Problema Lembrete<\/strong> <\/p>\n [tex]C_{n\\, ,\\, r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!} \\text{, com } n,r \\in\\mathbb{N} \\text{ e }\\,0 \\lt r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Existem [tex]n[\/tex] tri\u00e2ngulos distintos com os v\u00e9rtices nos pontos da figura. Qual o valor de [tex]n[\/tex] ? Lembrete ✏ A An\u00e1lise Combinat\u00f3ria nos ensina que uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nExistem [tex]n[\/tex] tri\u00e2ngulos distintos com os v\u00e9rtices nos pontos da figura.
\n![\"Quantos](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/07\/Quantos-tri\u00e2ngulos.png\")
\n Qual o valor de [tex]n[\/tex] ?\n<\/div>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
\n ✏<\/strong> <\/span> A An\u00e1lise Combinat\u00f3ria nos ensina que uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. <\/p>\n\n
\nNo total h\u00e1 [tex]13[\/tex] pontos na figura e sabemos que a quantidade de combina\u00e7\u00f5es poss\u00edveis de [tex]3[\/tex] pontos dentre os [tex]13[\/tex] \u00e9
\n[tex]\\qquad C_{13,3}=\\dfrac{13!}{3!10!}=286[\/tex].
\nPor\u00e9m, queremos apenas as combina\u00e7\u00f5es que formam tri\u00e2ngulos<\/strong>; devemos, ent\u00e3o, subtrair de [tex]286[\/tex] todas as combina\u00e7\u00f5es em que os [tex]3[\/tex] pontos escolhidos s\u00e3o colineares. H\u00e1 tr\u00eas situa\u00e7\u00f5es em que isso acontece, a saber:
\n\u2022 Na perna esquerda do \u201cA\u201d temos [tex]6[\/tex] pontos colineares;
\n\u2022 Na perna direita do \u201cA\u201d temos [tex]6[\/tex] pontos colineares;
\n\u2022 No meio temos [tex]4[\/tex] pontos colineares.
\nAssim, a quantidade total de tri\u00e2ngulos que podem ser obtidos com v\u00e9rtices nos pontos dessa figura \u00e9:
\n[tex] \\quad\\quad\\quad C_{13,3}- 2C_{6,3}- C_{4,3}=286-40-4=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$242$}\\,[\/tex].<\/p>\n
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