Problema \n Os ponteiros de um rel\u00f3gio se superp\u00f5em v\u00e1rias vezes ao dia. \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n \n Ao meio-dia em ponto, os ponteiros est\u00e3o sobrepostos. Ap\u00f3s mais de [tex]65[\/tex] minutos e menos de [tex]70[\/tex] minutos eles estar\u00e3o sobrepostos novamente. [tex]\\qquad \\theta_1=\\dfrac{\\pi}{6}+\\dfrac{\\pi}{360}t \\qquad \\qquad \\qquad (1)[\/tex]<\/p>\n [tex]\\qquad \\theta_2=\\dfrac{2\\pi}{60}t\\,. \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad (2)[\/tex]<\/p>\n Como queremos que os dois \u00e2ngulos [tex]\\theta_1[\/tex] e [tex]\\theta_2[\/tex] sejam iguais, temos que:<\/p>\n [tex]\\qquad \\dfrac{\\pi}{6}+\\dfrac{\\pi}{360}t=\\dfrac{2\\pi}{60}t \\\\ Portanto, as superposi\u00e7\u00f5es consecutivas se dar\u00e3o, aproximadamente, a cada [tex]1[\/tex] hora, [tex]5[\/tex] minutos, [tex]27[\/tex] segundos.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n \n \u00c0 meia noite em ponto, os ponteiros est\u00e3o sobrepostos, assim a pr\u00f3xima sobreposi\u00e7\u00e3o ser\u00e1 entre 1h e 2h. Horas<\/strong> Minutos<\/strong> Dessa forma, Tempo<\/strong> \u00c2ngulo do ponteiro das horas<\/strong> Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Os ponteiros de um rel\u00f3gio se superp\u00f5em v\u00e1rias vezes ao dia. Qual o intervalo de tempo entre duas superposi\u00e7\u00f5es consecutivas? Solu\u00e7\u00e3o 1 Ao meio-dia em ponto, os ponteiros est\u00e3o sobrepostos. Ap\u00f3s mais de [tex]65[\/tex] minutos e menos de [tex]70[\/tex] minutos eles estar\u00e3o sobrepostos novamente. Sejam … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nQual o intervalo de tempo entre duas superposi\u00e7\u00f5es consecutivas?\n<\/p><\/div>\n
\n
\nSejam [tex]t[\/tex] o tempo medido em minutos, contado a partir de uma hora em ponto, [tex]v[\/tex] a velocidade angular do ponteiro das horas e [tex]V[\/tex] a dos minutos. Definimos tamb\u00e9m [tex]\\theta_1\\,[\/tex] e [tex]\\,\\theta_2[\/tex] como sendo o \u00e2ngulo formado pelo ponteiro das horas e o \u00e2ngulo formado pelo ponteiro dos minutos, respectivamente, ap\u00f3s [tex]t[\/tex] minutos. Assim, [tex]v=\\dfrac{\\pi}{360}[\/tex] rad\/min e [tex]V=\\dfrac{2\\pi}{60}[\/tex] rad\/min. Podemos escrever:<\/p>\n
\n\\qquad t=\\dfrac{60}{11}\\\\
\n\\qquad t\\approx 5~ minutos~ e ~ 27~segundos.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\nVeja, ent\u00e3o, as posi\u00e7\u00f5es dos ponteiros dos rel\u00f3gios exatamente \u00e0 1h e no momento da sobreposi\u00e7\u00e3o entre 1h e 2h.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/f227.png\")
\nObserve que, de 1h at\u00e9 o momento da sobreposi\u00e7\u00e3o, se ponteiro das horas girou [tex]x[\/tex] graus, ent\u00e3o o ponteiro dos minutos girou, em graus, [tex]30 + x[\/tex].
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/f228.png\")
\nPor outro lado, sabemos que enquanto o ponteiro das horas gira [tex]30^{\\circ}[\/tex], o dos minutos gira [tex]360^{\\circ}[\/tex];
\n![\"relogio33\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/12\/relogio33.gif\")
\nassim, temos a seguinte regra de tr\u00eas, em graus:<\/p>\n
\n [tex]30[\/tex] [tex]360[\/tex]
\n [tex]x[\/tex] [tex]30+x[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad 30(30+x) =360x \\\\
\n\\qquad 30+x =12x\\\\
\n\\qquad 30=11x\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{30}{11}.\\\\[\/tex]
\nPara determinarmos depois de quantos minutos, ap\u00f3s a 1h, ocorreu a transposi\u00e7\u00e3o, basta considerarmos a seguinte regra de tr\u00eas, na qual os \u00e2ngulos est\u00e3o expressos em graus e o tempo em minutos:<\/p>\n
\n [tex]60[\/tex] [tex]\\qquad 30[\/tex]
\n [tex]t[\/tex]<\/strong> [tex]\\qquad \\dfrac{30}{11}[\/tex]
\nCom isso,
\n[tex]\\qquad 60\\cdot \\dfrac{30}{11} =30t \\\\
\n \\qquad \\\\
\n\\qquad \\dfrac{60}{11} =t\\\\
\n\\qquad t=\\dfrac{55}{11}+\\dfrac{5}{11} \\\\
\n\\qquad t=\\left(5+\\dfrac{5}{11} \\right)\\, minutos\\,.[\/tex]
\nAgora, observe que
\n[tex]\\qquad \\dfrac{5}{11}\\, minutos=\\dfrac{5}{11}\\times 60 \\, segundos=\\dfrac{300}{11}\\, segundos\\approx 27,27\\, segundos[\/tex];
\nlogo,
\n[tex]\\qquad t\\approx 5\\, minutos\\, e\\, \\, 27\\, segundos.
\n\\, \\\\[\/tex]
\nPortanto, as superposi\u00e7\u00f5es consecutivas se dar\u00e3o, aproximadamente, a cada [tex]1[\/tex] hora, [tex]5[\/tex] minutos e [tex]27[\/tex] segundos.<\/p>\n
\n