Problema \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Com isso, os \u00e2ngulos agudos formados pelas pontas medir\u00e3o 180° −2 × 72° = 36°<\/span>. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Fermatianos<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n (*) Voc\u00ea pode encontrar o teorema do \u00e2ngulo externo AQUI<\/strong><\/a>. <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n Para cada ponta fixada da estrela, seja ae<\/sub><\/em><\/span> a medida em graus de cada um dos chamados \u00e2ngulos externos do pent\u00e1gono interno \u00e0 estrela (todos t\u00eam a mesma medida). Observe que trata-se de um \u00e2ngulo externo a um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles com \u00e2ngulos da base medindo 36°<\/span>, assim, pelo Teorema do \u00c2ngulo Externo (*)<\/span>, [tex]a_e = 36^{\\circ} + 36^{\\circ}[\/tex], ou seja, [tex]a_e = 72^{\\circ}[\/tex].<\/p>\n Como [tex]a_e=72^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o cada \u00e2ngulo formado pelas pontas da estrela medir\u00e1 [tex] 180^{\\circ}-2 \\times 72^{\\circ} = 36^{\\circ}[\/tex].
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nA Estrela de Cinco Pontas, tamb\u00e9m denominada Estrela Pentagonal ou Pentagrama, \u00e9 de origem Pitag\u00f3rica e pode ser constru\u00edda com seus v\u00e9rtices sobre um pent\u00e1gono regular, como indica a figura abaixo. Sendo assim, determine a soma dos \u00e2ngulos em destaque.
\n![\"estrela\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/07\/estrela-300x292.jpg\")
<\/p>\n<\/div>\n
\nPela propriedade da soma dos \u00e2ngulos internos, se S<\/em><\/span> for a soma dos \u00e2ngulos internos do pent\u00e1gono, ent\u00e3o cada \u00e2ngulo interno de um pent\u00e1gono regular mede
\n m = S \/ n <\/em>= [(n<\/em>−2)180°] \/ n<\/em> = [(5−2)180°] \/ 5 = 108°.<\/span>
\nEm cada ponta, cada \u00e2ngulo ai<\/sub><\/em> , i<\/em> = 1, 2, … , 10<\/span>, \u00e9 suplementar com rela\u00e7\u00e3o a um dos \u00e2ngulos internos do pent\u00e1gono regular interno \u00e0 estrela, logo todos esses \u00e2ngulos s\u00e3o congruentes e medem, respectivamente, mi<\/sub><\/em> = 180° −108° = 72°<\/span>, para i<\/em> = 1, 2, … , 10<\/span>.<\/p>\n![\"estrela3\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/12\/estrela31.gif\")
<\/p>\n
\nAgora, s\u00f3 multiplicamos essa medida pela quantidade de \u00e2ngulos agudos de 36°<\/span> formados, que seria 5 × 36° = 180° <\/span>.<\/p>\n
\n
\nPor conveni\u00eancia, identificaremos os \u00e2ngulos indicados em verde por [tex]\\hat{A}[\/tex], [tex]\\hat{B}[\/tex], [tex]\\hat{C}[\/tex], [tex]\\hat{D}[\/tex] e [tex]\\hat{E}\\,.[\/tex]
\nObserve, na figura abaixo, que os \u00e2ngulos [tex]B\\hat{K}L[\/tex] e [tex]K\\hat{L}B[\/tex] s\u00e3o externos aos tri\u00e2ngulos [tex]\\triangle EKC[\/tex] e [tex]\\triangle ALD[\/tex], respectivamente. Sendo assim, temos que [tex]B\\hat{K}L=\\hat{E}+\\hat{C}[\/tex] e [tex]K\\hat{L}B=\\hat{D}+\\hat{A}[\/tex], pelo Teorema do \u00c2ngulo Externo<\/em> (*)<\/span>.
\nLogo,
\n[tex]\\quad \\hat{A}+\\hat{B}+\\hat{C}+\\hat{D}+\\hat{E}=(\\hat{E}+\\hat{C})+(\\hat{A}+\\hat{D})+\\hat{B}=B\\hat{K}L+K\\hat{L}B+\\hat{B}=180^{\\circ},[\/tex]
\nj\u00e1 que [tex]B\\hat{K}L\\,[\/tex] , [tex]\\,K\\hat{L}B\\,[\/tex] e [tex]\\,\\hat{B}\\,[\/tex] s\u00e3o \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]\\triangle KLB[\/tex]. <\/p>\n![\"estrela](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/01\/estrela-c-solu\u00e7\u00e3o.jpg\")
<\/p>\n
\n
\nDuas observa\u00e7\u00f5es iniciais:<\/p>\n\n
![\"estrela\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/01\/estrela3.gif\")
<\/p>\n
\nAssim, a soma a ser determinada \u00e9 dada por [tex]5 \\times 36^{\\circ}= 180^{\\circ} [\/tex]; ou seja, a soma das medidas dos \u00e2ngulos em destaque verde ser\u00e1 igual a [tex]180^{\\circ}[\/tex].<\/p>\n
![\"estrela2\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/01\/estrela21.gif\")
<\/p>\n