Problema \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Uma ilustra\u00e7\u00e3o dessa propriedade: Uma ilustra\u00e7\u00e3o dessa segunda propriedade: De acordo com a quest\u00e3o, Ana Paula tem o valor do comprimento de dois de seus l\u00e1pis: 5,8 cm e 11,4 cm. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM AS PRIMAS E EU<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog. <\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n em um tri\u00e2ngulo qualquer, a soma dos comprimentos de dois lados \u00e9 sempre maior que o comprimento do terceiro lado<\/strong><\/em>.<\/p>\n Assim, se [tex] a,\\, b,\\, c\\, [\/tex] forem os comprimentos dos l\u00e1pis, temos que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Um aplicativo para ilustrar<\/p>\n \n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nAna Paula tinha 2 l\u00e1pis em m\u00e3os, cujos comprimentos eram de 5,8 cm e 11,4 cm, respectivamente.
\nCom esses 2 l\u00e1pis e um terceiro, entre os que tinha em seu estojo, ela come\u00e7ou a formar tri\u00e2ngulos que tivessem os seus l\u00e1pis como lados.
\nLogo ela percebeu que com alguns dos l\u00e1pis do estojo n\u00e3o era poss\u00edvel formar um tri\u00e2ngulo. Determine para que comprimentos do terceiro l\u00e1pis Ana Paula conseguir\u00e1 formar um tri\u00e2ngulo.![\"l\u00e1pis](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/06\/l\u00e1pis-de-cor.jpg\")
\n<\/div>\n
\nCom base nas propriedades de exist\u00eancia de um tri\u00e2ngulo qualquer, temos que:<\/p>\n\n
\nEm um tri\u00e2ngulo formado por lados de comprimentos 10 cm ; 7 cm e 5 cm, temos que
\n ⇨ 10 + 7 = 17 > 5
\n ⇨ 10 + 5 = 15 > 7
\n ⇨ 7 + 5 = 12 > 10<\/p>\n\n
\nEm um tri\u00e2ngulo de lados com comprimentos 10 cm ; 7 cm e 5 cm, temos que
\n ⇨ 10 \u2013 7 = 3 < 5
\n ⇨ 10 \u2013 5 = 5 < 7
\n ⇨ 7 \u2013 5 = 2 < 10<\/p>\n
\nPortanto, o terceiro l\u00e1pis deve ter valores
\n maiores do que 11,4 \u2013 5,8 = 5,6 cm
\n e
\n menores do que 11,4 + 5,8 = 17,2 cm<\/strong>.
\nAssim, os poss\u00edveis valores para o comprimento do terceiro l\u00e1pis est\u00e3o entre 5,6 cm e 17,2 cm.<\/p>\n
\n
\nPela Desigualdade Triangular, sabemos que:<\/p>\n
\n(I)<\/strong> [tex]a+c\\gt b \\\\
\n5,8+c\\gt 11,4 \\\\
\nc\\gt 11,4-5,8\\\\
\n\\boxed{c\\gt 5,6};[\/tex]
\n(II)<\/strong> [tex]a+b\\gt c \\\\
\n5,8+11,4\\gt c \\\\
\n17,2 \\gt c\\\\
\n\\boxed{c\\lt 17,2};[\/tex]
\n(III<\/strong>) [tex]b+c\\gt a \\\\
\n11,4+c\\gt 5,8 \\\\
\nc\\gt 5,8-11,4\\\\
\nc\\gt-5,6\\,.[\/tex]
\n[tex]\\qquad[\/tex] Como [tex]c[\/tex] \u00e9 uma medida, temos que [tex]\\boxed{c\\gt 0}[\/tex].
\nComo as tr\u00eas condi\u00e7\u00f5es devem ser satisfeitas simultaneamente, conclu\u00edmos que [tex] 5,6\\,cm \\lt c \\lt 17,2\\,cm.[\/tex]
\nAssim, a Ana Paula conseguir\u00e1 formar tri\u00e2ngulos se utilizar um terceiro l\u00e1pis cujo comprimento esteja entre [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 5,6\\,cm ~e~17,2\\,cm$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n
\nAguarde o aplicativo carregar completamente e voc\u00ea visualizar\u00e1 um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] cujos lados [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex] medem, respectivamente, [tex]5,8[\/tex] e [tex]11,4[\/tex]. O ponto [tex]A[\/tex] est\u00e1 fixo, mas os pontos [tex]B\\,[\/tex] e [tex]\\,C[\/tex] podem ser movimentados de modo que as medidas de [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex] se mantenham.
\nMovimente [tex]B\\,[\/tex] e [tex]\\,C[\/tex] e observe a varia\u00e7\u00e3o da medida do segmento [tex]\\overline{BC}[\/tex]. Perceba que, quando os pontos [tex]A[\/tex], [tex]B\\,[\/tex] e [tex]\\,C[\/tex] definirem um tri\u00e2ngulo, a medida de [tex]\\overline{BC}[\/tex] ser\u00e1 sempre maior do que [tex]5,6\\, [\/tex] e menor do que [tex]17,2\\,.[\/tex]<\/p>\n