{"id":36131,"date":"2015-04-28T16:15:36","date_gmt":"2015-04-28T19:15:36","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=36131"},"modified":"2022-08-02T23:44:29","modified_gmt":"2022-08-03T02:44:29","slug":"um-pouco-sobre-poligonos-estrelas-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/um-pouco-sobre-poligonos-poligonos-uma-primeira-definicao-2\/um-pouco-sobre-poligonos-estrelas-2\/","title":{"rendered":". Um pouco sobre pol\u00edgonos &#8211; Estrelas 2"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\n<!--\n.lat,.lati{\nfont-family: Cambria, Georgia, serif;\ncolor: #000000;\nfont-weight: bold;\nfont-size: 16px ;\n}\n.lati{\nfont-style: italic;\n}\n\n-->\n<\/style>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 20px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 8px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"nome cm\" style=\"margin:10px;line-height:50px; font-size:54px;\"><strong>Um pouco sobre pol\u00edgonos<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 20px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 8px; margin-bottom: 60px;border: 0 none\"\/>\n<div class=\"gr1 cbmd\">\n<p class=\"ti1 cm\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Estrelas, uma defini\u00e7\u00e3o algor\u00edtmica<sup>*<\/sup><\/p>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B; border: 0 none\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td  class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:510px;\"> Vamos formalizar um pouco do que foi discutido na sala sobre <strong>Estrelas<\/strong>.<br \/>\nO primeiro passo para isso \u00e9 entender direitinho a defini\u00e7\u00e3o abaixo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div class=\"gr1 cbm2\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p class=\"ti1 cm\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">I &#8211; Figuras (<em>n , k<\/em>)<\/p>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B; margin-top: 5px; margin-bottom: 5px;  border: 0 none\">\n<hr style=\"height:1px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; border: 0 none\">\n<p style=\"margin:20ps;\">\n<div class=\"gr2 cb83 bgm2\" style=\"width: 95%;\"><strong> Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Sejam [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex]  n\u00fameros naturais tais que <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k<\/em> &lt; <em>n<\/em> <\/span>.<br \/>\nChamamos de  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  a figura geom\u00e9trica definida pela uni\u00e3o dos segmentos de reta obtidos mediante os seguintes passos:<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 1 &#8211; <\/strong> Divide-se uma circunfer\u00eancia em [tex] n [\/tex] partes iguais ([tex] n [\/tex] arcos congruentes). Os pontos da divis\u00e3o ser\u00e3o denominados <strong><em>&#8220;n\u00f3s&#8221;<\/em><\/strong>.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 2 &#8211; <\/strong> Escolhe-se um dos <em>n\u00f3s<\/em>. Denomina-se esse <em>n\u00f3<\/em> de <em><strong>&#8220;ponto visitado&#8221;<\/strong><\/em>.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 3 &#8211; <\/strong>  Tra\u00e7a-se um segmento de reta do \u00faltimo <em>ponto visitado<\/em> at\u00e9 o <em>n\u00f3<\/em> que se obt\u00e9m saltando-se [tex] k [\/tex] arcos consecutivos, no sentido anti-hor\u00e1rio, a partir desse \u00faltimo <em>ponto visitado<\/em>. Esse <em>n\u00f3<\/em> de chegada ser\u00e1 tamb\u00e9m denominado &#8220;<em>ponto visitado<\/em>&#8220;.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 4 &#8211; <\/strong> Repete-se o <strong>PASSO 3<\/strong> at\u00e9 que o segmento tra\u00e7ado termine em um ponto j\u00e1 visitado.<\/div>\n<p style=\"margin:50px\">\n<p><span style=\"color: #8B5A2B; font-family: Georgia, Times, 'Times New Roman', serif; font-size: 24px;\"><strong> Que objetos geom\u00e9tricos podemos classificar<br \/>\ncomo figuras (<em>n , k<\/em>) ?<\/strong><\/span><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p><span style=\"padding-left:30px;\">As <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , k)&nbsp;<\/span> s\u00e3o obtidas quando atribu\u00edmos para as vari\u00e1veis [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex] valores num\u00e9ricos estabelecidos na defini\u00e7\u00e3o, ou seja, n\u00fameros naturais tais que <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k<\/em> &lt; <em>n<\/em> <\/span>. Observem que, dividida uma circunfer\u00eancia em <span class=\"lati\"> n &nbsp;<\/span> arcos congruentes, os segmentos de reta que definem uma  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>   s\u00e3o cordas  da circunfer\u00eancia fixada, todas com o mesmo comprimento e tendo como extremidades pontos que dividiram a circunfer\u00eancia nas [tex] n [\/tex] partes iguais. O comprimento constante dessas cordas depende do n\u00famero [tex] k [\/tex], j\u00e1 que este determina a quantidade de arcos que ser\u00e3o pulados na defini\u00e7\u00e3o de cada segmento.<\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:30px;\">Vejamos alguns exemplos dessas figuras. <\/span><\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:15px;  width: 80%;margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<p> <span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10149;<\/span>Se [tex] k [\/tex] for um n\u00famero natural n\u00e3o nulo e <span class=\"lat\"><em>n<\/em> = 2<em>k<\/em><\/span>, ent\u00e3o a  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  definida ser\u00e1 um segmento de reta.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input value=\"Justificativa\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Justificativa';}\"    \/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:5px; padding-top:15px; padding-left:10px; padding-right:10px; width: 95%; background-color:#e3d8c4;text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n Com efeito, fixado um n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex] k [\/tex], vamos cumprir os passos que definem a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (2k,k)<\/span>:<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 1 &#8211; <\/strong> Dividimos uma circunfer\u00eancia em <span class=\"lati\">n = 2k<\/span> partes iguais e nomeamos como <span class=\"lati\"> <strong>A<\/strong><sub>1 <\/sub>, A<sub>2 <\/sub>, &hellip; , A<sub><em>n<\/em><\/sub><\/span>, nessa ordem, os consecutivos pontos da divis\u00e3o. Esses pontos ser\u00e3o os <em>n\u00f3s<\/em> do processo.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 2 &#8211; <\/strong> Fixamos o ponto [tex]A_1[\/tex]: este ser\u00e1 o primeiro &#8220;<em>ponto visitado<\/em>&#8220;.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 3 &#8211; <\/strong>  Tra\u00e7amos o segmento de reta do ponto [tex]A_1[\/tex] ao ponto <span class=\"lati\">A<sub>1+k<\/sub><\/span> (demos [tex] k [\/tex] saltos). Assim, <span class=\"lati\">A<sub>1+k<\/sub><\/span> ser\u00e1 o nosso segundo <em>ponto visitado<\/em>.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 4 &#8211; <\/strong> O <strong>PASSO 3<\/strong> s\u00f3 poder\u00e1 ser executado mais uma vez: ao darmos [tex] k [\/tex] pulos a partir do ponto <span class=\"lati\">A<sub>1+k<\/sub><\/span>, chegaremos ao ponto <span class=\"lati\">A<sub>(1+k)+k<\/sub><\/span>.<br \/>\nComo <span class=\"lati\">(1+k)+k = 2k+1 = n+1<\/span>, isso significa que percorremos uma volta completa na circunfer\u00eancia e  retornamos ao ponto [tex]A_1[\/tex], que \u00e9 um ponto j\u00e1 visitado. O segmento definido neste segundo caminho \u00e9 o mesmo do primeiro.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/01\/figura1.gif\" alt=\"figura1\" width=\"372\" height=\"228\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28153\" \/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><span style=\"padding-left:30px; color: #8B5A2B; font-size:30px;\">&#9758; <\/span> Vale observar que, fixado um n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex] k [\/tex], se repetirmos o processo de constru\u00e7\u00e3o da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (2k , k)<\/span> por [tex] k [\/tex] vezes, tomando, nos respectivos <strong>PASSO 2<\/strong>, sucessivamente, os pontos [tex]A_1, \\,  A_2, \\,  \\cdots , A_k [\/tex], obteremos aqueles segmentos de reta concorrentes que observamos na <strong>Sala 1 sobre Estrelas<\/strong>.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/figura2.gif\" style=\"border: 0px;\" alt=\"figura2\" width=\"863\" height=\"292\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28351\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:15px; width: 90%; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<p><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:30px;\">&#10149;<\/span> Se [tex] n [\/tex] for um n\u00famero natural tal que  <span class=\"lati\">n &gt; 2<\/span> e <span class=\"lat\"><em>k<\/em> = 1<\/span>, a  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  ser\u00e1 um pol\u00edgono regular de [tex] n [\/tex] lados.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  value=\"Justificativa\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Justificativa';}\"     \/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:5px; padding-top:15px;  width: 95%; padding-left:10px; padding-right:10px;  background-color:#e3d8c4; text-align:justify ;margin-left: auto; margin-right: auto;\">\nSeja [tex] n [\/tex] um n\u00famero natural, <span class=\"lati\">n &gt; 2<\/span>.<br \/>\nVamos, agora, cumprir os passos que definem a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , 1)&nbsp;<\/span>:<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 1 &#8211; <\/strong> Dividimos uma circunfer\u00eancia em  [tex] n [\/tex]  partes iguais e chamamos de <span class=\"lati\"> <strong>A<\/strong><sub>1 <\/sub>, A<sub>2 <\/sub>, &hellip; , A<sub><em>n <\/em><\/sub> <\/span>, nessa ordem, os consecutivos pontos da divis\u00e3o.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 2 &#8211; <\/strong> Fixamos o ponto [tex]A_1[\/tex]: este ser\u00e1 o nosso primeiro <em>ponto visitado<\/em>.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 3 &#8211; <\/strong>  Tra\u00e7amos o segmento de reta do ponto [tex]A_1[\/tex] ao ponto [tex]A_2[\/tex] (demos <span class=\"lat\">1<\/span> salto). Dessa forma, [tex]A_2[\/tex] ser\u00e1 o nosso segundo <em>ponto visitado<\/em>.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/f21.gif\" style=\"border: 0px;\" alt=\"f21\" width=\"200\" height=\"200\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28409\" \/><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 4 &#8211; <\/strong> O <strong>PASSO 3<\/strong> poder\u00e1 ser executado mais <span class=\"lat\"><em>n<\/em> &#8211; 1<\/span> vezes:<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> tra\u00e7amos o segmento de reta de [tex]A_2[\/tex] para  [tex] A_3 [\/tex]  e  [tex] A_3 [\/tex]  ser\u00e1 o terceiro <em>ponto visitado<\/em>; <\/p>\n<p style=\"margin-bottom:1px\"> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/f22.gif\" style=\"border: 0px;\" alt=\"f22\" width=\"200\" height=\"200\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28412\" \/><\/p>\n<p style=\"margin-top:0px\">\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;. &nbsp; . &nbsp; . <\/strong><\/p>\n<p><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> tra\u00e7amos o segmento de reta de  [tex] A_{n-1} [\/tex]  para  [tex] A_n [\/tex]  e  [tex] A_n [\/tex]  ser\u00e1 o n-\u00e9simo <em>ponto visitado<\/em>;<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/fextra1.jpg\"  style=\"border: 0px;\" alt=\"fextra1\" width=\"200\" height=\"200\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34283\" \/><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> tra\u00e7amos o segmento de reta de  [tex] A_n [\/tex]  para [tex]A_1[\/tex]; e, como [tex]A_1[\/tex] j\u00e1 \u00e9 um <em>ponto visitado<\/em>, terminamos o processo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/fextra2.jpg\" style=\"border: 0px;\" alt=\"fextra2\" width=\"205\" height=\"200\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34286\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:15px; width: 90%; margin-left: auto; margin-right: auto;text-align:justify\">\n<p><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:30px;\">&#10149;<\/span> Seja [tex] n [\/tex] um n\u00famero natural maior do que <span class=\"lati\">5<\/span>.<br \/>\nSe  [tex] k [\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural tal que  [tex] k [\/tex] seja um divisor de [tex] n [\/tex]  e <span class=\"lati\"> &nbsp;1  &lt; k &lt; [tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> figura (n , k)&nbsp;<\/span> ser\u00e1 um pol\u00edgono regular com menos de [tex] n [\/tex] lados (mais especificamente, com<strong> [tex]\\dfrac{n}{k}[\/tex] <\/strong>lados).<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div style=\"text-align:center\">\n<input  value=\"Justificativa\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar ';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Justificativa';}\"     \/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:5px; padding-top:15px; padding-left:10px; padding-right:10px; width: 95%; background-color:#e3d8c4; text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\nSejam [tex] n \\, [\/tex] um n\u00famero natural maior do que [tex]5[\/tex]<span style=\"font-size: 13px;\"> ([tex]n &gt; 5[\/tex]) e [tex]k [\/tex] um divisor de [tex] n[\/tex] tal que  [tex]  \\,  \\, 1 \\lt k \\lt \\dfrac{n}{2}[\/tex].<\/span><br \/>\nInicialmente, observamos que, como [tex] k [\/tex] \u00e9 um divisor de [tex] n[\/tex], ent\u00e3o existe um n\u00famero natural  [tex]t[\/tex] tal que  [tex]n=k\\cdot t[\/tex]. Feita a observa\u00e7\u00e3o, vamos cumprir os passos que definem a  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong> :<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 1 &#8211; <\/strong> Dividimos uma circunfer\u00eancia em  [tex] n [\/tex]  partes iguais e chamamos de [tex] A_1, \\,  A_2, \\,  A_3,\\cdots, \\,  A_n[\/tex], nessa ordem, os consecutivos pontos da divis\u00e3o.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 2 &#8211; <\/strong> Fixamos o ponto [tex] A_1[\/tex]  como o nosso primeiro <em>ponto visitado<\/em>.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 3 &#8211; <\/strong>  Damos [tex] k[\/tex] saltos e tra\u00e7amos o segmento de reta do ponto [tex] A_1[\/tex] ao ponto [tex] A_{1+k}[\/tex]. Com isso, [tex] A_{1+k}[\/tex] ser\u00e1 o segundo  ponto visitado.<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\">&#9656;<\/span> <strong>PASSO 4 &#8211; <\/strong> O <strong>PASSO 3<\/strong> poder\u00e1 ser executado mais <span class=\"lat\"><em>t<\/em> &#8211; 1<\/span> vezes:<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> tra\u00e7amos o segmento de reta de [tex] A_{1+k}[\/tex] para [tex] A_{1+2k}[\/tex] ([tex]k[\/tex] saltos) e [tex] A_{1+2k}[\/tex] ser\u00e1 o terceiro <em>ponto visitado<\/em>;<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> tra\u00e7amos o segmento de reta de [tex] A_{1+2k}[\/tex] para [tex] A_{1+3k}[\/tex] ([tex]k[\/tex] saltos) e [tex] A_{1+3k}[\/tex] ser\u00e1 o quarto<em> ponto visitado<\/em>; <\/p>\n<p style=\"margin-top:0px\"><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;. &nbsp; . &nbsp; . <\/strong><\/p>\n<p><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> tra\u00e7amos o segmento de reta de [tex] A_{1+(t-2)k}[\/tex] para [tex] A_{1+(t-1)k}[\/tex] ([tex]k[\/tex] saltos) e [tex] A_{1+(t-1)k}[\/tex] ser\u00e1 o <em>t-\u00e9simo ponto visitado<\/em>;<br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> tra\u00e7amos o segmento de reta de  [tex] A_{1+(t-1)k}[\/tex] para [tex] A_{1+tk}=A_{1+n}=A_1[\/tex]. Como [tex]A_1[\/tex] j\u00e1 \u00e9 um <em>ponto visitado<\/em>, terminamos o processo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/f5final.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"f5final\" width=\"500\" height=\"486\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34386\" \/><br \/>\nTerminado o processo, obtemos um pol\u00edgono regular com [tex]t[\/tex] lados.<br \/>\nPor outro lado, como [tex]t[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 divisor de [tex]n[\/tex] e [tex]k \\ne 1[\/tex], ent\u00e3o [tex]t \\lt n[\/tex] e, portanto, a  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  \u00e9 um pol\u00edgono regular com menos de [tex]n[\/tex] lados.\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div>\n<input  value=\"Exemplos\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" style=\"width: 240px;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar exemplos';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exemplos';}\"\/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:5px; padding-top:15px;width: 95%;  padding-left:10px; padding-right:10px;  background-color:#e3d8c4; text-align:justify\">\n\tObservemos os casos particulares da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 2)&nbsp;<\/span>, da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 3)&nbsp;<\/span> e da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 4)&nbsp;<\/span>, nos quais obtemos, respectivamente, pol\u00edgonos regulares de 6, 4 e 3 lados.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/exemplo12b-1024x426.png\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"exemplo12b\" width=\"1024\" height=\"426\" class=\"aligncenter size-large wp-image-35049\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/exemplo12b-1024x426.png 1024w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/exemplo12b-300x124.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/exemplo12b.png 1189w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>\t<span style=\"padding-left:30px; color: #8B5A2B; font-size:30px;\">&#9758; <\/span> Vale, tamb\u00e9m, observar que, fixado um n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex] k [\/tex] que seja um divisor de [tex] n [\/tex], se repetirmos o processo de constru\u00e7\u00e3o da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , k)<\/span> por [tex] k [\/tex] vezes, tomando, nos respectivos <strong>PASSO 2<\/strong>, sucessivamente, os pontos <span class=\"lati\"> <strong>A<\/strong><sub>1 <\/sub>, A<sub>2 <\/sub>, &hellip; , A<sub><em>k<\/em><\/sub><\/span>, obteremos [tex] k [\/tex] pol\u00edgonos regulares com [tex]\\dfrac{n}{k}[\/tex] lados, ou seja, aquelas figuras que denominamos <strong><em>Falsas Estrelas<\/em><\/strong>, na <strong>Sala 1 sobre Estrelas<\/strong>.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input  value=\"Exemplos\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" style=\"width: 240px;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar exemplos';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exemplos';}\"\/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:5px; padding-top:15px; padding-left:10px; padding-right:10px;  background-color:#e3d8c4; text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\nObservemos, mais uma vez, os casos particulares da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 2)&nbsp;<\/span>, da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 3)&nbsp;<\/span> e da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 4)&nbsp;<\/span>, repetindo, agora, cada processo de constru\u00e7\u00e3o por 2, 3 e 4 vezes, respectivamente.<br \/>\n\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/exemplo12_falsas1.png\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"exemplo12_falsas\" width=\"911\" height=\"358\" class=\"aligncenter size-full wp-image-41342\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/exemplo12_falsas1.png 911w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/exemplo12_falsas1-300x118.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 911px) 100vw, 911px\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/exemplo12_falsasssss1.png\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"exemplo12_falsasssss\" width=\"927\" height=\"353\" class=\"aligncenter size-large wp-image-41343\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/exemplo12_falsasssss1.png 927w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/exemplo12_falsasssss1-300x114.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 927px) 100vw, 927px\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:15px; width: 90%;margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<p style=\"text-align:justify\"><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:30px;\">&#10149;<\/span>  Sejam [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex]  n\u00fameros naturais tais que  <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k<\/em> &lt; <em>n<\/em> <\/span>.<br \/>\nEnt\u00e3o as figuras <span class=\"lati\">(n , k)&nbsp;<\/span>  e &nbsp; <span class=\"lati\">(n , n &minus; k)&nbsp;<\/span> constru\u00eddas a partir de uma mesma circunfer\u00eancia s\u00e3o iguais.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div>\n<input value=\"Justificativa\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Justificativa';}\"     \/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:5px; padding-top:15px; padding-left:10px; padding-right:10px; width: 95%;  text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<p style=\"text-align:justify\">Tente justificar.<br \/>\nSe precisar, use a dica abaixo!<\/p>\n<div>\n<input  value=\"Dica\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" style=\"width: 100px;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Dica';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:5px; padding-top:15px; padding-left:5px; padding-right:5px;  background-color:#e3d8c4; text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\nSuponha, sem perda de generalidade, que <span class=\"lat\"> <em>k &lt; n &minus; k<\/em> <\/span>.<br \/>\nDivida uma circunfer\u00eancia em [tex] n [\/tex] partes iguais e fixe um dos pontos de divis\u00e3o como <span class=\"lat\"> A<sub>1<\/sub> <\/span>.<br \/>\nOnde voc\u00ea vai marcar os pontos <span class=\"lat\"> A<sub>1+k<\/sub> <\/span> e <span class=\"lat\"> A<sub>1+(n &#8211; k)<\/sub> <\/span>?<\/p>\n<ul>\n<li> Sequ\u00eancia de pontos visitados na constru\u00e7\u00e3o da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , k)<\/span>:<br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> A<sub>1<\/sub><\/span>;<br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> A<sub>1+k<\/sub><\/span>;<br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> &hellip;<\/span><br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> A<sub>1+(n &#8211; 2k)<\/sub><\/span>;<br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> A<sub>1+(n &#8211; k)<\/sub><\/span>. (Com mais um salto de <span class=\"lat\"> k<\/span> arcos, voltamos para  <span class=\"lat\"> A<sub>1<\/sub><\/span>.)<\/p>\n<p style=\"margin:20px \">\n<\/li>\n<li> Sequ\u00eancia de pontos visitados na constru\u00e7\u00e3o da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , n &#8211; k)<\/span>:<br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> A<sub>1<\/sub><\/span>;<br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> A<sub>1+(n &#8211; k)<\/sub><\/span> (\u00c9 como tiv\u00e9ssemos dado uma volta completa e dado um salto de [tex] k [\/tex] arcos para tr\u00e1s.)<br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> &hellip;<\/span><br \/>\n\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lat\"> A<sub>1+k<\/sub><\/span>: \u00faltimo <em>ponto visitado<\/em>. (Com mais um salto de <span class=\"lat\"> n &#8211; k<\/span> arcos, voltamos para  <span class=\"lat\"> A<sub>1<\/sub><\/span>.)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div >\n<input  value=\"Exemplos\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" style=\"width: 240px;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar os exemplos';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Exemplos';}\"\/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:5px; padding-top:15px; padding-left:10px; padding-right:10px;  background-color:#e3d8c4; text-align:justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\nObservemos os casos particulares da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 4)&nbsp;<\/span>e da <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 8)&nbsp;<\/span>. Em ambos os casos obtivemos um tri\u00e2ngulo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado1e2.jpg\"  style=\"border: 0px;\"  alt=\"estrelado1e2\" width=\"663\" height=\"307\" class=\"aligncenter size-full wp-image-35063\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado1e2.jpg 663w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado1e2-300x138.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 663px) 100vw, 663px\" \/><br \/>\nObservemos mais dois casos particulares: a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 5)&nbsp;<\/span>e a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (12 , 7)&nbsp;<\/span>.<br \/>\nVoc\u00ea consegue distinguir uma figura da outra?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado3.jpg\" alt=\"estrelado3\" width=\"279\" height=\"348\" class=\"aligncenter size-full wp-image-35066\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado3.jpg 279w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado3-240x300.jpg 240w\" sizes=\"auto, (max-width: 279px) 100vw, 279px\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>Esse \u00faltimo exemplo, na verdade, \u00e9 uma importante propriedade das <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , k)<\/span>: fixado um  n\u00famero natural [tex] n [\/tex], com   <span class=\"lat\"> 2 &lt; <em>n<\/em><\/span>, para conhecer todas as <span class=\"lati\">  figuras (n , k)<\/span>, basta analisar os casos em que [tex] k [\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo tal que &nbsp;<span class=\"lat\"><em> k<\/em> &lt; [tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex] <\/span>. Afinal, j\u00e1 sabemos o que acontece quando &nbsp; <span class=\"lati\"><strong> [tex] k =\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong><\/span>, n\u00e3o \u00e9?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:551px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td  class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:400px;\">Agora, vamos utilizar as <span class=\"lati\"> <span style=\"color: #1C1C1C;\">figuras (n , k)<\/span><\/span> para tentar responder \u00e0 pergunta formulada no final da discuss\u00e3o da primeira Sala sobre Estrelas.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<div class=\"gr1 cbm2\">\n<p class=\"ti1 cm\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">II &#8211; Analisando as situa\u00e7\u00f5es apresentadas <\/p>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; border: 0 none\">\n<hr style=\"height:1px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom:5px; border: 0 none\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Iniciamos a discuss\u00e3o da Sala 1 sobre Estrelas formulando um problema, que foi respondido. Em seguida, aprofundamos a discuss\u00e3o e formulamos uma nova pergunta, que ficou sem resposta. Vamos retomar o problema  inicial, para tentar respond\u00ea-lo utilizando a ideia de  <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , k)<\/span>, e depois completar a discuss\u00e3o respondendo a segunda pergunta. Para tanto, sejam [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex]  n\u00fameros naturais tais que &nbsp; <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k<\/em> &lt; <em>n<\/em> <\/span>. <\/p>\n<div class=\"gr2 cb83 bgm2\" style=\"width: 95%;\" >\n<p>Que figuras podemos obter ao dividirmos uma circunfer\u00eancia em [tex] n [\/tex]  partes iguais e ligarmos, consecutivamente, os [tex] n [\/tex]  pontos que determinam essa divis\u00e3o por segmentos de reta, saltando de [tex] k [\/tex] em [tex] k [\/tex] pontos ?<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Sejam <span class=\"lati\"> <strong>A<\/strong><sub>1 <\/sub>, A<sub>2 <\/sub>, &hellip; , A<sub><em>n <\/em><\/sub> <\/span> os pontos que dividem uma dada circunfer\u00eancia em [tex] n [\/tex] partes iguais. As figuras que obtemos ao ligarmos, consecutivamente, os [tex] n [\/tex] pontos que determinam a divis\u00e3o por segmentos de reta, saltando de [tex] k [\/tex] em [tex] k [\/tex] pontos (saltando [tex] k [\/tex] arcos) s\u00e3o <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , k)<\/span> (apenas uma ou mais figuras) e os pontos <span class=\"lati\"> <strong>A<\/strong><sub>1 <\/sub>, A<sub>2 <\/sub>, &hellip; , A<sub><em>n <\/em><\/sub> <\/span> s\u00e3o os seus respectivos n\u00f3s. Logo, a pergunta sem resposta da Sala anterior pode ser assim reformulada:<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"gr2 cb83 bgm2\"style=\"width: 95%;\">\n<p>Sejam [tex] n [\/tex]  e  [tex] k [\/tex] n\u00fameros naturais tais que <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k<\/em> &lt; <em>n <\/em> <\/span>. Podemos concluir se uma <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , k)<\/span> \u00e9 uma estrela n\u00e3o falsa com [tex] n [\/tex] pontas, a partir, apenas, dos valores num\u00e9ricos de [tex] n [\/tex]  e  [tex] k [\/tex]?<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Vamos em busca de respostas.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Observamos, inicialmente que, como <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k<\/em> &lt; <em>n<\/em> <\/span>, necessariamente, <span class=\"lat\"><em>n<\/em> &ge; 2<\/span>. Mas o que mais podemos concluir, a partir das discuss\u00f5es j\u00e1 feitas nesta Sala e, tamb\u00e9m, na Sala 1 sobre Estrelas?<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Vejamos:<\/p>\n<ul>\n<li> Se <span class=\"lat\"><em>n<\/em><\/span> for par e <span class=\"lat\"><strong>[tex]k=\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong><\/span>, obteremos um segmento de reta. <\/li>\n<p>Particularmente, se  <span class=\"lat\"><em>n = <\/em>2<\/span>, ent\u00e3o <span class=\"lat\"><em>k<\/em> = 1<\/span> e  a  <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , k)<\/span>, ou seja, a  <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (2 , 1)<\/span> \u00e9 um segmento de reta.<br \/>\n(Se <span class=\"lat\"><em>n &gt; <\/em>2<\/span>, \u00e9 poss\u00edvel a repeti\u00e7\u00e3o cont\u00ednua do processo da constru\u00e7\u00e3o de  <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , 1)<\/span> e, neste caso, obteremos <span class=\"lat\"><em>n<\/em>\/2<\/span> segmentos de reta concorrentes.)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify; padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#8B5A2B; border-width:thin; width:500px;\"> <span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10152;<\/span> Dessa forma, n\u00e3o encontraremos estrelas quando <span class=\"lat\"><strong>[tex]k=\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong><\/span>. <\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<li> Antes de prosseguirmos com nossa an\u00e1lise, lembramos que as figuras <span class=\"lati\">(n , k)&nbsp;<\/span>  e &nbsp; <span class=\"lati\">(n , n &minus; k)&nbsp;<\/span> s\u00e3o iguais, para cada n\u00famero <span class=\"lat\"><em>k<\/em><\/span> fixado.\n<p style=\"text-align:justify; padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#8B5A2B; border-width:thin; width:90%\"><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10152;<\/span>  Portanto, podemos considerar na nossa discuss\u00e3o apenas os n\u00fameros naturais <span class=\"lat\"><em>k<\/em><\/span> tais que <span class=\"lat\"><strong>[tex]k\\lt\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong><\/span>; pois, se a <span class=\"lati\">figura (n , k)&nbsp;<\/span> for uma estrela de [tex] n [\/tex] pontas, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> figura (n , n &#8211; k)<\/span> tamb\u00e9m o ser\u00e1.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/li>\n<li>Fixado <span class=\"lat\"><em>n<\/em><\/span>, a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , 1)<\/span> \u00e9 um pol\u00edgono regular de [tex] n [\/tex] lados.<\/li>\n<p style=\"text-align:justify; padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#8B5A2B; border-width:thin; width:450px;\"><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10152;<\/span>  Logo, n\u00e3o encontraremos estrelas para <span class=\"lat\"> <em>k = <\/em>1<\/span>.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<li>Fixado <span class=\"lat\"><em>n<\/em><\/span>, se <span class=\"lat\"><em>k<\/em><\/span> \u00e9 um divisor de <span class=\"lat\"><em>n<\/em><\/span> e  <span class=\"lat\"><em>k<\/em> &ne; 1<\/span>, ent\u00e3o a  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  \u00e9 um pol\u00edgono regular com menos de [tex] n [\/tex] lados.<br \/>\n(Aqui, particularmente \u00e9 poss\u00edvel a repeti\u00e7\u00e3o cont\u00ednua do processo de constru\u00e7\u00e3o de <span class=\"lati\"> figuras (n , k)<\/span> e, neste caso, obteremos [tex] k [\/tex] pol\u00edgonos regulares com [tex]\\dfrac{n}{k}[\/tex] lados &#8211; estrelas falsas.)<\/li>\n<p style=\"text-align:justify; padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#8B5A2B; border-width:thin; width:550px;\"> <span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10152;<\/span> Portanto, n\u00e3o encontraremos estrelas quando <span class=\"lat\"> <em> k <\/em><\/span> for um divisor de [tex] n \\, . [\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/ul>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span> J\u00e1 observamos algumas situa\u00e7\u00f5es nas quais <strong>n\u00e3o obtemos estrelas<\/strong>. Com isso, nesse ponto da discuss\u00e3o, algu\u00e9m pode conjecturar que, se [tex] k [\/tex] n\u00e3o for um divisor de [tex] n [\/tex], ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , k)<\/span> ser\u00e1 uma estrela de [tex] n [\/tex] pontas. Ser\u00e1 que essa afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 correta?<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Observe a <span class=\"lati\"> figura (15 , 6)<\/span>.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado4.jpg\"  style=\"border: 0px;\" alt=\"estrelado4\" width=\"321\" height=\"308\" class=\"aligncenter size-full wp-image-35188\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado4.jpg 321w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado4-300x287.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 321px) 100vw, 321px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>A <span class=\"lati\"> figura (15 , 6)<\/span> \u00e9, de fato, uma estrela,  mas \u00e9 uma estrela de cinco pontas, ou seja, n\u00e3o visitamos os <span class=\"lat\"> 15 <\/span> n\u00f3s obtidos na divis\u00e3o da circunfer\u00eancia. E note que essa estrela pode ser feita com menos de <span class=\"lat\"> 15 <\/span> n\u00f3s, n\u00e3o \u00e9?<br \/>\n <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado5.jpg\" style=\"border: 0px;\" alt=\"estrelado5\" width=\"308\" height=\"297\" class=\"aligncenter size-full wp-image-35190\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado5.jpg 308w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelado5-300x289.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 308px) 100vw, 308px\" \/><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:30px;\">&#9758; <\/span> Aqui, vale a pena observarmos que se repetirmos o processo de constru\u00e7\u00e3o da <span class=\"lati\"> &nbsp;figura (15 , 6)<\/span> <span class=\"lati\">3<\/span> vezes, tomando em cada  <strong>PASSO 2<\/strong>, sucessivamente, os pontos <span class=\"lati\"> <strong>A<\/strong><sub>1 <\/sub>, A<sub>2 <\/sub>, A<sub><em>3<\/em><\/sub><\/span>, visitaremos os 15 pontos e obteremos uma bela figura. Mas o resultado final n\u00e3o \u00e9 o que definimos como uma Estrela e sim a sobreposi\u00e7\u00e3o de tr\u00eas estrelas de cinco pontas.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/15_sobrepostas.jpg\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"15_sobrepostas\" width=\"650\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-42099\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align:justify; padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#8B5A2B; border-width:thin; width:95%;\"><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10152;<\/span>  Pelo exposto, podemos encontrar estrelas nas situa\u00e7\u00f5es nas quais <span class=\"lati\"> <em>k<\/em> <\/span> n\u00e3o \u00e9 divisor de [tex] n [\/tex], mas n\u00e3o encontraremos necessariamente estrelas de [tex] n [\/tex] pontas.<\/p>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Pelo at\u00e9 agora discutido, n\u00e3o ficamos com muitas possibilidades para caracterizarmos uma estrela de <span class=\"lati\"> <em>n <\/em><\/span> pontas como um caso particular das <span class=\"lati\"> figuras (n , k)<\/span>, para [tex] n [\/tex] fixo: <\/p>\n<ul>\n<li>se <span class=\"lati\"> <em>k<\/em> <\/span> \u00e9 um divisor de <span class=\"lati\"> <em>n <\/em><\/span> n\u00e3o definimos estrelas; <\/li>\n<li>se [tex] k [\/tex]e <span class=\"lati\"> <em>n <\/em><\/span> t\u00eam fatores distintos de <span class=\"lati\"> <em>1 <\/em><\/span> em comum, podemos at\u00e9 definir estrelas, mas n\u00e3o necessariamente estrelas com <span class=\"lati\"> <em>n <\/em><\/span> pontas.<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Se <span class=\"lati\"> <em>k <\/em><\/span> for distinto de 1, sobrou, ent\u00e3o, para as estrelas de <span class=\"lati\"> <em>n <\/em><\/span> pontas a condi\u00e7\u00e3o de que  <span class=\"lati\"> <em>k <\/em><\/span> e <span class=\"lati\"> <em>n <\/em><\/span> n\u00e3o tenham fatores em comum diferentes de <span class=\"lat\"> <em>1 <\/em><\/span>. Ao que tudo indica, a resposta para a pergunta n\u00e3o respondida \u00e9:<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p class=\"gr2 cb83 bgm2\" style=\"width:500px;\">Uma  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  ser\u00e1 uma estrela de <span class=\"lati\"> <em>n <\/em><\/span> pontas, se <span class=\"lati\"> <em>1 &lt; k &lt; n &minus; 1 <\/em><\/span> e o m\u00e1ximo divisor comum entre <span class=\"lati\"> <em>n <\/em><\/span> e <span class=\"lati\"> <em>k <\/em><\/span> for <span class=\"lati\"> <em>1 <\/em><\/span> ([tex] mdc(n,k) = 1 [\/tex]). <\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>No entanto, precisamos mais do que falta de op\u00e7\u00f5es para garantirmos a veracidade dessa nossa conjectura; mas vamos deixar essa discuss\u00e3o para a pr\u00f3xima sess\u00e3o.\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:530px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 v\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td  class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:400px;\">Voc\u00ea sabe calcular o MDC de dois n\u00fameros naturais?<br \/>\nEsta <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=7507\" title=\" Algoritmo de Euclides para determina\u00e7\u00e3o de MDC\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #ffffff;\"><strong>Sala de Estudo<\/strong><\/span> <\/a>pode lhe ajudar!<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<div class=\"gr1 cbm2\">\n<p class=\"ti1 cm\"  style=\"line-height:25px;margin:10px\"> III &#8211; Afinal, uma defini\u00e7\u00e3o para as nossas estrelas<\/p>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; border: 0 none\">\n<hr style=\"height:1px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; border: 0 none\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"> <\/span>Vamos iniciar a nossa discuss\u00e3o observando que, mesmo que  [tex] n [\/tex]  e [tex] k [\/tex] sejam n\u00fameros naturais tais que <span class=\"lati\">n&nbsp;&gt;&nbsp;4 <\/span> e <span class=\"lat\"> 1&nbsp;&lt;&nbsp;<em>k<\/em>&nbsp;&lt;&nbsp;<em>n &minus; 1<\/em>&nbsp;<\/span>, o que temos at\u00e9 agora n\u00e3o nos garante que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px \">\n<p style=\"padding-left:30px;\">(1)  Os quatro passos da defini\u00e7\u00e3o de <span class=\"lati\"> figuras (n , k)<\/span> resultam em um conjunto finito de segmentos de reta.<br \/>\n(2) Se [tex] mdc(n,k) = 1 [\/tex], ent\u00e3o a  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  \u00e9 uma estrela de [tex]n[\/tex] pontas.<br \/>\n(3) Se uma  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  for uma estrela de [tex]n[\/tex] pontas, ent\u00e3o [tex] mdc(n,k) = 1 [\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px \">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"> <\/span>E a veracidade dessas tr\u00eas afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o essenciais para sustentar a resposta que conjecturamos para a intrigante pergunta formulada na Sala 1.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"> <\/span>A primeira observa\u00e7\u00e3o est\u00e1 intimamente ligada ao <strong>*<\/strong> colocado no t\u00edtulo desta Sala: <span style=\"color: #8B5A2B;\"><strong>Estrelas, uma defini\u00e7\u00e3o algor\u00edtmica<sup>*<\/sup><\/strong><\/span>. Para esclarecer o * e a observa\u00e7\u00e3o (1), lembremos o que \u00e9 um algoritmo.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p style=\"text-align:justify; padding: 10px; border-style: dotted; border-color :#8B5A2B; border-width :thin; width:85%; margin-left: auto; margin-right: auto;\">Sem muito formalismo, podemos dizer que um <strong>algoritmo <\/strong>\u00e9  uma sequ\u00eancia finita de instru\u00e7\u00f5es (passos) que permitem a execu\u00e7\u00e3o de uma dada tarefa.<br \/>\nPor ser uma sequ\u00eancia <strong>finita <\/strong>de instru\u00e7\u00f5es, \u00e9 essencial que  a execu\u00e7\u00e3o das regras que definem um algoritmo termine em um determinado momento. <\/p>\n<\/div>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Embora a defini\u00e7\u00e3o de <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , k)<\/span> tenha sido feita a partir de uma sequ\u00eancia de, apenas, quatro passos, o terceiro passo pode ser executado mais de uma vez; portanto, o que nos garante que o processo de defini\u00e7\u00e3o de uma <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , k)<\/span> sempre ter\u00e1 um fim, j\u00e1 que [tex]n[\/tex] poder\u00e1 ser, inclusive, um n\u00famero natural muito grande?<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>A condi\u00e7\u00e3o de parada do nosso algoritmo de defini\u00e7\u00e3o \u00e9 tra\u00e7ar um segmento de reta cuja extremidade final seja um ponto (n\u00f3) j\u00e1 visitado; assim cabe a pergunta: esse ponto existe para qualquer n\u00famero natural [tex]n[\/tex] maior do que [tex]1[\/tex]?<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>A resposta positiva para essa pergunta encontra justificativa em uma ferramenta utilizada frequentemente na matem\u00e1tica: <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=14056\" title=\"Visite a Sala de Estudo desse Princ\u00edpio.\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #1A61E4;\">Princ\u00edpio da Casa dos Pombos<\/span><\/a>. No nosso caso, esse princ\u00edpio garante matematicamente um fato que intuitivamente \u00e9 f\u00e1cil de ser observado:  com efeito, como a circunfer\u00eancia que define a  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  foi dividida em [tex] n [\/tex] arcos congruentes, ent\u00e3o existem [tex] n [\/tex] n\u00f3s e, portanto, existir\u00e3o, no m\u00e1ximo, [tex] n [\/tex] pontos visitados. Dessa forma, independentemente do n\u00famero natural [tex] n [\/tex], o passo 3 da defini\u00e7\u00e3o poder\u00e1 ser repetido, no m\u00e1ximo, [tex] n [\/tex] vezes.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Assim, temos garantidas duas condi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<p style=\"margin:10px \">\n<p>\t<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;padding-left:50px\">&#10152;<\/span> A defini\u00e7\u00e3o de <span class=\"lati\"> figuras (n , k)<\/span> \u00e9, de fato, um algoritmo.<\/p>\n<p style=\"margin-left:50px; margin-right:40px;\"><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10152;<\/span> A defini\u00e7\u00e3o de <span class=\"lati\"> figuras (n , k)<\/span> aplicada particularmente para n\u00fameros naturais [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex] tais que  <span class=\"lati\"> mdc(n,k) = 1 <\/span> resulta, certamente, em um conjunto finito de segmentos de reta.<\/p>\n<p style=\"margin:10px \">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Embora verdadeiras, justificar matematicamente as afirma\u00e7\u00f5es (2) e (3) \u00e9 um pouco complicado. Podemos faz\u00ea-lo utilizando propriedades do estudo dos restos de uma divis\u00e3o euclidiana ou utilizando n\u00fameros complexos, mais especificamente, ra\u00edzes primitivas da unidade. De qualquer forma, a justificativa matem\u00e1tica das duas afirma\u00e7\u00f5es foge dos objetivos desta Sala de Estudo; mas se voc\u00ea se interessou pelos dois caminhos indicados para a demonstra\u00e7\u00e3o das afirma\u00e7\u00f5es, consulte este texto: <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelados2.pdf\" title=\"Texto do PROFMAT\"><span style=\"color: #1A61E4;\"><strong>Pol\u00edgonos Estrelados Regulares<\/strong><\/span><\/a>.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Considerando a veracidade das afirma\u00e7\u00f5es (1), (2) e (3), faz sentido definirmos, finalmente, as nossas estrelas:<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p class=\"gr2 cb83 bgm2\" style=\"width:90%;\">Sejam  [tex] n [\/tex]  e [tex] k [\/tex] n\u00fameros naturais tais que <span class=\"lati\">n &gt; 4 <\/span> e <span class=\"lat\"> 1 &lt; <em>k<\/em> &lt; <em>n &minus; 1<\/em> <\/span>. Chamamos de estrela de  [tex] n [\/tex]  pontas a toda <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , k)<\/span> tal que   [tex] n [\/tex]  e [tex] k [\/tex] sejam primos entre si, ou seja, [tex] mdc(n,k) = 1 [\/tex]. <\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:535px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/09\/carinha_legal.jpg\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"carinha_legal\" width=\"150\" height=\"120\" class=\"alignleft size-full wp-image-22758\" \/><\/td>\n<td  class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:350px;\">Um objeto geom\u00e9trico definido algebricamente!<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<div class=\"gr1 cbm2\">\n<p class=\"ti1 cm\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> IV &#8211; Novos exemplos e novas considera\u00e7\u00f5es<\/p>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; border: 0 none\">\n<hr style=\"height:1px;background-color:#8B5A2B;  margin-top:5px; margin-bottom:5px; border: 0 none\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"> <\/span>Agora ficou muito f\u00e1cil determinar os valores de [tex] k [\/tex] que definem estrelas de [tex] n [\/tex] pontas em uma circunfer\u00eancia dividida em [tex] n [\/tex] partes iguais: para cada natural [tex] k [\/tex], com <span class=\"lati\">0 &lt; k &lt; n<\/span>,  basta verificar se [tex] mdc(n,k) = 1 [\/tex], ou seja, se [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex] s\u00e3o o que a matem\u00e1tica define como <strong><em> primos entre si<\/em><\/strong>. Vejamos alguns exemplos.<\/p>\n<div style=\"text-align:center; width:99%;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:15px;  width:98%;text-align: justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<p> <span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10149;<\/span>Se [tex]n=20[\/tex], as estrelas de 20 pontas aparecem quando <span class=\"lati\"> k = 3; 7; 9; 11; 13; 17<\/span>.<br \/>\nAl\u00e9m disso, s\u00e3o iguais as estrelas definidas para saltos de  &#8220;3 em 3 e 17 em 17&#8221;; &#8220;7 em 7 e 13 em 13&#8221; e &#8220;9 em 9 e 11 em 11&#8221;.<br \/>\nQuando [tex]k=1[\/tex] ou [tex]k=19[\/tex], definimos um icos\u00e1gono regular.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div >\n<input  value=\"M D C\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" style=\"width: 95px;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'M D C';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none; width: 99%;\">\n<table style=\"width:99%; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,2) = 2<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,3) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,4) = 4<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,5) = 5<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,6) = 2<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,7) = 1<\/span><\/td>\n<td><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,8) = 4<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,9) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,10) = 10<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,11) = 1 <\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,12) = 4 <\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,13) = 1 <\/span><\/td>\n<td><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,14) = 2 <\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,15) = 5 <\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,16) = 4 <\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,17) = 1 <\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(20,18) = 2 <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div style=\"border: 1px solid #8B5A2B; padding:15px;  width:98%;text-align: justify; auto margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>Voc\u00ea pode conferir essas tr\u00eas estrelas e o icosaedro regular utilizando o <em>applet<\/em> abaixo. Para utilizar o <em>applet<\/em>, basta clicar na setinha e nas op\u00e7\u00f5es desejadas.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n\t<iframe loading=\"lazy\"  src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/h0xTGKXQ\/width\/730\/height\/430\/border\/ffffff\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/true\/ld\/false\/sri\/false\/at\/auto\" width=\"730\" height=\"430\" style=\"border: 1px solid #8B5A2B;\"> <\/iframe><br \/>\n\t<span style=\"font-size:12px\">OBMEP_srdg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" >GeoGebra<\/a><\/span><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>Voc\u00ea tamb\u00e9m pode utilizar o gif animado para visualizar o icos\u00e1gono regular e as tr\u00eas estrelas. <\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input  value=\"Gif animado\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Gif animado';}\"   \/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelados_20_2animado.gif\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"estrelados_20_2animado\" width=\"537\" height=\"582\" class=\"aligncenter size-full wp-image-35532\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>Voc\u00ea pode, ainda, copiar o arquivo abaixo e utiliz\u00e1-lo em seu computador.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input  class=\"bo1 bbgm\" type=button  onClick=\"parent.location='http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelados_20.ggb'\" value='Arquivo 1' title=\" Arquivo do GeoGebra\"\/>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Pelo exposto no in\u00edcio da discuss\u00e3o, quando  <span class=\"lati\"> k = 2; 4; 5<\/span> obtemos pol\u00edgonos regulares de, respectivamente, 10, 5 e 4 lados.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/juntos-1024x333.jpg\" style=\"border: 1px solid #8B5A2B;\" alt=\"juntos\" width=\"1024\" height=\"333\" class=\"aligncenter size-large wp-image-35802\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/juntos-1024x333.jpg 1024w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/juntos-300x97.jpg 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/juntos.jpg 1039w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Como as figuras <span class=\"lati\">(n , k)&nbsp;<\/span>  e &nbsp; <span class=\"lati\">(n , n &minus; k)&nbsp;<\/span> s\u00e3o as mesmas, quando <span class=\"lati\"> k = 18; 16; 15<\/span> obtemos, tamb\u00e9m, pol\u00edgonos regulares de, respectivamente, 10, 5 e 4 lados.\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:15px; width:96%;text-align: justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<p> <span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10149;<\/span>Se [tex]n=13[\/tex], s\u00f3 n\u00e3o temos estrelas de 13 pontas para  [tex]k=1[\/tex] e [tex]k=12[\/tex], quando obtemos um tridec\u00e1gono regular. <\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input value=\"M D C\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" style=\"width: 95px;\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'M D C';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<table style=\"width:70%; height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,2) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,3) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,4) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,5) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,6) = 1<\/span><\/td>\n<td>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,7) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,8) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,9) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,10) = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10003;<\/span> <span class=\"lati\">mdc(13,11) = 1 <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div style=\"border: 1px solid #8B5A2B; padding:15px;  width:90%; text-align: justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>Voc\u00ea pode conferir as cinco  estrelas e o tridec\u00e1gono regular utilizando o <em>applet<\/em> abaixo. Voc\u00ea pode utilizar o <em>applet<\/em> clicando na setinha e nas op\u00e7\u00f5es desejadas.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/QYy4JNV6\/width\/730\/height\/400\/border\/ffffff\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/true\/ld\/false\/sri\/false\/at\/auto\" width=\"730\" height=\"400\" style=\"border: 1px solid #8B5A2B;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size: 12px\">OBMEP_srdg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" >GeoGebra<\/a><\/span><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:30px;\"><\/span>Se for conveniente,  copie o arquivo abaixo e utilize-o em seu computador.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><input  class=\"bo1 bbgm\" type=button  onClick=\"parent.location='http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/estrelados_13.ggb'\" value='Arquivo 2' title=\" Arquivo do GeoGebra\"\/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:540px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:400px;\">Nos exemplos acima, para [tex]n=13[\/tex] foi poss\u00edvel classificar todos os saltos, antes de execut\u00e1-los, mas para [tex]n=20[\/tex]; faltou determinar o que acontece quando saltamos de 6 em 6 (ou de 14 em 14) e de 8 em 8 (ou de 12 em 12). Para esses casos tamb\u00e9m conseguimos, de alguma forma, prever o que vai acontecer?<\/p>\n<\/td>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/carinha4.jpg\" alt=\"carinha4\" width=\"93\" height=\"87\" class=\"alignleft size-full wp-image-3060\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:477px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td  class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:350px;\">Sim!<br \/>\nAcompanhe com aten\u00e7\u00e3o a pr\u00f3xima observa\u00e7\u00e3o&#8230;<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"border: 1px dotted #8B5A2B; padding:15px;  width:90%;text-align: justify; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n <span style=\"color: #8B5A2B; font-size:20px;\">&#10149;<\/span>Vamos ampliar a pergunta feita no final da Sala 1 sobre Estrelas:<\/p>\n<div style=\"text-align:center;width:95%;\">\n<p class=\"gr3 cb83 bgm2\">Ao dividirmos uma circunfer\u00eancia em [tex] n [\/tex]  partes iguais e ligarmos, consecutivamente, os [tex] n [\/tex]  pontos que determinam a divis\u00e3o por segmentos de reta, saltando de [tex] k [\/tex] em [tex] k [\/tex] pontos obtemos o que definimos como <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , k)<\/span>.<br \/>\nMas, fixado [tex] n \\gt 1[\/tex], que <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , k)<\/span> obtemos para cada inteiro [tex] k [\/tex] tal que <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k <\/em> &lt; <em> n<\/em><\/span> ?<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"> <\/span>Pelo que j\u00e1 discutimos nesta Sala, resta, apenas, observar o que acontece para inteiros [tex] k [\/tex] tais que &#8220;<span class=\"lati\">mdc(n,k) &ne; 1<\/span>  e [tex] k [\/tex] n\u00e3o \u00e9 divisor de [tex] n [\/tex]&#8221;.<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"> <\/span>Encontramos resposta para esse caso na Teoria dos N\u00fameros, mais uma vez! Existe uma propriedade muito \u00fatil dos n\u00fameros naturais que nos garante que:<\/p>\n<ul>\n<li>Se <span class=\"lati\"> a<\/span>, <span class=\"lati\"> b<\/span> e <span class=\"lati\"> d<\/span> s\u00e3o n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos, ent\u00e3o <span class=\"lati\">mdc(a &middot; d , b &middot; d) = d &middot; mdc(a , b) <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Pois bem, no nosso caso \u00e9 poss\u00edvel mostrar (n\u00e3o faremos, pois tamb\u00e9m foge dos objetivos desta Sala de Estudos) que:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> Se <span class=\"lati\">d = mdc(n , k) <\/span>, <span class=\"lati\"> n = a &middot; d <\/span> &nbsp; e &nbsp; <span class=\"lati\"> k = b &middot; d <\/span>, ent\u00e3o  a  <strong><em> figura (n , k) <\/em><\/strong>  \u00e9 a <span class=\"lati\"> figura (a , b)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Mais ainda, como [tex]a=\\dfrac{n}{d}[\/tex], [tex]b=\\dfrac{k}{d}[\/tex] e [tex]d=mdc(n, k)[\/tex], uma segunda propriedade dos n\u00fameros inteiros nos garante que <span class=\"lati\">mdc(a , b) = 1<\/span> e, dessa forma, a <span class=\"lati\"> figura (a , b)<\/span> \u00e9 uma estrela  de <span class=\"lati\"> a<\/span> pontas.\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:549px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:400px;\">Se eu entendi a observa\u00e7\u00e3o, como <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\">n = 20 = 10 &middot; 2 <\/span><\/span> e <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\">k = 6 = 3 &middot; 2 <\/span><\/span>, a <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\"> figura (20 , 6)<\/span><\/span> \u00e9 uma estrela  de <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\"> 10<\/span><\/span> pontas.<br \/>\nE como <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\">n = 20 = 5 &middot; 4 <\/span><\/span> e <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\">k = 8 = 4 &middot; 2 <\/span><\/span>, a <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\"> figura (20 , 8)<\/span><\/span> \u00e9 uma estrela  de <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\"> 5<\/span><\/span> pontas.<\/p>\n<\/td>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/carinha6.jpg\" style=\"border: 0px;\" alt=\"carinha6\" width=\"96\" height=\"110\" class=\"alignleft size-full wp-image-3062\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:550px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:400px;\">Isso mesmo!<br \/>\nA <span class=\"lati\"> <span style=\"color: #1C1C1C;\"> &nbsp; figura (20 , 6) &nbsp;<\/span><\/span> \u00e9 a <span class=\"lati\"> <span style=\"color: #1C1C1C;\"> &nbsp;figura (10 , 3) &nbsp;<\/span><\/span> e a <span class=\"lati\"><span style=\"color: #1C1C1C;\">  &nbsp;figura (20 , 8) &nbsp;<\/span><\/span> \u00e9 a <span class=\"lati\"> <span style=\"color: #1C1C1C;\">  &nbsp; figura (5, 2)<\/span><\/span>.<br \/>\nConfira abaixo&#8230; <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/final.jpg\" alt=\"final\" width=\"629\" height=\"630\" class=\"aligncenter size-full wp-image-35932\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/final.jpg 629w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/final-150x150.jpg 150w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/final-300x300.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 629px) 100vw, 629px\" \/>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:423px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td  class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:300px;\"> Vamos passar a limpo as nossas ideias&#8230;<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"gr1 cbm2\">\n<p class=\"ti1 cm\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> V &#8211; Um roteiro<\/p>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; border: 0 none\">\n<hr style=\"height:1px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; border: 0 none\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span> Com tudo que desenvolvemos e assumimos nesta Sala, podemos estabelecer um roteiro para responder a pergunta geral formulada. Vejamos&#8230;<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div class=\"gr2 cb83 bgm2\"style=\"width: 95%;\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Fixado um n\u00famero natural n\u00e3o nulo  [tex] n [\/tex], que <span class=\"lati\"> &nbsp; figuras (n , k)<\/span> obtemos para cada inteiro [tex] k [\/tex] tal que <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k <\/em> &lt; <em> n<\/em><\/span><\/strong> ?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Sejam [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex] n\u00fameros naturais tais que <span class=\"lat\"> 0 &lt; <em>k <\/em> &lt; <em> n<\/em><\/span>.<br \/>\n <strong><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\"> &#8669;<\/span> Passo 1:<\/strong> Verifique se <span class=\"lat\"> <em>k <\/em> &le; <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong><\/span>.<\/p>\n<ul>\n<li>Se <span class=\"lat\"> <em>k <\/em> &le; <em>  <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong> <\/em><\/span>, fa\u00e7a <span class=\"lat\"> <em>t <\/em> = <em> k <\/em><\/span> e aplique os passos seguintes para <span class=\"lati\"> t <\/span>. <\/li>\n<li>Se <span class=\"lat\"> <em>k <\/em> &ge; <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong><\/span>, fa\u00e7a <span class=\"lat\"> <em>t <\/em> = <em> n &#8211; k <\/em><\/span> e aplique os passos seguintes para <span class=\"lati\"> t <\/span>. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Com esse passo asseguramos que trabalharemos apenas com n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos, no m\u00e1ximo, iguais a <span class=\"lat\">   <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong><\/span> e sem perder a generalidade do problema, uma vez que a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , k)<\/span> e a  <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , n &#8211; k)<\/span> s\u00e3o iguais.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p> <strong><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\"> &#8669;<\/span> Passo 2:<\/strong> Verifique se <span class=\"lat\"> <em>t = <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong> <\/em><\/span>.<\/p>\n<ul>\n<li>Se <span class=\"lat\"> <em>t =  <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong> <\/em><\/span>, ent\u00e3o [tex] n [\/tex] \u00e9 par e a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , t)<\/span> \u00e9 <span style=\"color: #8B5A2B;\"><strong>um segmento de reta<\/strong><\/span>.<\/li>\n<li>Se <span class=\"lat\"> <em>t &ne;  <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong> <\/em><\/span>, v\u00e1 para o <strong> Passo 3<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Se o pr\u00f3ximo Passo for executado, significa que <span class=\"lat\"> <em>t &ne;  <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong> <\/em><\/span>; portanto, nos pr\u00f3ximos passos, <span class=\"lat\"> <em>t &lt;  <strong>[tex]\\dfrac{n}{2}[\/tex]<\/strong> <\/em><\/span> e <span class=\"lat\"> <em>n &gt; 2 <\/em><\/span>, necessariamente.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p> <strong><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\"> &#8669;<\/span> Passo 3:<\/strong> Verifique se <span class=\"lat\"> <em>t = 1 <\/em><\/span>.<\/p>\n<ul>\n<li>Como <span class=\"lat\"> <em>n &gt; 2 <\/em><\/span>, se <span class=\"lat\"> <em>t = 1 <\/em><\/span>, ent\u00e3o  a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , t)<\/span> \u00e9 <span style=\"color: #8B5A2B;\"><strong> um pol\u00edgono regular de <em>n <\/em> lados<\/strong><\/span>.<\/li>\n<li>Se <span class=\"lat\"> <em>t &ne; 1 <\/em><\/span>, v\u00e1 para o<strong> Passo 4<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Antes de executarmos o Passo 4, precisamos calcular o <span class=\"lati\">mdc(n , t)<\/span>.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\"> &#8669;<\/span> Passo 4:<\/strong> Seja <span class=\"lati\">d = mdc(n , t)<\/span>.<\/p>\n<ul>\n<li>Se <span class=\"lati\">d = 1<\/span>, como <span class=\"lat\"> <em>t &ne; 1 <\/em><\/span>, ent\u00e3o  a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , t)<\/span> \u00e9 <span style=\"color: #8B5A2B;\"><strong> uma estrela  de <em>n <\/em>pontas<\/strong><\/span>.<\/li>\n<li>Se <span class=\"lati\">d &ne; 1<\/span>, v\u00e1 para o<strong> Passo 5<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Importante:<\/strong> Se o pr\u00f3ximo passo for executado, ent\u00e3o  <span class=\"lati\">d = mdc(n , t) &ne; 1<\/span>, assim  [tex]\\dfrac{n}{d} \\lt n \\, [\/tex] e [tex] \\, \\dfrac{n}{t} \\lt n[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p> <strong><span style=\"color: #8B5A2B; font-size:25px;\"> &#8669;<\/span> Passo 5:<\/strong> Verifique se <span class=\"lati\"> t<\/span> \u00e9 um divisor de [tex] n [\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li>Se <span class=\"lati\"> t<\/span> for um divisor de [tex] n [\/tex], a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , t)<\/span> \u00e9 <span style=\"color: #8B5A2B;\"><strong>um pol\u00edgono regular de [tex]\\dfrac{n}{t}[\/tex] lados<\/strong><\/span>.<\/li>\n<li>Se  <span class=\"lati\"> t<\/span> n\u00e3o for um divisor de [tex] n [\/tex], ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (n , t)<\/span> \u00e9 <span style=\"color: #8B5A2B;\"><strong>uma estrela de [tex]\\dfrac{n}{d}[\/tex] pontas<\/strong><\/span>.\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:justify; padding:20px; border-style: dotted; border-color :#1C1C1C; border-width :thin; width:95%;line-height: 25px\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Vejamos um exemplo.<br \/>\nPara tanto tomemos <span class=\"lati\"> n = 18<\/span> e fa\u00e7amos saltos de <span class=\"lati\"> t<\/span> em <span class=\"lati\"> t<\/span>, com <span class=\"lati\">0 &lt; t &lt; 10<\/span>.<\/p>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 1<\/span><br \/>\nA <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 1)<\/span>, assim como a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 17)<\/span>, \u00e9  <strong> um pol\u00edgono regular de 18 lados<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input  value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar ';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/1-em-1.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"1 em 1\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36021\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 2<\/span><br \/>\nComo <span class=\"lat\"> 2 <\/span>  \u00e9 divisor de <span class=\"lati\"> 18<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 2)<\/span>, assim como  a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 16)<\/span>, \u00e9 <strong> um pol\u00edgono regular de 9 lados<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar ';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/2-em-2.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"2 em 2\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36021\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 3<\/span><br \/>\nComo <span class=\"lat\"> 3<\/span>  \u00e9 divisor de <span class=\"lati\"> 18<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 3)<\/span>, assim como a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 15)<\/span>, \u00e9 <strong> um pol\u00edgono regular de 6 lados<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar ';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\" \/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/3-em-3.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"3 em 3\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36021\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 4<\/span><br \/>\nComo <span class=\"lati\">d = mdc(18 , 4) = 2 &ne; 1<\/span> e <span class=\"lat\"> 4<\/span>  n\u00e3o \u00e9  divisor de <span class=\"lati\"> 18<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 4)<\/span>, assim como a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 14)<\/span>, \u00e9 <strong> uma estrela de 9 pontas<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input  value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar ';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/4-em-4.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"4 em 4\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36042\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 5<\/span><br \/>\nComo <span class=\"lati\">d = mdc(18 , 5) =  1<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 5)<\/span>, assim como a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 13)<\/span>, \u00e9 <strong> uma estrela de 18 pontas<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\">  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/5-em-5.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"5 em 5\" width=\"538\" height=\"512\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36044\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/5-em-5.png 538w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/5-em-5-300x285.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 538px) 100vw, 538px\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 6<\/span><br \/>\nComo <span class=\"lat\"> 6 <\/span>  \u00e9 divisor de <span class=\"lati\"> 18<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 6)<\/span>, assim como  a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 12)<\/span>, \u00e9 <strong> um pol\u00edgono regular de 3 lados<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/6-em-6.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"6 em 6\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36047\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 7<\/span><br \/>\nComo <span class=\"lati\">d = mdc(18 , 7) =  1<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 7)<\/span>, assim como a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 11)<\/span>, \u00e9 <strong> uma estrela de 18 pontas<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input  value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\" \/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/7-em-7.png\"  style=\"border: 0px;\" alt=\"7 em 7\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36049\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 8<\/span><br \/>\nComo <span class=\"lati\">d = mdc(18 , 8) = 2 &ne; 1<\/span> e <span class=\"lat\"> 8<\/span>  n\u00e3o \u00e9  divisor de <span class=\"lati\"> 18<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 8)<\/span>, assim como a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 10)<\/span>, \u00e9 <strong> uma estrela de 9 pontas<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/8-em-8.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"8 em 8\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36051\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <span class=\"lati\"> t = 9<\/span><br \/>\nComo <span class=\"lati\">9 = 18 \/ 2<\/span>, ent\u00e3o a <span class=\"lati\"> &nbsp; figura (18 , 9)<\/span> \u00e9 <strong> um segmento de reta<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<div>\n<input value=\"Confira a figura\" type=\"button\" class=\"bo1 bbgm\" onclick=   \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Confira a figura';}\"\/>  <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/04\/9-em-9.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"9 em 9\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-36055\" \/>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:550px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/04\/carinha12.jpg\" style=\"border: 0px;\"  alt=\"carinha12\" width=\"100\" height=\"90\" class=\"alignright size-full wp-image-17466\" \/><\/td>\n<td  class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:250px;\">Finalmente, revelado o mist\u00e9rio e muito mais . . .<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto; width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td  class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"background-color: #CDBA96; width:500px;\"> Definimos <strong>Estrela<\/strong>, um objeto geom\u00e9trico, com a ajuda do <strong>M\u00e1ximo Divisor Comum<\/strong> de dois n\u00fameros.<br \/>\nNa  <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=42920\" title=\"Visite a Sala!\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #F5F5DC; font-size: 14px; font-family: 'Gill Sans', 'Gill Sans MT', Calibri, sans-serif;\"> <strong> pr\u00f3xima Sala <\/strong> <\/span><\/a> tentaremos classificar as nossas Estrelas mais, digamos, geometricamente. <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 6px; margin-bottom: 6px; border: 0 none\">\n<hr style=\"height:1px;background-color:#8B5A2B;  margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; border: 0 none\">\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #8B5A2B;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><br \/>\n<\/span><\/p>\n<\/div>\n<p class=\"fim\"> <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=33591\" title=\"Voltar.\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #d66a1d;\">Voltar para p\u00e1gina inicial.<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Um pouco sobre pol\u00edgonos Estrelas, uma defini\u00e7\u00e3o algor\u00edtmica* Vamos formalizar um pouco do que foi discutido na sala sobre Estrelas. O primeiro passo para isso \u00e9 entender direitinho a defini\u00e7\u00e3o abaixo. I &#8211; Figuras (n , k) Defini\u00e7\u00e3o: Sejam [tex] n [\/tex] e [tex] k [\/tex] n\u00fameros naturais tais que 0 &lt; k &lt; n &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/um-pouco-sobre-poligonos-poligonos-uma-primeira-definicao-2\/um-pouco-sobre-poligonos-estrelas-2\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2970,"parent":33591,"menu_order":2,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-36131","page","type-page","status-publish","has-post-thumbnail","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/36131","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=36131"}],"version-history":[{"count":96,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/36131\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56253,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/36131\/revisions\/56253"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/33591"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2970"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=36131"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}