Problema Dona Concei\u00e7\u00e3o saiu \u00e0 rua com uma cesta de ovos para vender. Ao primeiro fregu\u00eas que encontrou vendeu um quarto dos ovos e ainda um quarto de um ovo. Depois encontrou outro cliente habitual que ficou com um quinto dos ovos que lhe restavam mais um quinto de ovo. Tendo feito isto sem partir um \u00fanico ovo, e com lucro suficiente para o dia, Dona Concei\u00e7\u00e3o deu-se por satisfeita e distribuiu os ovos restantes aos vizinhos. \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n A ideia para solucionar este problema \u00e9 atac\u00e1-lo a partir do final dele. Assim, seja [tex]n[\/tex] a quantidade restante dos ovos. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Dona Concei\u00e7\u00e3o saiu \u00e0 rua com uma cesta de ovos para vender. Ao primeiro fregu\u00eas que encontrou vendeu um quarto dos ovos e ainda um quarto de um ovo. Depois encontrou outro cliente habitual que ficou com um quinto dos ovos que lhe restavam mais … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
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\nQuantos ovos, pelo menos, tinha no in\u00edcio a Dona Concei\u00e7\u00e3o?
\n![\"estranha](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/05\/estranha-maneira-de-vender-ovos.jpg\")
\n<\/div>\n
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\nEnt\u00e3o, se [tex]m[\/tex] \u00e9 a quantidade que sobrou da primeira venda, temos que [tex]m-\\frac{1}{5}m-\\frac{1}{5}=n[\/tex], sendo [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] n\u00fameros inteiros positivos.
\nIsso nos leva a [tex] 4 m = 5 n + 1[\/tex].
\n Assim, temos que os valores poss\u00edveis para [tex]n[\/tex] pertencem ao conjunto [tex]\\{3,7,11,…\\}[\/tex], o que nos permite concluir que [tex]m[\/tex] pertence ao conjunto [tex]\\{4,9,14,19,…\\}[\/tex].
\nAgora, por racioc\u00ednio an\u00e1logo, se [tex]s[\/tex] representa a quantidade de ovos antes da primeira venda, ent\u00e3o temos que [tex]s-\\frac{1}{4}s-\\frac{1}{4}=m[\/tex], o que resulta em [tex]3s = 4m + 1[\/tex].
\nComo agora j\u00e1 temos os valores poss\u00edveis para [tex]m[\/tex], verificamos que o primeiro [tex]m[\/tex] poss\u00edvel tal que [tex]4m + 1[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex] \u00e9 [tex]m=14[\/tex] e, portanto, [tex]3s = 57[\/tex] e [tex]s = 19[\/tex], que \u00e9 a quantidade m\u00ednima de ovos que Dona Concei\u00e7\u00e3o podia ter em sua cesta.<\/p>\n
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