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Problema \t . . . <\/strong><\/span><\/p>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n No caso do problema temos: <\/p>\n e assim sucessivamente. Reescrevendo o problema, como queremos [tex]f^{2000}(x)=x[\/tex], devemos ter [tex]\\boxed{a^{2000}x+c=x}[\/tex]; assim, [tex]a^{2000}=1\\,[\/tex] e [tex]\\,c=0[\/tex]. Caso 1:<\/strong> Se [tex]a=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]f(x)=x+b[\/tex] e as composi\u00e7\u00f5es de [tex]f[\/tex] s\u00e3o da seguinte forma: Caso 2:<\/strong> Se [tex]a=-1[\/tex], [tex]f(x)=-x+b[\/tex] e as composi\u00e7\u00f5es de [tex]f(x)[\/tex] agora s\u00e3o da seguinte forma: \n Pelo exposto, s\u00e3o infinitas fun\u00e7\u00f5es afins que satisfazem a condi\u00e7\u00e3o [tex]f^{2000}(x)=x[\/tex]:<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.) Considere a fun\u00e7\u00e3o afim definida por [tex]f(x) = ax+b[\/tex], com [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros reais. Para que valores de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] temos [tex]f^{2000}(x)=x[\/tex]? Observa\u00e7\u00e3o: Por defini\u00e7\u00e3o. [tex]f^2(x) = f(f(x))[\/tex]; [tex]f^3(x) = f(f^{2}(x))= f(f(f(x)))[\/tex]; . . . [tex]f^n(x) = f(f^{n-1}(x)) = f(f(…f(x)…))[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Em primeiro … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nConsidere a fun\u00e7\u00e3o afim definida por [tex]f(x) = ax+b[\/tex], com [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros reais.
\n\tPara que valores de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] temos [tex]f^{2000}(x)=x[\/tex]?
\nObserva\u00e7\u00e3o: <\/strong> Por defini\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n
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\nEm primeiro lugar, observe que se compomos duas fun\u00e7\u00f5es afins, obtemos uma fun\u00e7\u00e3o afim cujo coeficiente da vari\u00e1vel [tex]x[\/tex] \u00e9 o produto dos coeficientes das vari\u00e1veis das duas fun\u00e7\u00f5es usadas na composi\u00e7\u00e3o.
\n\tCom efeito, se as duas fun\u00e7\u00f5es forem definidas por [tex]f(x)= ax+b\\,[\/tex] e [tex]\\,g(x)=cx+d[\/tex], ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad f(g(x)) = f(cx+d)= a(cx+d)+b = acx+ad+b = (ac)x+(ad+b)[\/tex]
\nou
\n[tex]\\qquad g(f(x))=g(ax+b)=c(ax+b)+d = cax+cb+d = (ac)x+(cb+d)[\/tex]<\/p>\n\n
\n\\quad ~~~~ =a^2x+\\underbrace{ab+b}_{k_2}= a^2x+k_2,[\/tex]
\ncom [tex]k_2[\/tex] uma constante que depende de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex];<\/li>\n
\n\\quad ~~~~ =a^3x+\\underbrace{ak_2+b}_{k_3} = a^3x+k_3,[\/tex]
\ncom [tex]k_3[\/tex] uma constante que depende de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex];<\/li>\n
\n\\quad ~~~~ =a^4x+\\underbrace{ak_3+b}_{k_4} = a^4x+k_4,[\/tex]
\ncom [tex]k_4[\/tex] uma constante que depende de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex];<\/li>\n<\/ul>\n
\nEnt\u00e3o [tex]f^{2000}(x)=a^{2000}x+c[\/tex], onde [tex]c[\/tex] \u00e9 um n\u00famero que depende de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex].<\/p>\n
\nTemos, ent\u00e3o, dois poss\u00edveis valores para [tex]a[\/tex]: [tex]a=1[\/tex] ou [tex]a=-1[\/tex]. <\/p>\n
\n[tex]\\qquad f^2(x)=f(f(x))=f(x+b)=(x+b)+b= x+2b[\/tex];
\n[tex]\\qquad f^3(x)=f(f^2(x))=f(x+2b)=(x+2b)+b= x+3b[\/tex];
\n[tex]\\qquad f^4(x)=f(f^3(x))=f(x+3b)=(x+3b)+b= x+4b[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\qquad \\qquad \\vdots[\/tex]
\n[tex]\\qquad f^{2000}(x)=x+2000b[\/tex].
\nPortanto, de [tex]f^{2000}(x)=x[\/tex], segue que [tex]x+2000b=x[\/tex] e, com isso, [tex]2000b=0[\/tex], ou seja, [tex]b=0[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\qquad f^2(x)=f(f(x))=f(-x+b)=-(-x+b)+b=x[\/tex];
\n[tex]\\qquad f^3(x)=f(f^2(x))=f(x)=-x+b[\/tex];
\n[tex]\\qquad f^4(x)=f(f^3(x))=f(-x+b)=-(-x+b)+b=x[\/tex];
\n[tex]\\qquad f^5(x)=f(f^4(x))=f(x)=-x+b[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\qquad \\qquad \\vdots[\/tex]
\n[tex]\\qquad f^{2000}(x)=x[\/tex] (pois [tex]2000[\/tex] \u00e9 par).
\nPortanto, se [tex]a=-1[\/tex], ent\u00e3o qualquer n\u00famero real [tex]b[\/tex] define uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] que satisfaz a condi\u00e7\u00e3o do problema.<\/p>\n\n
\n