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Problema \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Como temos [tex]n[\/tex] rapazes, eles jogaram entre si [tex]\\dfrac{n(n-1)}{2}=\\dfrac{n^2-n}{2}[\/tex] partidas.<\/p>\n Com essas informa\u00e7\u00f5es montamos a seguinte regra de tr\u00eas:<\/p>\n [tex]\\quad \\quad \\quad \\dfrac{9n^2-3n}{2} \\qquad ——————\\qquad[\/tex] [tex]100 \\%[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad \\quad \\quad \\dfrac{n^2-n}{2}\\qquad \\quad ——————\\qquad[\/tex] [tex]10 \\%[\/tex]<\/p>\n e, assim, Dividindo os dois lados da \u00faltima igualdade por [tex]5n[\/tex], obtemos [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=7$}\\,[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM “Parentesco Genial”<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Um torneio de t\u00eanis foi disputado por [tex]\\,n\\,[\/tex] rapazes e [tex]\\,2n\\,[\/tex] mo\u00e7as. Cada tenista jogou exatamente uma partida contra cada um dos outros tenistas. Se, ao final, [tex]10\\%[\/tex] das partidas ocorreram entre rapazes, determine o valor de [tex]\\,n.[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o 1 Como [tex]10\\%[\/tex] das partidas ocorreram … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nUm torneio de t\u00eanis foi disputado por [tex]\\,n\\,[\/tex] rapazes e [tex]\\,2n\\,[\/tex] mo\u00e7as. Cada tenista jogou exatamente uma partida contra cada um dos outros tenistas.
\nSe, ao final, [tex]10\\%[\/tex] das partidas ocorreram entre rapazes, determine o valor de [tex]\\,n.[\/tex]\n<\/div>\n
\nComo [tex]10\\%[\/tex] das partidas ocorreram entre rapazes, ent\u00e3o:
\n[tex]\\quad \\quad \\quad \\boxed{C_{n\\, , \\,2} = \\dfrac{10}{100} \\cdot C_{3n\\, , \\,2}}\\;[\/tex],
\nj\u00e1 que [tex]\\boxed{C_{n\\, , \\,2}}\\, [\/tex] \u00e9 o n\u00famero de partidas disputadas entre rapazes e [tex]\\,\\boxed{ C_{3n\\, , \\,2}} \\,[\/tex] \u00e9 o total de partidas disputadas no torneio.
\nAssim, segue que:
\n[tex]\\quad \\quad \\quad \\dfrac{n!}{2! \\cdot (n-2)!} =\\dfrac{1}{10} \\cdot \\dfrac{(3n)!}{2! \\cdot (3n -2)!}\\\\
\n\\quad \\quad \\quad \\dfrac{n!}{2! \\cdot (n-2)!} = \\dfrac{(3n)!}{10 \\cdot 2! \\cdot (3n -2)!}\\\\
\n\\quad \\quad \\quad \\dfrac{n\\cdot(n-1)}{2} = \\dfrac{(3n)\\cdot(3n-1)}{20}\\\\
\n\\quad \\quad \\quad 10n^2 – 10n = 9n^2 – 3n\\\\
\n\\quad \\quad \\quad n^2 – 7n = 0\\\\
\n\\quad \\quad \\quad n \\cdot (n – 7) = 0.[\/tex]
\nFinalmente, [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n = 7$}\\,[\/tex], j\u00e1 que [tex]n[\/tex] \u00e9 um inteiro positivo.<\/p>\n
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\nNo total, temos [tex]3n[\/tex] pessoas e [tex]\\dfrac{3n(3n-1)}{2}=\\dfrac{9n^2-3n}{2}[\/tex] partidas, pois cada jogador jogou contra cada um dos outros jogadores uma vez e se [tex]a[\/tex] joga contra [tex]b[\/tex] \u00e9 o mesmo que [tex]b[\/tex] joga contra [tex]a[\/tex]; por isso dividimos por dois.<\/p>\n
\n[tex]\\quad \\quad \\quad 50n^2-50n=45n^2-15n[\/tex]
\n[tex]\\quad \\quad \\quad 5n^2=35n[\/tex]. <\/p>\n
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