{"id":41114,"date":"2015-06-27T02:47:01","date_gmt":"2015-06-27T05:47:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=41114"},"modified":"2023-03-22T23:22:32","modified_gmt":"2023-03-23T02:22:32","slug":"problemao-quais-os-angulos-desse-triangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-quais-os-angulos-desse-triangulo\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Quais os \u00e2ngulos desse tri\u00e2ngulo?"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nNos lados [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex] de um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] s\u00e3o tomados os pontos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], respectivamente, tais que [tex]A \\hat{B}X \\equiv Y \\hat{A}C[\/tex], [tex]A \\hat{Y}B \\equiv B \\hat{X}C[\/tex] e [tex]\\overline{XC} \\equiv \\overline{YB}[\/tex].
\nDetermine as medidas dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex].<\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nConsidere [tex]\\alpha[\/tex], [tex]\\beta[\/tex], [tex]\\gamma[\/tex], [tex]\\delta[\/tex] e [tex]\\theta[\/tex] as medidas em graus de [tex]C\\hat{A}Y[\/tex], [tex]A\\hat{Y}B[\/tex], [tex]Y\\hat{A}B[\/tex], [tex]A\\hat{C}B[\/tex] e [tex]X\\hat{B}C[\/tex] respectivamente.<\/p>\n

\"problem\u00e3o<\/p>\n

Temos [tex]\\beta = 2 \\alpha + \\gamma \\, [\/tex] e [tex] \\, \\beta = \\alpha + \\delta \\, [\/tex], j\u00e1 que a medida de um \u00e2ngulo externo de um tri\u00e2ngulo \u00e9 igual \u00e0 soma das medidas dos \u00e2ngulos internos n\u00e3o adjacentes a ele.
\nAssim, [tex] \\, \\delta = \\alpha + \\gamma \\, [\/tex] e, portanto, [tex] \\, BC = AB \\, [\/tex], ou seja, o tri\u00e2ngulo [tex] \\, ABC \\, [\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles.<\/p>\n

\nLema:<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos possuem dois lados e um \u00e2ngulo oposto a um deles ordenadamente congruentes, ent\u00e3o os \u00e2ngulos opostos ao outro lado em cada tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes ou suplementares.<\/p>\n

\n

Usando o lema<\/strong> para os tri\u00e2ngulos [tex] \\, CXB \\, [\/tex] e [tex] \\, BYA \\, [\/tex], temos [tex] \\, \\theta = \\gamma \\, [\/tex] ou [tex] \\, \\theta + \\gamma = 180^{\\circ} \\, [\/tex].
\nEntretanto, a segunda possibilidade n\u00e3o ocorre, pois
\n[tex]\\qquad \\theta + \\gamma \\lt (\\alpha + \\theta) + (\\alpha + \\gamma) \\lt 180^{\\circ}[\/tex],
\numa vez que somamos apenas dois \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex].
\nLogo [tex] \\, \\theta = \\gamma \\, [\/tex], donde [tex]\\delta = \\alpha + \\gamma = \\alpha + \\theta[\/tex].
\n\tAssim, o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero e, portanto, possui os tr\u00eas \u00e2ngulos internos medindo [tex]60^{\\circ}[\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Nos lados [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex] de um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] s\u00e3o tomados os pontos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], respectivamente, tais que [tex]A \\hat{B}X \\equiv Y \\hat{A}C[\/tex], [tex]A \\hat{Y}B \\equiv B \\hat{X}C[\/tex] e [tex]\\overline{XC} \\equiv \\overline{YB}[\/tex]. Determine as medidas dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Considere [tex]\\alpha[\/tex], … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-41114","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/41114","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=41114"}],"version-history":[{"count":29,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/41114\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185126,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/41114\/revisions\/185126"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=41114"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}