{"id":36846,"date":"2015-05-11T01:55:56","date_gmt":"2015-05-11T04:55:56","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=36846"},"modified":"2024-11-27T21:01:41","modified_gmt":"2024-11-28T00:01:41","slug":"atividade-a-razao-aurea","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/atividade-a-razao-aurea\/","title":{"rendered":"Atividade: A Raz\u00e3o \u00c1urea"},"content":{"rendered":"

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\nA Raz\u00e3o \u00c1urea<\/marquee><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

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T\u00f3picos<\/em><\/p>\n

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\tI – Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema<\/span><\/span><\/a>\t
\nII – Um pouco de matem\u00e1tica para come\u00e7ar <\/span><\/span><\/a>
\n\tIII – Como podemos obter a raz\u00e3o \u00e1urea?<\/span><\/span><\/a>
\n\tIV – Pesquisas<\/span><\/span><\/a>
\n\tV – Galeria de V\u00eddeos<\/span><\/span><\/a>
\n\tVI – Pequena Galeria de Arte<\/span><\/span><\/a>
\n\tVII – Galeria de Applets<\/span><\/span><\/a>
\n\tVIII – Textos que podem ajudar<\/span><\/span><\/a>
\n\tIX – Atividades de Campo<\/span><\/span><\/a><\/span><\/p>\n

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\n\"FI\"
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I – Apresenta\u00e7\u00e3o do Tema<\/em><\/p>\n

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\nDo n\u00famero nasce a propor\u00e7\u00e3o……..
\nDa propor\u00e7\u00e3o se segue \u00e0 conson\u00e2ncia ……..
\nA conson\u00e2ncia causa deleita\u00e7\u00e3o ……..
\nA nenhum sentido apraz a disson\u00e2ncia ……..
\nUnidade, igualdade e semelhan\u00e7a ……..
\nS\u00e3o princ\u00edpios do contentamento……..
\nEm todos os sentidos o experimento……..
\nA alma na unidade gl\u00f3ria alcan\u00e7a……..
\nEm todas as quantidades a igualdade ……..
\nE a perfei\u00e7\u00e3o remota ou a mais chegada……..
\nSegundo a natural autoridade……..
\nE assim est\u00e1 nas qualidades assentada……..
\nDa mesma maneira a semelhan\u00e7a……..
\nDiva de ser sentida e contemplada…….. <\/em><\/strong><\/span><\/p>\n

Poema:<\/strong> O misterioso n\u00famero de ouro
\nLivro:<\/strong> Cam\u00f5es e a Divina Propor\u00e7\u00e3o
\nAutor:<\/strong> Vasco Gra\u00e7a Moura<\/span><\/a> (1942 – 2014)<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

Encontrada na ci\u00eancia e na natureza, em diferentes formas, na obra de artistas como Salvador Dal\u00ed, de arquitetos como Le Corbusier e na arquitetura de forma geral, a raz\u00e3o \u00e1urea<\/em><\/strong> \u00e9 um dos n\u00fameros mais famosos da matem\u00e1tica, h\u00e1 muito tempo – os gregos antigos j\u00e1 atribu\u00edam a essa raz\u00e3o propriedades m\u00e1gicas e usavam-na nas constru\u00e7\u00f5es de seus edif\u00edcios. <\/span>
\nA raz\u00e3o \u00e1urea \u00e9 um n\u00famero irracional, tal qual o famoso n\u00famero [tex]\\pi[\/tex] (pi), e \u00e9 tamb\u00e9m denotado por uma letra grega, o “phi” (pronunciamos fi): phi mai\u00fasculo, [tex]\\Phi[\/tex], ou phi min\u00fasculo, [tex]\\varphi[\/tex].<\/span>
\nConhecido desde a Antiguidade, o [tex]\\Phi[\/tex] recebeu v\u00e1rios t\u00edtulos honor\u00edficos: “N\u00famero \u00c1ureo”, “Raz\u00e3o \u00c1urea”, “Se\u00e7\u00e3o \u00c1urea”, “Propor\u00e7\u00e3o \u00c1urea”, “Propor\u00e7\u00e3o de Ouro”, “N\u00famero de Ouro”, “M\u00e9dia e Extrema Raz\u00e3o”, “Divis\u00e3o de Extrema Raz\u00e3o”, “Raz\u00e3o de Phidias” e at\u00e9 “Propor\u00e7\u00e3o Divina”, tal o fasc\u00ednio que esse n\u00famero exerceu sobre as pessoas!<\/span>
\nTalvez seja dif\u00edcil imaginar um n\u00famero que apare\u00e7a em situa\u00e7\u00f5es t\u00e3o diferentes – artes, ci\u00eancias, natureza – mas, embora chegue at\u00e9 a ser denominado de Propor\u00e7\u00e3o Divina, a raz\u00e3o \u00e1urea \u00e9 apenas um n\u00famero e uma bela oportunidade de se estudar matem\u00e1tica!<\/span>
\nE \u00e9 com esse esp\u00edrito que apresentamos o objeto central desta Sala de Atividades: [tex]\\Phi[\/tex]<\/span><\/span>
\nEsse famoso objeto matem\u00e1tico aqui ser\u00e1 tratado cercado de algumas de suas verdades e de alguns de seus mitos, j\u00e1 que nem tudo o que encontramos sobre esse n\u00famero \u00e9 verdadeiro!<\/span>
\n\tPortanto, peguem papel, l\u00e1pis, borracha e uma lupa, e m\u00e3os \u00e0 obra.<\/span><\/p>\n

Boa investiga\u00e7\u00e3o e boa divers\u00e3o!!!<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

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\n\"FI\"
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II – Um pouco de matem\u00e1tica para come\u00e7ar . . .<\/em><\/p>\n

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Um problema inicial<\/strong><\/span><\/p>\n

Determinar um n\u00famero positivo tal que a diferen\u00e7a entre seu quadrado e ele seja 1. <\/p>\n
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\tSeja [tex]a[\/tex] o n\u00famero procurado, assim\t[tex]a^2-a=1[\/tex], ou seja, [tex]a^2-a-1=0[\/tex].
\n\tDessa forma, ter\u00edamos [tex]a=\\dfrac{1\\pm\\sqrt{1+4}}{2}=\\dfrac{1\\pm\\sqrt{5}}{2}[\/tex]; mas como [tex]a[\/tex] \u00e9 positivo, ent\u00e3o
\n\t[tex]\\qquad a=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}=1,61803…\\approx1,618[\/tex].<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

A equa\u00e7\u00e3o [tex]X^2-X-1=0[\/tex], resultante da modelagem desse problema, fornece respostas para alguns problemas geom\u00e9tricos interessantes. Observem dois deles.<\/span><\/p>\n

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Problema:<\/strong><\/span> Sejam [tex]\\overline{AB}[\/tex] um segmento de comprimento [tex]1[\/tex] e [tex]X[\/tex] um ponto entre [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex]. Assim, consideraremos tr\u00eas segmentos: o segmento menor, o maior e o segmento todo.
\n\t\t(i) Determinar a dist\u00e2ncia entre os pontos [tex]A[\/tex] e [tex]X[\/tex] de forma que a raz\u00e3o entre os comprimentos do menor e do maior dos segmentos seja igual \u00e0 raz\u00e3o entre os comprimentos do maior e do segmento todo.
\n\t\t(ii) Determinar a raz\u00e3o entre os comprimentos do maior e do menor segmento.<\/p>\n
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\t\tSejam [tex]\\overline{AB}[\/tex] um segmento unit\u00e1rio e [tex]X[\/tex] um ponto interno desse segmento.
\n\t\t\"f12\"\t\t Suponhamos, sem perda de generalidade, que o maior segmento tenha comprimento [tex]x[\/tex].
\n\t(i) Pelas informa\u00e7\u00f5es do problema, temos que [tex]\\dfrac{1-x}{x}=\\dfrac{x}{1}[\/tex], donde [tex]1-x=x^2[\/tex], ou ainda [tex]x^2+x-1=0[\/tex].
\n\tCom isso [tex]x=\\dfrac{-1\\pm\\sqrt{1+4}}{2}=\\dfrac{-1\\pm\\sqrt{5}}{2}[\/tex]; mas como [tex]x[\/tex] \u00e9 positivo, j\u00e1 que \u00e9 representa uma dist\u00e2ncia n\u00e3o nula, ent\u00e3o [tex]x=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{2}[\/tex].
\n\t(ii) Seja [tex]r[\/tex] a raz\u00e3o procurada. Ent\u00e3o, pelo item (i) podemos afirmar que:
\n\t[tex]\\qquad r=\\dfrac{x}{1-x}=\\dfrac{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}{1-\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{2-(\\sqrt{5}-1)}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{3-\\sqrt{5}}=\\dfrac{(\\sqrt{5}-1)(3+\\sqrt{5})}{(3-\\sqrt{5})(3+\\sqrt{5})}[\/tex]
\n[tex]\\qquad r=\\dfrac{3\\sqrt{5}+5-3-\\sqrt{5}}{3^2-(\\sqrt{5})^2}=\\dfrac{2\\sqrt{5}+2}{4}=\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}[\/tex]
\n\tEnt\u00e3o, a raz\u00e3o entre os comprimentos do maior e do menor segmento \u00e9 [tex]\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}[\/tex].
\n\tLembrando que [tex]\\dfrac{1-x}{x}=\\dfrac{x}{1}[\/tex], essa raz\u00e3o poderia ser obtida por outro caminho.
\n\tComo [tex]r=\\dfrac{x}{1-x}=\\dfrac{1}{x}=\\dfrac{1-x+x}{x}=\\dfrac{1-x}{x}+1=\\dfrac{1}{r}+1[\/tex], ent\u00e3o [tex]r=\\dfrac{1}{r}+1[\/tex].
\n\tDessa forma, [tex]r^2=1+r[\/tex], ou seja, [tex]r^2-r-1=0[\/tex] e a raz\u00e3o procurada \u00e9 a raiz positiva da equa\u00e7\u00e3o [tex]X^2-X-1=0[\/tex].
\n\t<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\nO segundo problema trata de ret\u00e2ngulos semelhantes. Se voc\u00eas sabem quando dois ret\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes, podem ir direto para o problema; caso contr\u00e1rio, vejam antes a pr\u00f3xima defini\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n

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\"f24\"
\n\tDois ret\u00e2ngulos s\u00e3o ditos semelhantes<\/em><\/strong>, se seus lados correspondentes s\u00e3o proporcionais, isto \u00e9, se a raz\u00e3o entre os lados maior e menor de um ret\u00e2ngulo \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre os lados maior e menor do outro.<\/span><\/p>\n

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\"aureo\" Problema:<\/strong><\/span> Considere qualquer ret\u00e2ngulo ABCD com a seguinte propriedade:
\nse dele suprimirmos um quadrado como AEFD, o ret\u00e2ngulo restante, EBCF, ser\u00e1 semelhante ao ret\u00e2ngulo original.<\/p>\n

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Determinar a raz\u00e3o entre os lados maior e menor do ret\u00e2ngulo inicial ABCD.<\/strong><\/p>\n

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Suponhamos que o ret\u00e2ngulo ABCD tenha lados com comprimento [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, a+b \\, [\/tex].\"aureo2\"\t<\/p>\n

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Como os ret\u00e2ngulos ABCD e EBCF s\u00e3o semelhantes, ent\u00e3o[tex] \\, \\dfrac{a+b}{a}=\\dfrac{a}{b}[\/tex].
\n\tSe [tex] \\, r=\\dfrac{a+b}{a}[\/tex], podemos, ent\u00e3o afirmar que [tex] \\, r=\\dfrac{a+b}{a}=1+\\dfrac{b}{a}=1+\\dfrac{1}{r} \\, [\/tex], ou, ainda, que [tex]r^2-r-1=0[\/tex].
\nComo [tex]r\\gt0[\/tex], ent\u00e3o [tex]r=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}[\/tex] .\n\t\t\t<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\tApresentamos tr\u00eas dos in\u00fameros problemas cuja solu\u00e7\u00e3o consiste em encontrar a raiz positiva da equa\u00e7\u00e3o [tex]X^2-X-1=0[\/tex], portanto j\u00e1 temos uma motiva\u00e7\u00e3o inicial para darmos um nome especial para o n\u00famero irracional positivo [tex]\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}[\/tex]. Vamos l\u00e1!<\/span><\/p>\n

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➥<\/strong><\/span> Diz-se que um ponto [tex]X[\/tex] de um segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex] divide este segmento em m\u00e9dia e extrema raz\u00e3o <\/em><\/strong>se a raz\u00e3o entre os comprimentos do menor e do maior dos segmentos \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre os comprimentos do maior e do segmento todo.
\n\t\t\t\t\"extrema\"\t<\/div>\n

\t\t\t\u00c9 claro que<\/span><\/p>\n