{"id":41395,"date":"2015-06-30T20:00:27","date_gmt":"2015-06-30T23:00:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=41395"},"modified":"2023-03-22T23:19:06","modified_gmt":"2023-03-23T02:19:06","slug":"problema-de-gincana-sequencias-de-fibonacci","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-sequencias-de-fibonacci\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana:   Sequ\u00eancias de Fibonacci"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nA <em>sequ\u00eancia de Fibonacci<\/em> \u00e9 uma sequ\u00eancia de n\u00fameros naturais na qual os dois primeiros termos s\u00e3o iguais a [tex]1[\/tex] e, a partir do terceiro, cada termo \u00e9 obtido somando os dois termos imediatamente anteriores a ele.<br \/>\n\tAssim, os primeiros termos da sequ\u00eancia de Fibonacci s\u00e3o  [tex]1,\\, 1,\\, 2,\\, 3,\\, 5,\\, 8,\\, 13,\\, 21,\\,  \\ldots[\/tex]<br \/>\n\tObserve que nos seis primeiros termos da sequ\u00eancia j\u00e1 aparecem cinco dos dez algarismos:  [tex]1,\\, 2,\\, 3,\\, 5 \\, [\/tex] e [tex] \\, 8  \\, [\/tex] e, na medida que outros termos forem sendo definidos, todos os demais algarismos aparecer\u00e3o.<br \/>\n\t<strong>Qual dentre os algarismos [tex]0,\\, 4,\\, 6,\\, 7 \\, [\/tex] e  [tex]\\,9 \\,[\/tex]  ser\u00e1 o \u00faltimo a aparecer como unidade de um termo da sequ\u00eancia de Fibonacci? <\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPara responder a essa quest\u00e3o, poder\u00edamos calcular, simplesmente, os termos da sequ\u00eancia de Fibonacci at\u00e9 encontrar o \u00faltimo algarismo a aparecer na casa das unidades:<br \/>\n\t [tex]\\qquad \\qquad 1,\\, 1,\\, 2,\\, 3,\\, 5,\\, 8,\\, 13,\\, 21,\\, 34,\\, 55,\\, 89,\\, 144,\\, 233,\\, 377,\\,\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad  610,\\, 987,\\, 1 \\, 597,\\, 2 \\, 854,\\, 4 \\, 181,\\, 7 \\, 035,\\, 11 \\, 216[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>primeiro algarismo que apareceu: [tex]1[\/tex];<\/li>\n<li>segundo algarismo que apareceu: [tex]2[\/tex];<\/li>\n<li>terceiro algarismo que apareceu: [tex]3[\/tex];<\/li>\n<li>quarto algarismo que apareceu: [tex]5[\/tex];<\/li>\n<li>quinto algarismo que apareceu: [tex]8[\/tex];<\/li>\n<li>sexto algarismo que apareceu: [tex]4[\/tex];<\/li>\n<li>s\u00e9timo algarismo que apareceu: [tex]9[\/tex];<\/li>\n<li>oitavo algarismo que apareceu: [tex]7[\/tex];<\/li>\n<li>nono algarismo que apareceu: [tex]0[\/tex];<\/li>\n<li>\u00faltimo algarismo que apareceu: [tex]6[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mas far\u00edamos contas mais simples, se trabalh\u00e1ssemos, diretamente, com as unidades dos termos da sequ\u00eancia de Fibonacci. Por qu\u00ea?<\/p>\n<p style=\"margin-right:40px; margin-left:40px;\">&#8211; Lembre-se de que cada termo dessa sequ\u00eancia, a partir do terceiro, \u00e9 obtido somando-se os dois termos imediatamente anteriores a ele. Assim, <strong>o algarismo da unidade de um termo da sequ\u00eancia de Fibonacci<\/strong>, a partir do terceiro, <strong>\u00e9 o algarismo da unidade da soma das respectivas unidades dos  dois termos imediatamente anteriores ao termo em quest\u00e3o<\/strong>.<\/p>\n<p>\tEnt\u00e3o, a sequ\u00eancia dos algarismos da casa da unidade de cada termo de Fibonacci \u00e9:<br \/>\n[tex]\\qquad 1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,&#8230;[\/tex]<br \/>\n\tj\u00e1 que:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]1+1=2[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do terceiro termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]2[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]1+2=3[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do quarto termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]3[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]2+3=5[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do quinto termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]5[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]3+5=8[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do sexto termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]8[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]5+8=13[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do s\u00e9timo termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]3[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]8+3=11[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do oitavo termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]1[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]3+1=4[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do nono termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]4[\/tex];<\/li>\n<li> <strong> . . .<\/strong> <\/li>\n<li>[tex]7+4=11[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do d\u00e9cimo nono termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]1[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]4+1=5[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do vig\u00e9simo termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]5[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]1+5=6[\/tex] e, portanto, o algarismo da unidade do vig\u00e9simo primeiro termo da sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 [tex]6[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>\tObserve que nas duas sequ\u00eancias determinamos at\u00e9 o vig\u00e9simo primeiro termo, mas as somas da segunda sequ\u00eancia foram muito mais simples de serem obtidas, nem precisamos de calculadora&#8230;<br \/>\nDe qualquer forma, [tex]6[\/tex] \u00e9 a resposta do problema proposto.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong> Moderadores do Blog <\/strong>.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 1px solid #3f3f3f; padding: 8px; font-size: 14px; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 20px; width: 480px;\">\nPrimeira Gincana de 2015 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel A &#8211; Quest\u00e3o M\u00e9dia<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema A sequ\u00eancia de Fibonacci \u00e9 uma sequ\u00eancia de n\u00fameros naturais na qual os dois primeiros termos s\u00e3o iguais a [tex]1[\/tex] e, a partir do terceiro, cada termo \u00e9 obtido somando os dois termos imediatamente anteriores a ele. Assim, os primeiros termos da sequ\u00eancia de Fibonacci s\u00e3o [tex]1,\\, 1,\\, 2,\\, 3,\\, 5,\\, 8,\\, 13,\\, 21,\\, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-sequencias-de-fibonacci\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-41395","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/41395","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=41395"}],"version-history":[{"count":48,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/41395\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185120,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/41395\/revisions\/185120"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=41395"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}