{"id":42920,"date":"2015-07-27T12:37:50","date_gmt":"2015-07-27T15:37:50","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=42920"},"modified":"2020-11-07T18:22:49","modified_gmt":"2020-11-07T20:22:49","slug":"um-pouco-sobre-poligonos-uma-segunda-definicao-de-poligonos-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/um-pouco-sobre-poligonos-poligonos-uma-primeira-definicao-2\/um-pouco-sobre-poligonos-uma-segunda-definicao-de-poligonos-2\/","title":{"rendered":". Um pouco sobre pol\u00edgonos – Uma segunda defini\u00e7\u00e3o de pol\u00edgonos"},"content":{"rendered":"
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Um pouco sobre pol\u00edgonos<\/strong><\/p>\n

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Pol\u00edgonos estrelados<\/strong><\/span><\/p>\n
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Para estudarmos geometricamente as chamadas estrelas, precisaremos de uma defini\u00e7\u00e3o mais geral de pol\u00edgono. Vejamos.<\/p>\n

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Uma segunda defini\u00e7\u00e3o de pol\u00edgonos <\/p>\n

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\t\"lousa2_1\"\t<\/p>\n

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\"\"<\/td>\n\n

Com essa nova defini\u00e7\u00e3o, todas as figuras que, at\u00e9 ent\u00e3o, est\u00e1vamos chamando de pol\u00edgonos continuam sendo consideradas pol\u00edgonos. Mas algumas figuras que n\u00e3o eram consideradas pol\u00edgonos, por apresentarem lados cruzados, com essa defini\u00e7\u00e3o ser\u00e3o consideradas pol\u00edgonos.
\nVejam alguns exemplos dessa segunda situa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

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\"lousa2_2\"<\/p>\n

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Espera um pouco…
\nAquelas figuras que tinham classifica\u00e7\u00f5es diferentes agora t\u00eam a mesma classifica\u00e7\u00e3o?
\nSimplesmente tudo virou pol\u00edgono??????<\/p>\n<\/td>\n

 \"Desafio2\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Calma, n\u00e3o \u00e9 bem assim…
\nAquelas figuras que at\u00e9 ent\u00e3o cham\u00e1vamos de pol\u00edgonos, com a nossa nova defini\u00e7\u00e3o, passam a ser pol\u00edgonos especiais, conforme voc\u00ea poder\u00e1 comprovar daqui a pouquinho. Antes, vale a pena relembrar o que t\u00ednhamos definido como elementos de um pol\u00edgono, pois esses elementos n\u00e3o se alteram com a nossa nova defini\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\"lousa14\"<\/p>\n
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\"\"<\/td>\n\n

Agora que restabelecemos uma linguagem b\u00e1sica, vamos nos reencontrar com as figuras que foram classificadas como pol\u00edgonos, segundo a nossa primeira defini\u00e7\u00e3o. Ao compararmos as duas defini\u00e7\u00f5es, observamos que elas diferem apenas quanto \u00e0s interse\u00e7\u00f5es de lados n\u00e3o consecutivos das figuras classificadas como pol\u00edgonos, por cada uma delas. Enquanto a primeira defini\u00e7\u00e3o exige que “se lados de um pol\u00edgono se intersectam, nessas interse\u00e7\u00f5es encontramos apenas v\u00e9rtices”; na segunda defini\u00e7\u00e3o n\u00e3o existe essa exig\u00eancia.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\t\"lousa13\"<\/p>\n
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\"\"<\/td>\n\n

Continuaremos reapresentando mais algumas defini\u00e7\u00f5es e considera\u00e7\u00f5es j\u00e1 vistas na sala Pol\u00edgonos, uma primeira defini\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span><\/a>, mas n\u00e3o sem antes alertar que \u00e9 usual se definir pol\u00edgonos convexos apenas para pol\u00edgonos simples.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\"refeita5\"<\/p>\n
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Entendi!
\nE uma coisa boa \u00e9 que j\u00e1 vejo estrelas nos exemplos de pol\u00edgonos aqui apresentados…<\/p>\n<\/td>\n

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\"carinha1\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Isso mesmo, como essa segunda defini\u00e7\u00e3o de pol\u00edgono permite interse\u00e7\u00f5es entre lados n\u00e3o consecutivos, as nossas estrelas podem, agora, ser classificadas como pol\u00edgonos<\/strong>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table><\/div>\n

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Estrelas definidas como pol\u00edgonos<\/p>\n

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\n<\/span>Neste t\u00f3pico, utilizaremos a defini\u00e7\u00e3o de pol\u00edgono estabelecida nesta Sala e o que foi discutido sobre estrelas na Sala Estrelas 2. Iniciaremos a discuss\u00e3o deste t\u00f3pico estabelecendo uma defini\u00e7\u00e3o b\u00e1sica de estrela como um pol\u00edgono.\t\t<\/p>\n
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\n Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Sejam [tex]n[\/tex] e [tex]k[\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex] 4 \\lt n[\/tex],  [tex] 1 \\lt k \\lt n-1 [\/tex] e com [tex] mdc(n,k) = 1 \\, [\/tex] .
\nChamamos de pol\u00edgono estrelado n \/ k<\/strong><\/em><\/span> o pol\u00edgono complexo de [tex]n[\/tex] lados obtido a partir da divis\u00e3o de uma circunfer\u00eancia em [tex]n[\/tex] partes congruentes, ligando-se sucessivamente os pontos de divis\u00e3o de [tex]k[\/tex] em [tex]k[\/tex].\t<\/div>\n<\/div>\n

<\/span>A nota\u00e7\u00e3o fracion\u00e1ria [tex] n \/ k[\/tex] mostra a \u00edntima rela\u00e7\u00e3o dos pol\u00edgonos estrelados com a Teoria dos N\u00fameros e foi estabelecida pelo matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o Ludwig Schl\u00e4fli<\/strong><\/em> (1814 – 1895).
\n\t\t\t<\/span>Fixados [tex]n[\/tex] e [tex]k[\/tex] nas condi\u00e7\u00f5es da defini\u00e7\u00e3o, observamos que o pol\u00edgono estrelado n \/ k<\/strong><\/em><\/span> \u00e9 uma figura (n , k)<\/em><\/strong> . Assim, se tomarmos [tex] 1 < k \\lt \\dfrac{n}{2}[\/tex], o pol\u00edgono estrelado n \/ k<\/strong><\/em><\/span> \u00e9 o mesmo que o pol\u00edgono estrelado n \/ (n – k)<\/strong><\/em><\/span> uma vez que o pol\u00edgono estrelado que se obt\u00e9m unindo os pontos de divis\u00e3o da circunfer\u00eancia em um sentido e no sentido contr\u00e1rio \u00e9 o mesmo. Dependendo do valor fixado [tex]n[\/tex], podemos ter mais de um pol\u00edgono estrelado de [tex]n[\/tex] lados; nesses casos, basta tomarmos diferentes n\u00fameros naturais [tex]k[\/tex] satisfazendo as condi\u00e7\u00f5es da defini\u00e7\u00e3o.
\n<\/span> Feitas essas observa\u00e7\u00f5es, vejamos alguns exemplos.<\/p>\n

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\n\"estrelados01\"\"estrelados02\"\"estrelados03\"\"estrelados04\"\n\t\t\t<\/div>\n

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\nO gif animado abaixo mostra os pol\u00edgonos estrelados de 47 v\u00e9rtices:
\n[tex] 47 \/ 2 \\, , \\, 47 \/ 3 \\, , \\, 47 \/ 4 \\, , \\, . . . \\, , \\, 47 \/ 43 \\, , \\, 47 \/ 44 \\, [\/tex] e [tex] \\, 47 \/ 45[\/tex] ,
\nnum total de 22 pol\u00edgonos estrelados distintos.\t\t<\/p>\n

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\nObserve que os pol\u00edgonos estrelados [tex] 47 \/ 2 \\, [\/tex] e [tex] \\, 47 \/ 45 [\/tex] s\u00e3o os pol\u00edgonos com os menores lados
\n\tenquanto que os pol\u00edgonos estrelados [tex] 47 \/ 23 \\, [\/tex] e [tex] \\, 47 \/ 24 [\/tex] s\u00e3o os com maiores lados.
\n\t\"animado506\"\n<\/div>\n<\/div><\/div>\n<\/div>\n

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Fabricando estrelas<\/p>\n

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<\/span>Voc\u00ea poder\u00e1 fabricar seus pr\u00f3prios pol\u00edgonos estrelados com at\u00e9 40 v\u00e9rtices utilizando o applet abaixo.
\n<\/span>Clicando no bot\u00e3o, o aplicativo abrir\u00e1 em outra janela.<\/p>\n

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Bom divertimento!<\/strong><\/span> <\/div>\n<\/div>\n

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Eu gostei, agora posso fazer muitas estrelas!!!<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha_legal\"\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Esse \u00faltimo aplicativo foi constru\u00eddo a partir do roteiro que estabelecemos na Sala anterior, pois o roteiro funciona como um algoritmo.
\nVamos aproveitar essa nova defini\u00e7\u00e3o de pol\u00edgonos e reescrev\u00ea-lo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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Passando o roteiro a limpo <\/p>\n

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<\/span>Escolha um n\u00famero natural [tex] n [\/tex], com [tex]n \\gt 1[\/tex], divida uma circunfer\u00eancia em [tex] n [\/tex] arcos congruentes e sejam [tex]A_1, \\, A_2, \\, \\cdots , A_n [\/tex] os pontos que dividem a circunfer\u00eancia nas [tex]n[\/tex] partes iguais. Para cada inteiro [tex] k [\/tex] tal que [tex] 0 < k < n [\/tex], que objeto geom\u00e9trico obtemos ao ligarmos consecutivamente, a partir de [tex]A_1[\/tex], pontos da divis\u00e3o por segmentos de reta, saltando de [tex]k[\/tex] em [tex]k[\/tex] pontos, at\u00e9 retornarmos ao ponto inicial [tex]A_1[\/tex]?
\n<\/span>O roteiro abaixo fornece a resposta dessa pergunta.<\/p>\n

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Sejam [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex] 0 \\lt k \\lt n [\/tex].<\/p>\n

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⇝<\/span> Passo 1:<\/strong> Verifique se [tex]k \\le \\dfrac{n}{2}[\/tex].<\/p>\n