Problema<\/p>\n
\n
\n
Um garraf\u00e3o cont\u00e9m [tex]p[\/tex] litros de vinho.
\nRetira-se um litro de vinho do garraf\u00e3o e acrescenta-se um litro de \u00e1gua, obtendo-se uma mistura homog\u00eanea; retira-se, a seguir, um litro da mistura e acrescenta-se um litro de \u00e1gua e assim sucessivamente.
\nQuantos litros de vinho restar\u00e3o no garraf\u00e3o ap\u00f3s [tex]n[\/tex] opera\u00e7\u00f5es?<\/p>\n
a) [tex]\\dfrac{(p-1)^n}{p^{n+1}}\\,\\,\\,\\,[\/tex].<\/p>\n
\n
b) [tex]\\dfrac{(p-1)^n}{p^{n-1}}[\/tex].<\/p>\n
\n
c)[tex]\\dfrac{(p-1)^{n-1}}{p^{n}}[\/tex].<\/p>\n
\n
d) [tex]\\dfrac{p^{n-1}}{(p-1)^{n}}[\/tex].<\/p>\n
\n
e) [tex]\\dfrac{p^{n-1}}{(p + 1)^{n}}[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n
\n
\n
Resposta: Alternativa B<\/strong> Ap\u00f3s [tex]n[\/tex] opera\u00e7\u00f5es, teremos <\/p>\n [tex]\\qquad\\qquad V_{n+1} = p \\cdot \\left( 1-\\dfrac{1}{p} \\right)^n[\/tex]<\/p>\n \n [tex]\\qquad\\qquad V_{n+1} = p \\cdot \\left( \\dfrac{p-1}{p} \\right)^n[\/tex]<\/p>\n \n [tex]\\qquad\\qquad V_{n+1} = \\dfrac{(p-1)^n}{p^{n-1}}[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n \n Para voc\u00ea que n\u00e3o sabe o que \u00e9 uma P.G. ou, simplesmente, n\u00e3o entendeu a solu\u00e7\u00e3o anterior, vamos explicitar os c\u00e1lculos.<\/p>\n \n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{l c c c} Dessa forma, obtemos que \n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{l c c c} Com isso, obtemos que \n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{l c c c} Dessa forma, obtemos que Generalizando o racioc\u00ednio e os c\u00e1lculos, \u00e9 poss\u00edvel concluir que, ap\u00f3s [tex]n[\/tex] retiradas, restar\u00e3o no garraf\u00e3o [tex]\\boxed{V_{n+1} = \\dfrac{\\left(p-1\\right)^n}{p^{n-1}}}[\/tex] litros de vinho<\/span>.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema Um garraf\u00e3o cont\u00e9m [tex]p[\/tex] litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garraf\u00e3o e acrescenta-se um litro de \u00e1gua, obtendo-se uma mistura homog\u00eanea; retira-se, a seguir, um litro da mistura e acrescenta-se um litro de \u00e1gua e assim sucessivamente. Quantos litros de vinho restar\u00e3o no garraf\u00e3o ap\u00f3s [tex]n[\/tex] opera\u00e7\u00f5es? a) [tex]\\dfrac{(p-1)^n}{p^{n+1}}\\,\\,\\,\\,[\/tex]. b) [tex]\\dfrac{(p-1)^n}{p^{n-1}}[\/tex]. … <\/p>\n
\nJustificativa<\/strong>: Supondo que a solu\u00e7\u00e3o \u00e9 homog\u00eanea, ap\u00f3s cada etapa \u00e9 retirado [tex]\\dfrac{1}{p}[\/tex] do volume de vinho. Sendo assim, o volume de vinho ap\u00f3s cada etapa ser\u00e1 o volume da etapa anterior multiplicado por [tex]\\left(1-\\dfrac{1}{p} \\right)[\/tex], ou seja, os volumes de vinho formam uma P.G. cujo primeiro termo \u00e9 [tex]p[\/tex] e a raz\u00e3o, [tex]\\left( 1-\\dfrac{1}{p} \\right)[\/tex].<\/p>\n
\n
\n\n
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#BC00BC}{\\boxed{V_1=p}}.[\/tex]<\/li>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/f239.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#BC00BC}{\\boxed{V_2=\\left(p-1\\right)}}.[\/tex]
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/f239_1.png\")
<\/li>\n
\nPara determinarmos a quantidade de vinho presente nessa segunda mistura homog\u00eanea de [tex]p[\/tex] litros, vamos precisar fazer alguns c\u00e1lculos. Para isso, utilizaremos uma regra de tr\u00eas simples: se ap\u00f3s a retirada de [tex]1[\/tex] litro da mistura de [tex]p[\/tex] litros sobraram [tex]p-1[\/tex] litros dessa mistura, qual o correspondente volume [tex]V_3[\/tex] que sobrou dos [tex]p-1[\/tex] litros de vinho presentes na mistura antes da retirada?<\/p>\n
\n mistura: \\quad & p & \\text{————–} & p-1 \\\\
\n vinho: \\quad & p-1 & \\text{————–} & V_3 \\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad V_3 \\cdot p= \\left(p-1\\right)\\cdot \\left(p-1\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#BC00BC}{\\boxed{V_3 = \\dfrac{\\left(p-1\\right)^2}{p}}}[\/tex].
\nAssim, existe um total de [tex] \\dfrac{\\left(p-1\\right)^2}{p}[\/tex] litros de vinho<\/span> na Mistura 2.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/f239_3.png\")
<\/li>\n
\nDa segunda mistura homog\u00eanea, retirou-se um litro e foi acrescentado um litro de \u00e1gua.
\nVamos utilizar mais uma regra de tr\u00eas simples: se ap\u00f3s a retirada de [tex]1[\/tex] litro de uma mistura de [tex]p[\/tex] litros sobraram [tex]p-1[\/tex] litros dessa mistura, qual o correspondente volume [tex]V_4[\/tex] que sobrou dos [tex] \\dfrac{\\left(p-1\\right)^2}{p}[\/tex] litros de vinho presentes na mistura antes da retirada?<\/p>\n
\n mistura: \\quad & p & \\text{————–} & p-1 \\\\
\n vinho: \\quad & \\dfrac{\\left(p-1\\right)^2}{p} & \\text{————–} & V_4 \\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad V_4 \\cdot p= \\left(p-1\\right)\\cdot \\dfrac{\\left(p-1\\right)^2}{p}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#BC00BC}{\\boxed{V_4 = \\dfrac{\\left(p-1\\right)^3}{p^2}}}[\/tex].
\nLogo, existe um total de [tex] \\dfrac{\\left(p-1\\right)^3}{p^2}[\/tex] litros de vinho<\/span> na Mistura 3.<\/li>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/f239_4.png\")
<\/p>\n
\nDa terceira mistura homog\u00eanea, retirou-se um litro e foi acrescentado um litro de \u00e1gua.
\nVamos utilizar outra regra de tr\u00eas simples: se ap\u00f3s a retirada de [tex]1[\/tex] litro da Mistura 3, de [tex]p[\/tex] litros, sobraram [tex]p-1[\/tex] litros, qual o correspondente volume [tex]V_5[\/tex] que sobrou dos [tex] \\dfrac{\\left(p-1\\right)^3}{p^2}[\/tex] litros de vinho contidos na mistura antes da retirada?<\/p>\n
\n mistura: \\quad & p & \\text{————–} & p-1 \\\\
\n vinho: \\quad & \\dfrac{\\left(p-1\\right)^3}{p^2} & \\text{————–} & V_5 \\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad V_5 \\cdot p= \\left(p-1\\right)\\cdot \\dfrac{\\left(p-1\\right)^3}{p^2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#BC00BC}{\\boxed{V_5 = \\dfrac{\\left(p-1\\right)^4}{p^3}}}[\/tex].
\nEnt\u00e3o, existe um total de [tex] \\dfrac{\\left(p-1\\right)^4}{p^3}[\/tex] litros de vinho<\/span> na Mistura 4.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/f239_6.png\"style=\"border:)
\n<\/ul>\n
\n
\nN\u00edvel C – Quest\u00e3o Dif\u00edcil<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"