{"id":31020,"date":"2015-03-20T16:21:45","date_gmt":"2015-03-20T19:21:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=31020"},"modified":"2023-03-21T21:21:39","modified_gmt":"2023-03-22T00:21:39","slug":"problemao-um-quadrado-e-um-losango-colados","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-um-quadrado-e-um-losango-colados\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Um quadrado e um losango colados"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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Considere um quadrado [tex]ABCD[\/tex] e um losango [tex]BCEF[\/tex] com o lado [tex]\\overline{BC}[\/tex] comum a ambos, como ilustra a figura abaixo.
\nAnalise\u00a0se existe algum losango em particular para o qual o \u00e2ngulo indicado [tex]C\\hat{F}A[\/tex] \u00e9 m\u00e1ximo.
\nEm caso afirmativo, indique qual \u00e9 o losango e, caso contr\u00e1rio, justifique o porqu\u00ea.
\n\"\"<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Seja [tex]\\alpha[\/tex] a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]C\\hat{F}A[\/tex].
\nSejam, ainda, [tex]y\\,[\/tex] e [tex]\\,z\\,[\/tex] as medidas em graus dos \u00e2ngulos [tex]F\\hat{B}C \\,[\/tex] e [tex]\\, B\\hat{C}F[\/tex], respectivamente, conforme indica a figura abaixo.
\nObserve, inicialmente, que o tri\u00e2ngulo [tex]ABF[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles; logo, os \u00e2ngulos [tex]B\\hat{A}F\\,[\/tex] e [tex]\\, A\\hat{F}B[\/tex] t\u00eam a mesma medida, digamos [tex]x[\/tex] graus.
\n\"\"
\nComo [tex]\\overline{BC} \\equiv \\overline{BF}[\/tex], o tri\u00e2ngulo [tex]BCF[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 is\u00f3sceles (de base [tex]\\overline{CF}[\/tex]) e, portanto, a medida do \u00e2ngulo [tex]C\\hat{F}B[\/tex] \u00e9 [tex]z[\/tex]. Assim, [tex]\\alpha + x = z[\/tex].
\nAl\u00e9m disso, temos que
\n [tex]2z+y = 180^{\\circ}.\\quad\\quad [\/tex] (I)<\/strong><\/span>
\n Por outro lado, [tex]2x+y+90^{\\circ} = 180^{\\circ}[\/tex], ou seja,
\n[tex]2x+y=90^{\\circ}.\\quad\\quad [\/tex] (II)<\/strong><\/span>
\nDe (I)<\/strong> e (II)<\/strong>, segue que:
\n [tex]\\qquad \\left(2z+y\\right)-\\left(2x+y\\right)= 180^{\\circ}-90^{\\circ}\\\\
\n\\qquad 2z-2x = 90^{\\circ}\\\\
\n\\qquad 2\\left(z-x\\right)= 90^{\\circ}\\\\
\n\\qquad z-x= 45^{\\circ}.[\/tex]
\nAssim, [tex]\\alpha=z-x= 45^{\\circ}[\/tex], para qualquer losango, ou seja: n\u00e3o h\u00e1 um losango particular para o qual o \u00e2ngulo indicado seja m\u00e1ximo<\/strong>.<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Visualiza\u00e7\u00e3o da solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Para visualizar on-line<\/em> a solu\u00e7\u00e3o, utilize o applet <\/em>abaixo.
\nVoc\u00ea tamb\u00e9m tem a op\u00e7\u00e3o de copiar o arquivo .ggb <\/strong> disponibilizado abaixo e utilizar o applet<\/em> no GeoGebra do seu computador.<\/p>\n

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Depois que o applet carregar<\/em>, clique sobre o ponto F<\/strong><\/span> e arraste-o, obtendo assim v\u00e1rios losangos colados ao quadrado ABCD. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto F<\/strong><\/span> e movimente-o.)
\nObserve que, para qualquer losango colado que voc\u00ea definir, a medida angular de [tex]45^\\circ[\/tex] se mant\u00e9m.
\n\tPara voltar para a posi\u00e7\u00e3o inicial do ponto F<\/strong><\/span>, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do applet<\/em>.<\/p>\n

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\tPara carregar o applet, clique AQUI<\/strong><\/span><\/a>
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