{"id":25701,"date":"2014-11-22T11:57:29","date_gmt":"2014-11-22T13:57:29","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=25701"},"modified":"2023-03-21T20:51:19","modified_gmt":"2023-03-21T23:51:19","slug":"problemao-qual-caixa-e-mais-pesada","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-qual-caixa-e-mais-pesada\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Qual caixa \u00e9 mais pesada?"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUma caixa c\u00fabica cont\u00e9m  [tex]27[\/tex]  bolas id\u00eanticas. Uma segunda caixa, id\u00eantica \u00e0 primeira, cont\u00e9m  [tex]64[\/tex]  bolas id\u00eanticas, por\u00e9m menores do que as primeiras. Todas as bolas s\u00e3o feitas do mesmo material.<br \/>\nAs duas caixas est\u00e3o cheias at\u00e9 o topo. Em cada caixa, cada camada tem o mesmo n\u00famero de bolas e cada bola da borda de uma camada toca os lados da caixa.<\/p>\n<ul>\n<li>Qual caixa \u00e9 mais pesada?<\/li>\n<li>Tente com outros n\u00fameros c\u00fabicos. Apresente uma generaliza\u00e7\u00e3o para esse problema.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUma caixa possui [tex]3 \\times 3 \\times 3[\/tex] bolas grandes e a outra caixa possui [tex]4 \\times 4 \\times 4[\/tex] bolas menores. Como as caixas s\u00e3o id\u00eanticas, ent\u00e3o o di\u00e2metro da bola maior \u00e9 [tex]\\dfrac{4}{3}[\/tex] do di\u00e2metro da bola menor. Veja na figura a seguir uma camada de bolas de cada caixa.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/f224.png\" alt=\"\" width=\"449\" height=\"309\" class=\"aligncenter size-full wp-image-181117\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/f224.png 449w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/f224-300x206.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 449px) 100vw, 449px\" \/><br \/>\nAssim, o volume da bola maior (e, consequentemente, seu peso) equivale a [tex]\\dfrac{64}{27}[\/tex] do volume da bola menor.<br \/>\nQuanto \u00e0 quantidade de bolas, h\u00e1 [tex]\\dfrac{27}{64}[\/tex]  bolas grandes em rela\u00e7\u00e3o \u00e0s menores e, portanto, as duas caixas t\u00eam o mesmo peso. <\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<hr\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Podemos generalizar o problema para outros pares de n\u00fameros c\u00fabicos: o racioc\u00ednio ser\u00e1 an\u00e1logo ao da resolu\u00e7\u00e3o acima.<br \/>\nVejamos.<br \/>\nVamos supor que em uma caixa tenhamos [tex]p \\times p \\times p[\/tex] bolas grandes e em uma outra caixa, id\u00eantica \u00e0 primeira, tenhamos [tex]q \\times q \\times q[\/tex] bolas menores (Nesse caso [tex]p \\lt  q[\/tex]). Como as caixas s\u00e3o id\u00eanticas, o di\u00e2metro da bola maior \u00e9 [tex]\\dfrac{q}{p}[\/tex] do di\u00e2metro da bola menor.<br \/>\nO volume da bola maior equivale a [tex]\\dfrac{q^3}{p^3}[\/tex] do volume da bola menor.<br \/>\nO n\u00famero de bolas grandes \u00e9 [tex]\\dfrac{p^3}{q^3}[\/tex] do n\u00famero de bolas menores. Multiplicando o n\u00famero de bolas pelos seus respectivos pesos chegamos a um mesmo valor e, portanto, <strong>as caixas t\u00eam o mesmo peso<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema Uma caixa c\u00fabica cont\u00e9m [tex]27[\/tex] bolas id\u00eanticas. Uma segunda caixa, id\u00eantica \u00e0 primeira, cont\u00e9m [tex]64[\/tex] bolas id\u00eanticas, por\u00e9m menores do que as primeiras. Todas as bolas s\u00e3o feitas do mesmo material. As duas caixas est\u00e3o cheias at\u00e9 o topo. Em cada caixa, cada camada tem o mesmo n\u00famero de bolas e cada bola da &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-qual-caixa-e-mais-pesada\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":166,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-25701","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/25701","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/166"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=25701"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/25701\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185001,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/25701\/revisions\/185001"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=25701"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}