{"id":43188,"date":"2015-07-31T12:21:04","date_gmt":"2015-07-31T15:21:04","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=43188"},"modified":"2023-03-22T23:30:09","modified_gmt":"2023-03-23T02:30:09","slug":"problema-de-gincana-um-triangulo-um-semicirculo-e-uma-distancia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-um-triangulo-um-semicirculo-e-uma-distancia\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana:  Um tri\u00e2ngulo, um semic\u00edrculo e uma dist\u00e2ncia"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nO lado <span class=\"lati\">AB<\/span> do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero <span class=\"lati\">ABC<\/span> \u00e9 um di\u00e2metro de uma circunfer\u00eancia de raio [tex]\\frac{1}{2}[\/tex].<br \/>\nOs pontos <span class=\"lati\">D<\/span> e <span class=\"lati\">E<\/span> s\u00e3o as interse\u00e7\u00f5es da circunfer\u00eancia com os lados <span class=\"lati\">BC<\/span> e <span class=\"lati\">AC<\/span> respectivamente. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4.png\" style=\"border:0px;\" alt=\"GINCANA4\" width=\"414\" height=\"352\" class=\"aligncenter size-full wp-image-43193\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4.png 414w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4-300x255.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 414px) 100vw, 414px\" \/><\/p>\n<p><strong>Neste caso, determine a dist\u00e2ncia de <span class=\"lati\">A<\/span> at\u00e9 <span class=\"lati\">D<\/span><\/strong>.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve que o tri\u00e2ngulo  <span class=\"lati\">ABD<\/span> est\u00e1 inscrito em um semic\u00edrculo, logo \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo e, consequentemente, tem um \u00e2ngulo reto. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4_1.png\" style=\"border:0px;\"  alt=\"GINCANA4_1\" width=\"394\" height=\"349\" class=\"aligncenter size-full wp-image-43194\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4_1.png 394w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4_1-300x266.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 394px) 100vw, 394px\" \/><\/p>\n<p>Observe, tamb\u00e9m, que:<\/p>\n<ul>\n<li>O \u00e2ngulo cujo v\u00e9rtice \u00e9 <span class=\"lati\">B<\/span> n\u00e3o \u00e9 o \u00e2ngulo reto do tri\u00e2ngulo <span class=\"lati\">ABD<\/span>, j\u00e1 que este \u00e2ngulo \u00e9 tamb\u00e9m \u00e2ngulo interno do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero <span class=\"lati\">ABC<\/span>, medindo, portanto, <span class=\"lat\">60&deg;<\/span>.<\/li>\n<li>O \u00e2ngulo cujo v\u00e9rtice \u00e9 <span class=\"lati\">A<\/span> tamb\u00e9m n\u00e3o \u00e9 o \u00e2ngulo reto do tri\u00e2ngulo <span class=\"lati\">ABD<\/span>, j\u00e1 que a medida desse \u00e2ngulo \u00e9 menor do que a medida de um dos  \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero <span class=\"lati\">ABC<\/span>, medindo, portanto, menos do que <span class=\"lat\">60&deg;<\/span>. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice <span class=\"lati\">D<\/span> \u00e9 um \u00e2ngulo reto e, portanto, o segmento <span class=\"lati\">AD<\/span> \u00e9 uma altura do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero <span class=\"lati\">ABC<\/span>. Mas como o tri\u00e2ngulo <span class=\"lati\">ABC<\/span> \u00e9 equil\u00e1tero, <span class=\"lati\">AD<\/span> \u00e9 tamb\u00e9m uma mediana e, consequentemente, <span class=\"lati\">D<\/span> \u00e9 ponto m\u00e9dio do segmento <span class=\"lati\">BC<\/span>.<br \/>\nPelo exposto, temos que o segmento <span class=\"lati\">AD<\/span> \u00e9 um cateto de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo cuja hipotenusa mede 1 e o segundo cateto mede [tex]\\dfrac{1}{2}[\/tex]. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4_2.png\"  style=\"border:0px;\" alt=\"GINCANA4_2\" width=\"397\" height=\"207\" class=\"aligncenter size-full wp-image-43211\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4_2.png 397w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/GINCANA4_2-300x156.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 397px) 100vw, 397px\" \/><\/p>\n<p>Dessa forma, se <span class=\"lati\">d<\/span> \u00e9 a dist\u00e2ncia entre os pontos <span class=\"lati\">A<\/span> e <span class=\"lati\">D<\/span>, ent\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad d=\\sqrt{1-\\dfrac{1}{4}}=\\sqrt{\\dfrac{3}{4}}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex].<br \/>\nLogo, a dist\u00e2ncia entre os pontos <span class=\"lati\">A<\/span> e <span class=\"lati\">D<\/span> ser\u00e1 de [tex]\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nPrimeira Gincana de 2015 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel B &#8211; Quest\u00e3o F\u00e1cil<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema O lado AB do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero ABC \u00e9 um di\u00e2metro de uma circunfer\u00eancia de raio [tex]\\frac{1}{2}[\/tex]. Os pontos D e E s\u00e3o as interse\u00e7\u00f5es da circunfer\u00eancia com os lados BC e AC respectivamente. Neste caso, determine a dist\u00e2ncia de A at\u00e9 D. Solu\u00e7\u00e3o Observe que o tri\u00e2ngulo ABD est\u00e1 inscrito em um semic\u00edrculo, logo &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-um-triangulo-um-semicirculo-e-uma-distancia\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-43188","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/43188","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=43188"}],"version-history":[{"count":41,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/43188\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185137,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/43188\/revisions\/185137"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=43188"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}