{"id":37339,"date":"2015-05-16T14:14:16","date_gmt":"2015-05-16T17:14:16","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=37339"},"modified":"2023-03-21T22:12:49","modified_gmt":"2023-03-22T01:12:49","slug":"problema-somando-distancias","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-somando-distancias\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Somando dist\u00e2ncias"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px; margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Seja [tex]P[\/tex] um ponto no interior de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero qualquer.<br \/>\nProve que a soma das dist\u00e2ncias de [tex]P[\/tex] aos lados desse tri\u00e2ngulo \u00e9 sempre constante.<br \/>\n\tInterprete geometricamente o valor desta constante.\t<\/p>\n<p>\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-25170 aligncenter\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/11\/tri\u00e2ngulo-300x240.png\" style=\"border: 0px\" alt=\"tri\u00e2ngulo\" width=\"300\" height=\"240\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/11\/tri\u00e2ngulo-300x240.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/11\/tri\u00e2ngulo.png 836w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Sejam [tex]h_1[\/tex], [tex]h_2[\/tex] e [tex]h_3[\/tex] as dist\u00e2ncias de [tex]P[\/tex] aos lados do tri\u00e2ngulo dado. <\/p>\n<p>\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/somando-distancias1.jpg\" style=\"border:0px\" alt=\"somando distancias\" width=\"400\" height=\"280\" class=\"aligncenter size-full wp-image-37327\" \/>\t<\/p>\n<ul>\n<li>Note que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo \u00e9 dada por [tex]\\dfrac{l \\cdot h} {2}[\/tex], sendo [tex]l[\/tex] a base (o comprimento de qualquer um dos lados, j\u00e1 que o tri\u00e2ngulo \u00e9 equil\u00e1tero) e [tex]h[\/tex] \u00e9 a altura relativa ao lado escolhido (a altura [tex]h[\/tex] \u00e9 sempre a mesma, independente do lado, pois o tri\u00e2ngulo \u00e9 equil\u00e1tero).<\/li>\n<li>Por outro lado, observamos que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo tamb\u00e9m pode ser obtida como a soma das \u00e1reas dos tr\u00eas tri\u00e2ngulos, cujas alturas s\u00e3o  [tex]h_1[\/tex], [tex]h_2[\/tex] e [tex]h_3[\/tex] e as bases s\u00e3o [tex]l[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>\tAssim, temos que<br \/>\n\t\t[tex]\\qquad \u00c1rea=\\dfrac{l \\cdot h} {2} = \\dfrac{l \\cdot h_1} {2} + \\dfrac{l \\cdot h_2} {2} + \\dfrac{l \\cdot h_3} {2} = \\dfrac{l \\cdot (h_1+h_2+h_3)} {2}[\/tex],<br \/>\n\tdonde<br \/>\n\t[tex]\\qquad  \\fbox{$\\displaystyle h_1+h_2+h_3 =h$}[\/tex] .<br \/>\n\tPortanto, <strong>a soma das dist\u00e2ncias de [tex]P[\/tex] aos lados do tri\u00e2ngulo \u00e9 sempre constante e igual \u00e0 altura do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero dado<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Testando a solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span style=\"padding-left:30px\"> Voc\u00ea pode utilizar o <em>applet<\/em> disponibilizado abaixo para simular diferentes condi\u00e7\u00f5es iniciais para o problema e, com isso, observar a veracidade da afirma\u00e7\u00e3o demonstrada, quantas vezes voc\u00ea quiser!<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:30px\">Para tanto, carregue o <em>applet<\/em>, escolha um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero e  modifique a posi\u00e7\u00e3o do ponto <strong>P<\/strong>.<\/span><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"> <strong>Bons estudos!<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div >\n<input   value=\"Mostrar o Applet\" style=\"padding: 0px; width: 180px; height: 40px; background-color:#9c3838; font-size: 20px; font-family: Calibri, sans-serif; font-weight: bold; color: #FFFAFA;\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar o Applet';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Mostrar o Applet';}\"    type=\"button\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<div style=\"border: 1px dotted #800000; padding: 10px; font-size: 16px; font-family: verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; color: #616161; line-height: 25px; text-align:center;\">\n<p style=\"text-align:justify\">Depois que o <em>applet<\/em> carregar, movimente o ponto <span style=\"color: #3A5FCD;\"> B<\/span> para modificar o tri\u00e2ngulo .<br \/>\n\tEscolhido o tri\u00e2ngulo, movimente o ponto<span style=\"color: #ff0000;\"> P<\/span> livremente e observe os valores num\u00e9ricos [tex]h[\/tex] e [tex] h_1+h_2+h_3[\/tex].<br \/>\n\tPara reiniciar a constru\u00e7\u00e3o, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do <em>applet <\/em>.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>\tPara carregar o applet, clique <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/RfH4YTFZ\/width\/750\/height\/620\/border\/ffffff\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/true\/ld\/false\/sri\/true\/at\/auto\" target=\"ap1\"><span style=\"color: #9c3838;\"><strong>AQUI<\/strong><\/span><\/a><br \/>\n<iframe    name=\"ap1\"   width=\"760\" height=\"630\" style=\"border: 5px solid #9c3838;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size: 14px;\">OBMEP_ srdg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\">GeoGebra<\/a><\/span>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"font-size: 12px; line-height:20px;\">Lembre-se de que o GeoGebra trabalha com arredondamentos e<br \/>\n\tque a visualiza\u00e7\u00e3o de v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es particulares de um fato matem\u00e1tico n\u00e3o substitui sua demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/p><\/div>\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Seja [tex]P[\/tex] um ponto no interior de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero qualquer. Prove que a soma das dist\u00e2ncias de [tex]P[\/tex] aos lados desse tri\u00e2ngulo \u00e9 sempre constante. Interprete geometricamente o valor desta constante. Solu\u00e7\u00e3o Sejam [tex]h_1[\/tex], [tex]h_2[\/tex] e [tex]h_3[\/tex] as dist\u00e2ncias de [tex]P[\/tex] aos lados do &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-somando-distancias\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":165,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-37339","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/37339","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/165"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=37339"}],"version-history":[{"count":28,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/37339\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185108,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/37339\/revisions\/185108"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=37339"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}