentativas.<br \/>\n <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/pol\u00edgonos.jpg\" alt=\"pol\u00edgonos\" width=\"320\" height=\"318\" style=\"border:0px;\"  class=\"aligncenter size-full wp-image-44455\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/pol\u00edgonos.jpg 320w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/pol\u00edgonos-150x150.jpg 150w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/pol\u00edgonos-300x298.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 320px) 100vw, 320px\" \/><br \/>\nb) Podemos tornar r\u00edgido um pol\u00edgono acrescentando-lhe diagonais, como no exemplo abaixo.<br \/>\n c)  Procurem relacionar o n\u00famero de diagonais necess\u00e1rias e o n\u00famero de lados de cada pol\u00edgono. Montem uma tabela. Voc\u00eas conseguem deduzir uma f\u00f3rmula que expresse o n\u00famero de diagonais em fun\u00e7\u00e3o do n\u00famero de lados?<br \/>\n <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/diagonais.png\" style=\"border:0px;\"  alt=\"diagonais\" width=\"147\" height=\"129\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44454\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  value=\"Estruturas tridimensionais\" style=\"width: 250px;\"  title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo1 bbg5\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Estruturas tridimensionais';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\" width:80%;\">\n<p class=\"ti2 c5\"style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> Estruturas tridimensionais<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin-top:30px; margin-left:30px;\">\n<p>Preparem antecipadamente algumas tripas-de-mico para formar as jun\u00e7\u00f5es em cruz. Para isso, peguem uma  tripa-de-mico de 4cm e realizem um corte longitudinal com uma tesoura de ponta, apenas o suficiente para que voc\u00eas transpassem outra tripa-de-mico de 4cm por dentro. Vejam a figura abaixo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/cruz.png\" style=\"border:0px;\" alt=\"cruz\" width=\"203\" height=\"179\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44456\" \/><br \/>\n Com a conex\u00e3o feita, procurem fazer os s\u00f3lidos representados abaixo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/tridimensionais.png\"  style=\"border:0px;\" alt=\"tridimensionais\" width=\"320\" height=\"244\" class=\"aligncenter size-large wp-image-44457\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/tridimensionais.png 320w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/tridimensionais-300x229.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 320px) 100vw, 320px\" \/><br \/>\na) Procurem fazer um desenho  das estruturas tridimensionais que voc\u00eas criaram.<br \/>\nb) Para cada estrutura criada, procurem identificar quantos palitos mais seriam necess\u00e1rios e suficientes para tornar a estrutura r\u00edgida.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px;\"><a id=\"O3\"><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/61816-1.gif\" style=\"border:0px;\"  alt=\"61816 (1)\" width=\"200\" height=\"100\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44507\" \/><\/a><\/p>\n<div class=\"gr1 cb51\">\n<p class=\"ti1 c5\" style=\"line-height:40px;margin:1px\" ><em> III &#8211; Familiarizando-se com o GeoGebra<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Agora que j\u00e1 conversamos um pouquinho sobre estruturas r\u00edgidas, propomos alguns exerc\u00edcios explorat\u00f3rios com tri\u00e2ngulos e quadril\u00e1teros diversos, a fim de que possam ser evidenciadas algumas propriedades curiosas utilizando-se do recurso din\u00e2mico. Mais do que isso, a inten\u00e7\u00e3o \u00e9 que voc\u00eas possam se familiarizar com algumas ferramentas b\u00e1sicas do <em>GeoGebra<\/em><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr1 cb54\">\n<p class=\"ti2 c5\"style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> ATIVIDADE 2<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin-top:30px; margin-left:30px;\">\n<p>Escolham tr\u00eas dos exerc\u00edcios abaixo e os resolvam com as devidas justificativas.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align: center;\">\n<input  value=\"Exerc\u00edcio 1\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo3\" style=\" margin-left: auto; margin-right: auto;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exerc\u00edcio 1';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\"width:80%;\">\n<strong>Exerc\u00edcio 1:<\/strong>  Dado o tri\u00e2ngulo ABC e o ponto P fora do tri\u00e2ngulo, construam:<\/p>\n<p style=\"margin-left:30px;\">&#8211; <strong>o ponto P1<\/strong>: sim\u00e9trico de P em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 A;<br \/>\n&#8211; <strong>o ponto P2<\/strong>: sim\u00e9trico de P1 em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 B;<br \/>\n&#8211; <strong>o ponto P3<\/strong>: sim\u00e9trico de P2 em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 C;<br \/>\n&#8211; <strong>o ponto M<\/strong>: ponto m\u00e9dio do segmento PP3.<br \/>\n&#8211; Movimentem o ponto P e observem o que acontece com M. Procurem explicar o observado.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Problema-1.jpg\" alt=\"Problema 1\" width=\"293\" height=\"250\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44511\" \/><br \/>\nVoc\u00eas podem utilizar, como sugest\u00e3o, as seguintes ferramentas:<\/p>\n<ul>\n<li>Pol\u00edgono;<\/li>\n<li>Ponto;<\/li>\n<li>Reflex\u00e3o em Rela\u00e7\u00e3o a um Ponto;<\/li>\n<li>Ponto M\u00e9dio ou Centro.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: center;\"><strong>Se for conveniente, utilizem <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/classic\/QxQN2aTo\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">este <em>applet<\/em><\/span><\/a>. <\/strong><br \/>\nO applet j\u00e1 abrir\u00e1 no GeoGebra.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<div>\n<input  value=\"Exerc\u00edcio 2\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo3\" style=\" margin-left: auto; margin-right: auto;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exerc\u00edcio 2';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\"width:80%;\"><strong>Exerc\u00edcio 2:<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin-left:30px;\">&#8211; Construam um quadril\u00e1tero ABCD e os pontos m\u00e9dios de seus lados.<br \/>\n&#8211; Nomeiem estes pontos de M, N, P e Q e construam o quadril\u00e1tero MNPQ.<br \/>\n&#8211; Movimentem os v\u00e9rtices de ABCD e descubram que tipo de figura pode ser MNPQ. Procurem explicar suas descobertas.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Problema-2.jpg\" alt=\"Problema 2\" width=\"294\" height=\"185\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44521\" \/><br \/>\nVoc\u00eas podem utilizar, como sugest\u00e3o, as seguintes ferramentas:<\/p>\n<ul>\n<li>Pol\u00edgono;<\/li>\n<li>Ponto M\u00e9dio ou Centro.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Para renomear um objeto, cliquem com o bot\u00e3o direito sobre ele.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<div>\n<input  value=\"Exerc\u00edcio 3\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo3\" style=\" margin-left: auto; margin-right: auto;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exerc\u00edcio 3';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\"width:80%;\"><strong>Exerc\u00edcio 3:<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin-left:30px;\">&#8211; Construam um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo ABC, com \u00e2ngulo reto em A, e tomem P um ponto m\u00f3vel sobre a hipotenusa.<br \/>\n&#8211; Construam os pontos I no cateto BA e J no cateto CA, de tal forma que os segmentos PI e PJ sejam perpendiculares aos catetos.<br \/>\n&#8211; Quando o comprimento do segmento IJ atinge seu menor valor? Avaliem para diferentes posi\u00e7\u00f5es de P e procurem justificar o fato.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Problema-3.jpg\" alt=\"Problema 3\" width=\"255\" height=\"129\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44522\" \/><br \/>\nVoc\u00eas podem utilizar, como sugest\u00e3o, as seguintes ferramentas:<\/p>\n<ul>\n<li>Segmento;<\/li>\n<li>Reta Perpendicular;<\/li>\n<li>Ponto.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<div>\n<input  value=\"Exerc\u00edcio 4\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo3\" style=\" margin-left: auto; margin-right: auto;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exerc\u00edcio 4';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\"width:80%;\"><strong>Exerc\u00edcio 4:<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin-left:30px;\">&#8211; Construam um c\u00edrculo e um ret\u00e2ngulo ABCD inscrito neste c\u00edrculo.<br \/>\n&#8211; Movimentem os v\u00e9rtices do ret\u00e2ngulo e descubram quando o ret\u00e2ngulo tem a maior \u00e1rea. Procurem explicar o observado.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Problema-4.jpg\" alt=\"Problema 4\" width=\"204\" height=\"186\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44523\" \/><br \/>\nVoc\u00eas podem utilizar, como sugest\u00e3o, as seguintes ferramentas:<\/p>\n<ul>\n<li>C\u00edrculo (qualquer op\u00e7\u00e3o);<\/li>\n<li>Segmento;<\/li>\n<li>Reta Perpendicular;<\/li>\n<li>Ponto.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<div>\n<input  value=\"Exerc\u00edcio 5\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo3\" style=\" margin-left: auto; margin-right: auto;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exerc\u00edcio 5';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\"width:80%;\"><strong>Exerc\u00edcio 5:<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin-left:30px;\">\n&#8211; Construam um c\u00edrculo e um quadril\u00e1tero qualquer ABCD inscrito neste c\u00edrculo.<br \/>\n&#8211; Movimentem seus v\u00e9rtices e descubram a rela\u00e7\u00e3o que existe entre os \u00e2ngulos opostos desse quadril\u00e1tero.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Problema-5.jpg\" alt=\"Problema 5\" width=\"184\" height=\"192\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44524\" \/><br \/>\nVoc\u00eas podem utilizar, como sugest\u00e3o, as seguintes ferramentas:<\/p>\n<ul>\n<li>C\u00edrculo (qualquer op\u00e7\u00e3o);<\/li>\n<li>Ponto;<\/li>\n<li>Pol\u00edgono;<\/li>\n<li>\u00c2ngulo.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<div>\n<input  value=\"Exerc\u00edcio 6\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo3\" style=\" margin-left: auto; margin-right: auto;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exerc\u00edcio 6';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\"width:80%;\"><strong>Exerc\u00edcio 6:<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin-left:30px;\">\n&#8211; Construam um paralelogramo e as retas bissetrizes dos seus \u00e2ngulos.<br \/>\n&#8211; Construam os pontos de intersec\u00e7\u00e3o das bissetrizes e, a partir destes, um quadril\u00e1tero.<br \/>\n&#8211; Movimentem os v\u00e9rtices do paralelogramo e observem as regularidades da figura. Enunciem e demonstrem a propriedade identificada.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Problema-6.jpg\" alt=\"Problema 6\" width=\"289\" height=\"157\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44525\" \/><br \/>\nVoc\u00eas podem utilizar, como sugest\u00e3o, as seguintes ferramentas:<\/p>\n<ul>\n<li>Segmento;<\/li>\n<li>Reta Paralela;<\/li>\n<li>Bissetriz.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Para editar um objeto (mudar cor ou estilo), cliquem com o bot\u00e3o direito sobre ele e depois, em Propriedades.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:15px;\">\n<div>\n<input  value=\"Exerc\u00edcio 7\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo3\" style=\" margin-left: auto; margin-right: auto;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exerc\u00edcio 7';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\"width:80%;\"><strong>Exerc\u00edcio 7:<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin-left:30px;\">\n&#8211; Construam um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero ABC e P um ponto em seu interior.<br \/>\n&#8211; Quanto vale a soma das dist\u00e2ncias de P aos lados do tri\u00e2ngulo. Justifiquem a resposta.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Problema-7.jpg\" alt=\"Problema 7\" width=\"218\" height=\"195\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44528\" \/><br \/>\nVoc\u00eas podem utilizar, como sugest\u00e3o, as seguintes ferramentas:<\/p>\n<ul>\n<li>Pol\u00edgono Regular;<\/li>\n<li>Ponto;<\/li>\n<li>Reta Perpendicular.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\"><a id=\"O4\"><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/mecanismos.gif\" style=\"border:0px;\"  alt=\"mecanismos\" width=\"160\" height=\"120\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44568\" \/><\/p>\n<p><\/a><\/p>\n<div class=\"gr1 cb51\">\n<p class=\"ti1 c5\" style=\"line-height:40px;margin:1px\" ><em> IV &#8211; Um primeiro mecanismo <\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Podemos utilizar o <em>software <\/em><strong><em>GeoGebra <\/em><\/strong> para confeccionar mecanismos que est\u00e3o no nosso dia a dia e obtermos instrumentos virtuais bem pr\u00f3ximos do instrumento real que serviu como modelo.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Assim, que tal voc\u00eas aproveitarem as ferramentas do <em>GeoGebra <\/em> exploradas no t\u00f3pico anterior para constru\u00edrem um primeiro mecanismo?<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Parece legal, n\u00e3o \u00e9?<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Ent\u00e3o libertem o <em>Arquimedes <\/em>e o <em>Leonardo da Vinci <\/em> que est\u00e3o dentro de cada um de voc\u00eas e fa\u00e7am formas geom\u00e9tricas se movimentarem&#8230;<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span style=\"font-family: verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 18px; color:#004;\"><strong>Bom trabalho, pessoal!<\/strong><\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr1 cb54\">\n<p class=\"ti2 c5\"style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> ATIVIDADE 3 <\/em> <\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<strong>1) Assistam ao v\u00eddeo a seguir.<\/strong> <\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Z9AFG3xJxwk?rel=0\"  allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<strong>2) Em seguida, procurem realizar a constru\u00e7\u00e3o proposta, utilizando o <em>GeoGebra<\/em>.<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Para ajudar, apresentamos o mecanismo resultante da atividade, em v\u00eddeo, para voc\u00eas. Mas a ideia \u00e9 o desenvolvimento passo a passo do mecanismo das 4 barras.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  value=\"Assistir ao v\u00eddeo\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo1 bbg5\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Assistir ao v\u00eddeo';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/B-TgYlzq8nU?rel=0\"  allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\"><a id=\"O5\"><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/maquina.gif\"    alt=\"maquina\" width=\"150\" height=\"190\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44531\" \/><br \/>\n<\/a><\/p>\n<div class=\"gr1 cb51\">\n<p class=\"ti1 c5\" style=\"line-height:40px;margin:1px\" ><em> V &#8211; A cicloide<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Iniciamos este t\u00f3pico com duas perguntas.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Qual \u00e9 a trajet\u00f3ria que uma part\u00edcula deve seguir em um plano vertical, para ir de um ponto mais alto at\u00e9 um ponto mais baixo desse plano, no menor espa\u00e7o de tempo? De uma outra forma, qual a trajet\u00f3ria de descida mais r\u00e1pida?<\/strong> <\/li>\n<li><strong>\u00c9 poss\u00edvel encontrar uma trajet\u00f3ria de modo que uma part\u00edcula atinja um ponto dado em um espa\u00e7o de tempo que n\u00e3o dependa do ponto de onde ela saiu? De outra forma, \u00e9 poss\u00edvel encontramos uma trajet\u00f3ria segundo a qual duas bolinhas soltas, simultaneamente, de alturas diferentes acabam por chegar  ao mesmo tempo no ponto mais baixo dessa trajet\u00f3ria?<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin-left:40px;\">&#8211; Uma resposta intuitiva para a primeira pergunta seria uma trajet\u00f3ria retil\u00ednea, j\u00e1 que a menor dist\u00e2ncia entre dois pontos \u00e9 o segmento de reta por eles definido.<br \/>\n&#8211; Para a segunda, a resposta intuitiva seria n\u00e3o, uma vez que a bolinha solta da menor altura atingiria o ponto mais baixo de uma trajet\u00f3ria primeiro.<\/p>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>As duas perguntas apresentadas s\u00e3o maneiras simples de tentarmos descrever dois famosos problemas matem\u00e1ticos:<\/p>\n<ul>\n<li>o problema da Braquist\u00f3crona;<\/li>\n<li>o problema da Taut\u00f3crona.<\/li>\n<\/ul>\n<p>e, contrariando a nossa intui\u00e7\u00e3o, veremos que o segundo problema tem solu\u00e7\u00e3o e a trajet\u00f3ria retil\u00ednea n\u00e3o \u00e9 a resposta do primeiro. Mais do que isso, veremos que a <em>curva do <strong>menor <\/strong>tempo<\/em> e a curva <em>do <strong>mesmo <\/strong>tempo<\/em> s\u00e3o, na verdade, a mesma!<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"gr1 cb54\">\n<p class=\"ti2 c5\"style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> A cicloide e um pouco de sua hist\u00f3ria<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p>A cicloide \u00e9 a curva descrita por um ponto de uma circunfer\u00eancia que roda sem deslizar ao longo de uma reta  e tem propriedades bastante interessantes. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/cicloide.gif\" style=\"border:0px;\" alt=\"cicloide\" width=\"500\" height=\"200\" class=\"aligncenter size-large wp-image-44539\" \/><br \/>\nUma dessas propriedades \u00e9 a resposta da primeira pergunta formulada neste t\u00f3pico:<br \/>\n<span style=\"padding-left:150px;\"><\/span> <strong><em>\u00e9 a cicloide invertida a curva que une dois pontos distintos no menor tempo<\/em><\/strong>.  <\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  value=\"Detalhes da propriedade\" style=\"width: 250px;\"  title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo1 bbg5\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Detalhes da propriedade';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\" width:80%; text-align: justify;\">\n Isso mesmo, pode parecer contradit\u00f3rio que n\u00e3o seja um segmento de reta &#8211; j\u00e1 que este \u00e9 o caminho mais curto entre dois pontos &#8211; mas essa propriedade da cicloide \u00e9 conhecida desde o final do s\u00e9culo XVII, j\u00e1 que a cicloide \u00e9 a resposta do problema da Braquist\u00f3crona, formulado pelo matem\u00e1tico <em>Johann Bernoulli <\/em> (1667-1748), em 1696:<\/p>\n<p class=\"gr2 cb54 bb53\" style=\" width:80%; border: 1px dotted #004;\">Fixados dois pontos quaisquer em plano vertical, com alturas diferentes e que n\u00e3o definem uma reta vertical, determinar a curva pela qual uma  part\u00edcula em movimento, partindo do ponto mais alto e descendo apenas devido ao seu pr\u00f3prio peso, alcan\u00e7ar\u00e1 o ponto inferior no menor tempo poss\u00edvel.<\/p>\n<p>Cinco matem\u00e1ticos responderam corretamente ao problema: o pr\u00f3prio <em>Johann Bernoulli<\/em>, seu irm\u00e3o <em>Jacob Bernoulli<\/em> (1667 &#8211; 1748), o marqu\u00eas de <em>l\u2019H\u00f4pital<\/em>  (1661 &#8211; 1704), <em>Gottfried Leibniz<\/em> (1646-1716) e <em>Isaac Newton<\/em> (1642-1727).<br \/>\n\u00c9 devido a essa propriedade que a cicloide tamb\u00e9m \u00e9 conhecida <em>carinhosamente <\/em>por <strong>braquist\u00f3crona<\/strong> (Em grego, <em>braquis<\/em> significa r\u00e1pido e <em>cronos<\/em>, tempo). <\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/cicloide-Braq.gif\" style=\"border: 1px solid#004;\"  alt=\"cicloide-Braq\" width=\"433\" height=\"187\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44543\" \/>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>A segunda propriedade caracter\u00edstica da cicloide \u00e9 a resposta da segunda pergunta que formulamos neste t\u00f3pico:<br \/>\n<strong><em> a cicloide invertida \u00e9 a curva para a qual o tempo gasto por um objeto que por ela desliza, sem atrito, at\u00e9 seu ponto mais baixo independe do ponto de partida.<\/em><\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  value=\"Detalhes da propriedade\" style=\"width: 250px;\"  title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo1 bbg5\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Detalhes da propriedade';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\" width:80%; text-align: justify;\">\n Isso mesmo, pode parecer imposs\u00edvel, mas se duas bolinhas forem soltas de posi\u00e7\u00f5es distintas em uma rampa moldada por uma cicloide (como ilustra o experimento que segue), elas acabar\u00e3o por chegar ao mesmo tempo no ponto mais baixo da rampa.<br \/>\nEssa propriedade foi descoberta pelo f\u00edsico holand\u00eas <em>Christian Huygens<\/em> (1629-1695), em 1673, por m\u00e9todos geom\u00e9tricos, e o problema ficou, ent\u00e3o, conhecido como <strong> Problema da Taut\u00f3crona:<\/strong> <\/p>\n<p class=\"gr2 cb54 bb53\" style=\" width:70%; border: 1px dotted #004; text-align: justify;\">Qual a curva descrita por uma part\u00edcula deslizando livremente sob a a\u00e7\u00e3o apenas da gravidade, atingindo o ponto de m\u00ednimo (o fundo da curva) no mesmo instante independente do ponto de partida na curva?<\/p>\n<p> Esse problema apareceu na constru\u00e7\u00e3o de um rel\u00f3gio com p\u00eandulo, cujo per\u00edodo era independente da amplitude de seu movimento. Posteriormente o problema foi resolvido por <em>Gottfried Leibniz<\/em> (1646-1716) e <em>Jacob Bernoulli<\/em> (1667 &#8211; 1748) usando-se argumentos anal\u00edticos. A solu\u00e7\u00e3o de <em>Bernoulli <\/em>(em 1690) foi uma das primeiras ocasi\u00f5es em que se resolveu explicitamente uma equa\u00e7\u00e3o diferencial.<\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/cicloide-Taut.gif\" style=\"border: 1px solid#004;\"  alt=\"cicloide-Taut\" width=\"424\" height=\"223\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44544\" \/><\/p>\n<p>Por essa propriedade, a cicloide tamb\u00e9m \u00e9 conhecida  como <strong>taut\u00f3crona<\/strong> (Em grego, <em>tautos <\/em> significa mesmo e <em>cronos<\/em>, tempo.)<br \/>\nVejam, agora, um experimento envolvendo essa segunda propriedade da cicloide.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vmqJDwYMRyw?rel=0\"  allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Aqui est\u00e3o dois v\u00eddeos para ajud\u00e1-los no entendimento das duas propriedades da cicloide que apresentamos.<\/span><br \/>\nCliquem na figura correspondente ao v\u00eddeo que voc\u00eas querem assistir: na janela que ir\u00e1 abrir, \u00e9 s\u00f3 clicar na setinha e, depois de assistir ao v\u00eddeo escolhido, \u00e9 s\u00f3 fechar a janela que se abriu.<\/span><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<table style=\"border: 2px solid #004; width:80%; height:200px; text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr style=\"vertical-align: middle\">\n<td  style=\"text-align:center;\">\n         <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/p62IVE7GTYM?rel=0&amp;showinfo=0\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=720, height=480, scrollbars=no, resizable=no, toolbar=no, directories=no, location=no, menubar=no, status=no,left=0,top=0'); return false\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/video3.png\" alt=\"video3\" width=\"300\" height=\"180\" style=\"border: 0px;\"  class=\"aligncenter size-full wp-image-44550\" \/><\/td>\n<td  style=\"text-align:center;\">\n         <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/d_wdURNOSO4?rel=0&amp;showinfo=0\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=720, height=447, scrollbars=no, resizable=no, toolbar=no, directories=no, location=no, menubar=no, status=no,left=0,top=0'); return false\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/video4.png\" alt=\"video4\" width=\"280\" height=\"180\" style=\"border: 0px;\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44551\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>A discuss\u00e3o matem\u00e1tica das solu\u00e7\u00f5es dos dois problemas apresentados fogem do objetivo desta Sala de Atividades, mas \u00e9 importante ressaltar que esses problemas obrigaram os ge\u00f4metras que com eles lidaram a raciocinar de maneira diferente, fazendo, ent\u00e3o, surgir um novo ramo da matem\u00e1tica: o C\u00e1lculo Variacional.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Agora, que tal voc\u00eas se divertirem construindo e conhecendo melhor essa curva que, n\u00e3o s\u00f3 por suas belas propriedades mas tamb\u00e9m pelas v\u00e1rias disputas que gerou, ficou conhecida como a <em>Helena da geometria<\/em>?<\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div style=\"text-align: center; margin:30px\">\n<input class=\"bo1 bbg5\" type=\"button\"  style=\"width: 250px;\" value=\"Construindo uma cicloide\" onclick=\"window.open('http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=44402','_blank');\"  title=\"Clique aqui\"\/><\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"color: #004; font-size: 24px;\"><strong>Bom divertimento!<\/strong><\/span> <\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gr1 cb54\">\n<p class=\"ti2 c5\"style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> ATIVIDADE 4<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#004; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px\">Agora que voc\u00eas j\u00e1 constru\u00edram e se identificaram um pouco mais com a cicloide, prestem aten\u00e7\u00e3o na <strong><em>charada matem\u00e1tica<\/em><\/strong> a seguir e vejam se voc\u00eas s\u00e3o capazes de desvend\u00e1-la&#8230;<br \/>\nSe quiserem, podem tentar obter ajuda com o <em>GeoGebra <\/em>para melhor visualiza\u00e7\u00e3o. Fa\u00e7am um experimento concreto para convencerem-se se suas hip\u00f3teses est\u00e3o corretas ou n\u00e3o. Procurem registrar o experimento em v\u00eddeo e apresentem junto com a solu\u00e7\u00e3o. Juntem alguns peda\u00e7os de EVA, cola, durex, tesoura, caneta, transferidor&#8230;enfim, coloquem a criatividade em pr\u00e1tica e m\u00e3os \u00e0 obra&#8230;<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><input  value=\"Charada\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" class=\"bo1 bbg5\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Charada';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr1 cb53\" style=\"width: 80%\">\nObservem a pr\u00f3xima figura, em que est\u00e3o representadas duas rodas, A e B, de tamanhos diferentes e firmemente unidas entre si.<br \/>\n <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/rodas1.png\"  style=\"border: 1px solid #004;\" alt=\"rodas1\" width=\"324\" height=\"203\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44463\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/rodas1.png 324w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/rodas1-300x188.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 324px) 100vw, 324px\" \/><br \/>\nElas rolam ao mesmo tempo sobre dois trilhos, C e D, colocados em n\u00edveis diferentes. As rodas partem da posi\u00e7\u00e3o 1 e rolam at\u00e9 a posi\u00e7\u00e3o 2, conforme a ilustra\u00e7\u00e3o que segue abaixo, percorrendo uma dist\u00e2ncia igual ao comprimento da roda maior.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/rodas2.png\"  style=\"border: 1px solid #004;\" alt=\"rodas2\" width=\"474\" height=\"174\" class=\"aligncenter size-large wp-image-44462\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/rodas2.png 474w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/rodas2-300x110.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 474px) 100vw, 474px\" \/><br \/>\nAfinal, qual \u00e9 o mist\u00e9rio das rodas? Como explicar que as medidas das circunfer\u00eancias s\u00e3o iguais se as rodas s\u00e3o de tamanhos diferentes?\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">Se voc\u00eas, ainda, n\u00e3o conseguiram resposta para a charada fiquem atentos e acompanhem no <em>applet <\/em>abaixo disponibilizado a constru\u00e7\u00e3o sugerida. Quem sabe voc\u00eas n\u00e3o conseguem desvendar esse mist\u00e9rio\u2026<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/1536905\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=1200, height=675, scrollbars=no, resizable=no, toolbar=no, directories=no, location=no, menubar=no, status=no,left=0,top=0'); return false\"><span style=\"line-height: 40px; font-family: verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; color: #004; \">Para melhor proveito, o applet abrir\u00e1 em outra janela, \u00e9 s\u00f3 clicar <strong>AQUI.<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<p class=\"gr2 cb54 bb52\" style=\" width:60%; border: 1px dotted #004;text-align: justify;\">Ser\u00e1 que essa constru\u00e7\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel em uma situa\u00e7\u00e3o concreta?<br \/>\nEm caso negativo, procure explicar com suas palavras, a partir de um experimento feito, o que o rolamento do c\u00edrculo menor implicaria no maior (e vice-versa)?<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Para encerrarmos este t\u00f3pico dedicado \u00e0 cicloide, vamos disponibilizar mais dois v\u00eddeos que podem ajud\u00e1-los de forma divertida com as discuss\u00f5es e atividades aqui apresentadas. Para assistir a um dos v\u00eddeos, basta clicar na figura correspondente e, na janela que ir\u00e1 abrir, \u00e9 s\u00f3 clicar na setinha. N\u00e3o se esque\u00e7am de fechar a janelinha do v\u00eddeo, depois de assisti-lo.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<table style=\"border: 2px solid #004; width:80%; height:200px; text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr style=\"vertical-align: middle\">\n<td  style=\"text-align:center;\">\n         <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/qFARoCab_Ow?rel=0&amp;showinfo=0\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=864, height=550, scrollbars=no, resizable=no, toolbar=no, directories=no, location=no, menubar=no, status=no,left=0,top=0'); return false\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/video5.png\"  style=\"border: 0px;\"  alt=\"video5\" width=\"300\" height=\"180\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44559\" \/><\/td>\n<td  style=\"text-align:center;\">\n         <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/DFqePcIDwxY?rel=0&amp;showinfo=0\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=864, height=550, scrollbars=no, resizable=no, toolbar=no, directories=no, location=no, menubar=no, status=no,left=0,top=0'); return false\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/video6.png\" alt=\"video6\" width=\"300\" height=\"180\" style=\"border: 0px;\" class=\"aligncenter size-full wp-image-44560\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"vertical-align: middle\">\n<td  style=\"text-align:center;\">\n<span style=\"color: #004;\">Isto \u00e9 Matem\u00e1tica:<br \/>\nHalf Pipe<\/span>\n<\/td>\n<td  style=\"text-align:center;\">\n<span style=\"color: #004;\">Isto \u00e9 Matem\u00e1tica:<br \/>\nA Parte da Roda Que Anda Para Tr\u00e1s <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div style=\" float:right;  width: 500px;\">\n<table style=\"border:0px;  width:95%; height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"114\" \/><\/td>\n<td  style=\"border: 1px solid  #ffffff\">\n<p style=\"text-align: justify; padding: 15px; border-style: dotted;border-color :#004; border-width :thin; width:300px;background-color: #cddbf9;\"><span style=\"color: #004; font-family: calibri, sans-serif;  font-size: 14px;\"> Conhe\u00e7am a continua\u00e7\u00e3o desta Sala:<br \/>\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=45861\"><span style=\"color: #6495ED;\"><strong>Sala 2<\/strong><\/span><\/a>;<br \/>\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=46211\"><span style=\"color: #6495ED;\"><strong>Sala 2&#8242;<\/strong><\/span><\/a>, para quem utiliza Internet lenta.<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"clear: both;\">\n<hr style=\"height:2px;background-color:#004;  margin-top: 20px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#004;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #004; font-size: 18px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"font-size: 16px;line-height: 30px;text-align: right; color: #004;\">Janeiro de 2016.<\/p>\n<div class=\"ref\" style=\"width:90%\">\nFiguras, v\u00eddeos e material eventual extra\u00eddos de:<br \/>\n<a href=\"http:\/\/scienceblogs.com.br\/100nexos\/2010\/08\/gifs_animados_de_mecanismos\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; 100nexos<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; GeoGebra<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.gifmania.com\/Gif-Animados-Objetos\/Imagenes-Herramientas\/Engranajes\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; Gif-Animados<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<a href=\"https:\/\/matesmates.wordpress.com\/2013\/05\/21\/el-cicloide-y-el-pendulo-de-huygens\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; La cicloide y el p\u00e9ndulo de Huygens<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<a href=\"http:\/\/ciencianet.com\/helena.html\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; La Helena de la geometr\u00eda<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<span style=\"color: #33f;\">&#10152;<\/span> Licen\u00e7as sob Dom\u00ednio p\u00fablico via <a href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">Wikimedia Commons<\/span><\/a><br \/>\n<a href=\"http:\/\/cargocollective.com\/matthewdivito\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; Matthew DiVito &#8211; motion\/\/graphic\/\/design <\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.palpitedigital.com.br\/wp\/2010\/08\/22\/mecanismos-complicados-explicados-em-animacoes-simples\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; Palpite digital<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<a href=\"http:\/\/fagneraguiar.blogspot.com.br\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; Prof. Fagner Aguiar<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<a href=\"http:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Mona_Lisa\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; Wikip\u00e9dia<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #33f;\">&#10152; YouTube<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 15\/08\/18)\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Geometria em movimento . . . M\u00e1quinas e mecanismos T\u00f3picos &#8211; Sala 1 I &#8211; Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema II &#8211; Estruturas R\u00edgidas III &#8211; Familiarizando-se com o GeoGebra IV &#8211; Um primeiro mecanismo V &#8211; A cicloide I &#8211; Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema O mundo que nos rodeia est\u00e1 repleto de situa\u00e7\u00f5es em que a geometria &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/atividade-geometria-em-movimento-sala-1\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":165,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-44499","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/44499","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/165"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=44499"}],"version-history":[{"count":89,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/44499\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":223590,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/44499\/revisions\/223590"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=44499"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}