Problema<\/p>\n
\nQuantos n\u00fameros entre 100 e 999 s\u00e3o \u00edmpares e possuem tr\u00eas d\u00edgitos distintos?<\/p>\n
(a) 500.<\/p>\n
(b) 450.<\/p>\n
(c) 360.<\/p>\n
(d) 320.<\/p>\n
(e) Nenhuma das respostas anteriores.<\/p>\n
\n<\/div>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\nSeja n<\/em> = XYZ<\/span> o n\u00famero em quest\u00e3o, sendo Z<\/span> o algarismo das unidades, Y<\/span> o algarismo das dezenas e X<\/span> o das centenas.
\n(Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> A nota\u00e7\u00e3o n<\/em> = XYZ<\/span> n\u00e3o indica um produto e sim a representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero de tr\u00eas algarismos no sistema decimal.)<\/span>
\nSabemos que:<\/p>\n
- \n
- os tr\u00eas algarismos s\u00e3o distintos;\n<\/li>\n
- n<\/span> \u00e9 \u00edmpar, logo Z = 1 , 3 , 5 , 7 , ou 9 <\/span>;\n<\/li>\n
- 1 ≤ X ≤ 9 <\/span>; 0 ≤ Y ≤ 9 <\/span>.\n<\/li>\n<\/ul>\n
Dessa forma, podemos concluir que:<\/p>\n
- \n
- Escolhendo, inicialmente, o algarismo Z <\/span>, podemos faz\u00ea-lo de 5 <\/span> maneiras distintas<\/strong>.<\/li>\n
- Para X <\/span>, a princ\u00edpio, ter\u00edamos 9 <\/span> possibilidades de escolha; mas como Z <\/span> j\u00e1 foi escolhido e X ≠ Z <\/span>, ent\u00e3o restam 8 <\/span> modos diferentes<\/strong> para escolhermos X <\/span>.<\/li>\n
- Finalmente, para a escolha de Y <\/span> temos 8 <\/span> das 10 <\/span> possibilidades iniciais, uma vez que Y ≠ Z <\/span> e Y ≠ X <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
Assim, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>, teremos 8 × 8 × 5 <\/span> maneiras de definirmos n<\/em><\/span>, ou seja, existem 320<\/span> n\u00fameros satisfazendo as hip\u00f3teses do problema.<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n
\n
\nSegunda Gincana de 2014 – Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP
\nN\u00edvel C – Quest\u00e3o F\u00e1cil<\/div>\n\n
\nAjuda, se precisar!<\/p>\n
\n ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para tr\u00eas decis\u00f5es<\/strong>:<\/p>\n
![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
Se \t<\/p>\n- \n
- uma decis\u00e3o D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n
- uma decis\u00e3o D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n
- uma decis\u00e3o D3<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_3 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n
- e essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),<\/li>\n<\/ul>\n
ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas tres decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times m_3} \\,.[\/tex]
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema Quantos n\u00fameros entre 100 e 999 s\u00e3o \u00edmpares e possuem tr\u00eas d\u00edgitos distintos? (a) 500. (b) 450. (c) 360. (d) 320. (e) Nenhuma das respostas anteriores. Solu\u00e7\u00e3o Seja n = XYZ o n\u00famero em quest\u00e3o, sendo Z o algarismo das unidades, Y o algarismo das dezenas e X o das centenas.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-34259","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/34259","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=34259"}],"version-history":[{"count":30,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/34259\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185075,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/34259\/revisions\/185075"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=34259"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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- Para X <\/span>, a princ\u00edpio, ter\u00edamos 9 <\/span> possibilidades de escolha; mas como Z <\/span> j\u00e1 foi escolhido e X ≠ Z <\/span>, ent\u00e3o restam 8 <\/span> modos diferentes<\/strong> para escolhermos X <\/span>.<\/li>\n
- 1 ≤ X ≤ 9 <\/span>; 0 ≤ Y ≤ 9 <\/span>.\n<\/li>\n<\/ul>\n