{"id":24453,"date":"2014-10-26T18:21:07","date_gmt":"2014-10-26T20:21:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=24453"},"modified":"2023-03-21T20:56:50","modified_gmt":"2023-03-21T23:56:50","slug":"problema-quem-sao-os-algarismos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-quem-sao-os-algarismos\/","title":{"rendered":".Problema: Quais s\u00e3o os algarismos?"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nCom os algarismos [tex]x [\/tex], [tex]y[\/tex] e [tex]z[\/tex], formam-se os n\u00fameros de dois algarismos [tex]x\\,y\\,[\/tex] e [tex]\\,y\\,x[\/tex] cuja soma \u00e9 o n\u00famero de tr\u00eas algarismos [tex]z\\,x\\,z[\/tex].
\nQuais s\u00e3o os algarismos [tex]x[\/tex], [tex]\\,y \\,[\/tex] e [tex]\\,z\\, [\/tex]?<\/p>\n
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong> Neste problema, denotaremos por [tex]\\,a\\,b\\,c\\,\\,[\/tex] a representa\u00e7\u00e3o decimal do n\u00famero de tr\u00eas algarismos cujos algarismos das centenas, dezenas e unidades s\u00e3o [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex], respectivamente.
\nAssim, [tex] a\\,b\\,c=100\\cdot a + 10\\cdot b + c[\/tex].
\nDe maneira an\u00e1loga, a representa\u00e7\u00e3o decimal do n\u00famero de dois algarismos cujos algarismos das dezenas e unidades s\u00e3o [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], respectivamente, ser\u00e1 [tex] a\\,b[\/tex] e, portanto, [tex] a\\,b=10\\cdot a+b[\/tex].<\/span><\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nInicialmente, observe que:
\n [tex]\\quad \\textcolor{#0DC0FF}{\\rhd}\\,[\/tex] como o n\u00famero [tex]x\\,y\\,[\/tex] tem dois algarismos, ent\u00e3o [tex]x\\ne 0[\/tex];
\n [tex]\\quad \\textcolor{#0DC0FF}{\\rhd}\\,[\/tex] como o n\u00famero [tex]y\\,x\\,[\/tex] tem dois algarismos, ent\u00e3o [tex]y\\ne 0[\/tex];
\n [tex]\\quad \\textcolor{#0DC0FF}{\\rhd}\\,[\/tex] como o n\u00famero [tex]z\\,x\\,z\\,[\/tex] tem tr\u00eas algarismos, ent\u00e3o [tex]z\\ne 0[\/tex].
\n Assim, [tex]x [\/tex], [tex]y[\/tex] e [tex]z [\/tex] s\u00e3o algarismos n\u00e3o nulos, isto \u00e9, s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]0 \\lt x\\,,\\,y\\,,\\, z \\le 9[\/tex].
\nObserve, tamb\u00e9m, que:
\n[tex]\\quad \\textcolor{#0DC0FF}{\\rhd}\\,[\/tex] o maior n\u00famero que pode ser formado somando dois n\u00fameros de dois algarismos \u00e9 [tex]198=99+99[\/tex].
\nLogo, como [tex]x\\,y+y\\,x=z\\,x\\,z[\/tex], ent\u00e3o [tex]z\\,x\\,z[\/tex] \u00e9 um n\u00famero de tr\u00eas algarismos resultante da soma de dois n\u00fameros com dois algarismos cada<\/strong>. Dessa forma,
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{red}{1}00 \\le \\textcolor{red}{z}\\,x\\,z \\le \\textcolor{red}{1}98[\/tex]
\ne, portanto, conclu\u00edmos que [tex]\\boxed{\\textcolor{red}{z=1}}[\/tex].
\nComo [tex]z=1[\/tex], o resultado da soma \u00e9 [tex]1\\,x\\,1[\/tex] e, desse modo, segue que:
\n [tex]\\qquad x\\,y +y\\,x =1\\,x\\,1[\/tex]
\n [tex]\\qquad (10\\cdot x + y) + (10\\cdot y + x) = 100 + 10\\cdot x + 1 [\/tex]
\n[tex]\\qquad 11\\cdot y + x = 101[\/tex].
\nRespeitando as condi\u00e7\u00f5es do problema, esta equa\u00e7\u00e3o s\u00f3 admite a solu\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{x=2}[\/tex] e [tex]\\boxed{y=9}[\/tex].
\nAssim, [tex] \\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=2$}\\,\\,[\/tex], [tex] \\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=9$}\\,\\,[\/tex] e [tex] \\,\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$z=1$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n

Voc\u00ea pode verificar a afirma\u00e7\u00e3o de que a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{11\\cdot y + x = 101}[\/tex] s\u00f3 admite a solu\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{x=2}[\/tex] e [tex]\\boxed{y=9}[\/tex] de dois modos.<\/p>\n