\n
Problema<\/p>\n
\nSejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] pontos da par\u00e1bola [tex]y=x^2[\/tex] situados no segundo e no primeiro quadrantes respectivamente.
\nSe [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o as abscissas dos pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], respectivamente, determine a ordenada do ponto de interse\u00e7\u00e3o da reta [tex]AB[\/tex] com o eixo [tex]OY[\/tex].<\/p>\n
(a) [tex] \\, \\, y=\\dfrac{a+b}{2}[\/tex]<\/p>\n
(b) [tex] \\, \\, y=b-a[\/tex]<\/p>\n
(c) [tex] \\, \\, y=2b-a[\/tex]<\/p>\n
(d) [tex] \\, \\, y=b-2a[\/tex]<\/p>\n
(e) [tex] \\, \\, y=-ab[\/tex]<\/p>\n
\n<\/div>\n
\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\nConsidere [tex]C=(0,y_C)[\/tex] as coordenadas do ponto de interse\u00e7\u00e3o em quest\u00e3o. Como os pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o pontos da par\u00e1bola [tex]y=x^2[\/tex] , ent\u00e3o [tex]A=(a,a^2)[\/tex] e [tex]B=(b,b^2)[\/tex].
\nA condi\u00e7\u00e3o de alinhamento de tr\u00eas pontos para os pontos [tex]A[\/tex] , [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] pode ser expressa como
\n[tex]\\qquad \\left| \\begin{array}{rcr}
\n1 & a & a^2 \\\\
\n 1 & b & b^2\\\\
\n 1 & 0 & y_C
\n\\end{array} \\right|=0[\/tex];
\nassim, temos que
\n[tex]\\qquad 1 \\cdot \\ b \\cdot y_C + 1 \\cdot 0 \\cdot a^2 + 1 \\cdot a \\cdot b^2 \\\\
\n\\qquad-1 \\cdot b \\cdot a^2-1 \\cdot 0 \\cdot b^2-1 \\cdot a \\cdot y_C = 0[\/tex]
\ndonde segue que:
\n[tex]\\qquad (b-a)y_C = a^2 b-a b^2[\/tex],<\/p>\n
\n
[tex]\\qquad y_C = \\dfrac{-ab (b-a)}{b-a} =-ab[\/tex].<\/p>\n
\n
Portanto, [tex] \\, y_C =-ab[\/tex] e a alternativa correta \u00e9 a (e)<\/strong>.<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n
\nSegunda Gincana de 2014 – Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP
\nN\u00edvel C – Quest\u00e3o M\u00e9dia<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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