{"id":31138,"date":"2015-03-04T18:06:27","date_gmt":"2015-03-04T21:06:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=31138"},"modified":"2023-03-21T21:29:09","modified_gmt":"2023-03-22T00:29:09","slug":"problema-numeros-naturais-especiais","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-numeros-naturais-especiais\/","title":{"rendered":".Problema: N\u00fameros Naturais Especiais"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nDetermine [tex]10[\/tex] n\u00fameros naturais diferentes de modo que sua soma seja um n\u00famero divis\u00edvel por cada um desses n\u00fameros. Justifique sua resposta.<\/p>\n<p><em><strong>Dica:<\/strong> Voc\u00ea pode come\u00e7ar a solu\u00e7\u00e3o desse problema pensando, inicialmente, em uma sequ\u00eancia de tr\u00eas n\u00fameros naturais.<\/em><\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li> Observe que encontrar tr\u00eas n\u00fameros que satisfa\u00e7am a condi\u00e7\u00e3o do problema \u00e9 f\u00e1cil: [tex]1, \\, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex].<br \/>\nNote que a soma [tex]6[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por cada uma das parcelas dessa soma.<\/li>\n<li> Vamos agora ampliar a sequ\u00eancia  [tex]1, \\, 2, \\, 3[\/tex] e encontrar um quarto n\u00famero [tex]A[\/tex] de modo que a sequ\u00eancia  [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, A[\/tex] satisfa\u00e7a as condi\u00e7\u00f5es do problema. Observe que:<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\" margin-left:40px;\">\n<strong><em>(i)<\/em><\/strong> Como queremos que a  soma [tex]S_1=1+2+3+A \\, [\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]1, \\, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex], ent\u00e3o basta que a soma [tex]S_1[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]6[\/tex]. (Conven\u00e7a-se disso.)<br \/>\nAssim, o pr\u00f3prio <strong> [tex]A[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]6[\/tex]<\/strong>.<br \/>\n<strong><em>(ii)<\/em><\/strong> Al\u00e9m disso, a soma [tex]S_1=6+A[\/tex] tamb\u00e9m deve ser divis\u00edvel por [tex]A[\/tex], e como  [tex]6=(6+A)-A=S_1-A[\/tex], ent\u00e3o <strong>[tex]6[\/tex] tamb\u00e9m deve ser divis\u00edvel por [tex]A[\/tex]<\/strong>.<br \/>\nPor <strong><em>(i)<\/em><\/strong> e <strong><em>(ii)<\/em><\/strong>, [tex]A=6[\/tex].<br \/>\nNote que a soma dos quatro n\u00fameros \u00e9 [tex]12[\/tex] e, portanto, divis\u00edvel por cada um desses n\u00fameros.<\/p>\n<ul>\n<li>Vamos, agora, utilizar o mesmo racioc\u00ednio para obtermos um quinto n\u00famero [tex]B[\/tex] de modo que a sequ\u00eancia  [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, 6, \\, B[\/tex] satisfa\u00e7a as condi\u00e7\u00f5es do problema:<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\" margin-left:40px;\">\n<strong><em>(iii)<\/em><\/strong> A  soma [tex]S_2=1+2+3+6+B[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]1, \\, 2, \\, 3[\/tex] e [tex]6[\/tex]; portanto, se [tex]S_2[\/tex] for divis\u00edvel por [tex]12[\/tex], ent\u00e3o automaticamente ser\u00e1 divis\u00edvel por [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, 6[\/tex]. Sendo [tex]S_2=12+B[\/tex] divis\u00edvel por [tex]12[\/tex], o pr\u00f3prio<strong> [tex]B[\/tex] ser\u00e1 divis\u00edvel por [tex]12[\/tex]<\/strong>, tamb\u00e9m.<br \/>\n<strong><em>(iv)<\/em><\/strong> A soma [tex]S_2=12+B[\/tex] tamb\u00e9m deve ser divis\u00edvel por [tex]B[\/tex]. Mas como  [tex]12=(12+B)-B=S_2-B[\/tex], ent\u00e3o <strong>[tex]12[\/tex] tamb\u00e9m deve ser divis\u00edvel por [tex]B[\/tex]<\/strong>.<br \/>\nPor <strong><em>(iii)<\/em><\/strong> e <strong><em>(iv)<\/em><\/strong>,  [tex]B=12[\/tex].<br \/>\nA soma dos cinco n\u00fameros \u00e9 [tex]24[\/tex] e, portanto, divis\u00edvel por cada um dos cinco n\u00fameros.<\/p>\n<p style=\"margin:15px\">\n<ul>\n<li> Para obter a sequ\u00eancia de dez n\u00fameros, vamos completar a sequ\u00eancia  [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, 6, \\, 12[\/tex] com um sexto n\u00famero, em seguida completar a nova sequ\u00eancia com um s\u00e9timo n\u00famero, e assim por diante. Para tanto, se seguirmos um racioc\u00ednio an\u00e1logo ao utilizado teremos, sucessivamente, sequ\u00eancias com seis elementos, com sete , com oito, com nove e, finalmente, conseguiremos listar dez n\u00fameros:<br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"><strong>1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 <\/strong><\/span><br \/>\ncuja soma \u00e9 768. Note que 768  \u00e9 divis\u00edvel por cada um dos dez n\u00fameros da sequ\u00eancia!<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Portanto, \u00e9 poss\u00edvel determinar dez n\u00fameros que satisfazem o problema.<br \/>\n<\/strong>Mais do que isso, \u00e9 poss\u00edvel encontrarmos uma sequ\u00eancia com [tex]n[\/tex] elementos de modo que a soma de todos seja divis\u00edvel por qualquer um desses elementos.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o 2<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicada a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nEncontrar tr\u00eas n\u00fameros que satisfa\u00e7am a condi\u00e7\u00e3o do problema \u00e9 f\u00e1cil: [tex]1, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex]. A soma [tex]6[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por cada uma das parcelas dessa soma.<br \/>\nPor outro lado, observe que a sequ\u00eancia [tex]1,\\, 2, \\, 3, \\, 2\\cdot3, \\, 2^2\\cdot3, \\, \\cdots, \\,  2^n\\cdot 3[\/tex] satisfaz as condi\u00e7\u00f5es do problema, para qualquer n\u00famero natural [tex]n[\/tex], n\u00e3o nulo. Vejamos o porqu\u00ea:<\/p>\n<p>Lembrando que a soma dos [tex]n[\/tex] primeiros termos de uma PG finita de raz\u00e3o [tex]q[\/tex] e termo inicial [tex]a_1[\/tex]  \u00e9 dada por<\/p>\n<p style=\"margin:15px\">[tex]S_n=\\dfrac{a_1+(q^n-1)}{(q-1)}[\/tex],<\/p>\n<p>temos que a soma dos termos desta sequ\u00eancia \u00e9 <\/p>\n<p style=\"margin:15px\">[tex]3+3+2\\cdot3+\\cdots+2^n\\cdot3=3+\\dfrac{3(2^{n+1}-1)}{2-1}=3+3(2^{n+1}-1)=2^{n+1}\\cdot3[\/tex].<\/p>\n<p>Ora, este valor \u00e9 divis\u00edvel por todos os termos da sequ\u00eancia da forma [tex]2^k\\cdot3[\/tex], com [tex]1\\le k\\le n[\/tex]; al\u00e9m de ser divis\u00edvel por [tex]1, \\, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex].<\/p>\n<p>Assim sendo, \u00e9 simples listarmos dez n\u00fameros: [tex]1,\\, 2,\\, 3,\\, 6,\\, 12,\\, 24,\\, 48,\\, 96,\\, 192,\\, 384[\/tex], cuja soma \u00e9 [tex]768[\/tex] e \u00e9 divis\u00edvel por cada um dos dez n\u00fameros.<\/p>\n<p><strong>Portanto, \u00e9 poss\u00edvel determinar dez n\u00fameros que satisfazem o problema.<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Determine [tex]10[\/tex] n\u00fameros naturais diferentes de modo que sua soma seja um n\u00famero divis\u00edvel por cada um desses n\u00fameros. Justifique sua resposta. Dica: Voc\u00ea pode come\u00e7ar a solu\u00e7\u00e3o desse problema pensando, inicialmente, em uma sequ\u00eancia de tr\u00eas n\u00fameros naturais. 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